LABORATORIUM FIZYKI I	ĆWICZENIE: 1
Wydział: WIP	Grupa: ID-A0-43
Nazwisko i imię: Nowakowski Adam
Temat ćwiczenia: Badanie zależności między natęrzeniem prądu i napięciem w obwodzie elektrycznym
Prowadzący:

1.Wstęp

Celem ćwiczenia było wyznaczenie wartości rezystancji poprzez pomiar wartości napięcia i narężenia. Rezystancja jest to wartość oporu, który element stawia przeciw przepływowi prądu. Opisana jest przez stosunek napięcia do natężenia prądu. Zależność tą przedstawia prawo Ohma:

$$R = \frac{U}{I}$$

Jednostką rezystancji jest Ω (om).

Dokładność pomiaru rezystancji jest ograniczona przez błędy przyrządów w wyniku czego trzeba było określić niepewność pomiaru

2. Układ pomiarowy

Podczas ćwiczenia badaliśmy układ złożony z:

• Zasilacza

• Amperomierza analogowego

• Woltomierza analogowego

• Elementu Rx

Schemat układu:

Gdzie:

A – amperomierz

V – woltomierz

Rx – opornik

Informacja o miernikach:

• Amperomierz:

  Klasa – 0,5%

  Zakres – 15 mA

  Liczba działek – 60

• Woltomierz:

  Klasa – 1,5%

  Zakres – 5 V

  Liczba działek - 60

3. Wykonanie ćwiczenia

I. Przebieg ćwiczenia:

Przebieg ćwiczenia wyglądał następująco:

1. Połączenie elementów w układ przedstawiony w punkcie drugim

2. Ustawienie zakresu amperomierza na 15mA

3. Ustawienie zakresu woltomierza na 5 V

4. Włączenie zasilacza

5. Wykonanie pomiarów

Wykonanie pomiarów polegało na zmianie wartości napięcia podawanego przez zasilacz, odczyt wartości z amperomierza i woltomierza oraz spisanie ich. Proces ten wykonaliśmy 10 razy.
Wartości odcztane znajdują się w tabeli numer 1.

1. Obliczenie niepewności pomiarowych

2. Wprowadzenie otrzymanych danych do programu ORIGIN w celu otrzymania wykresów przedstawiających te wyniki oraz ich niepewności

II. Inne metody wyznaczania nieznanej rezystancji

1. Pomiar rezystancji mostkiem Wheatstone’a:

   Układ:

W mostku Wheatstone’a, znajdują się: rezystor mierzony R_x, trzy rezystory wewnętrzne R₂, R₃, R₄ o regulowanych wartościach oraz galwanometr G którego zadaniem jest utrzymanie układu wstanie równowagi.

Gdy układ jest w równowadze rezystancja R_x jest określona zależnością:

$$R_{x} = \frac{R_{2}*R_{3}}{R_{4}}$$

1. Metoda porównawcza napięciowa:

   Układ:

Polega na odczytaniu wartości napięć U_w, U_x oraz odczytaniu rezystancji rezystora R_w o regulowanej wartości.

Wartość rezystancji mierzonej R_x wyznacza się z prawa Ohma.

$$I = \ \frac{U_{w}}{R_{w}} = \ \frac{U_{x}}{R_{x}}$$

stąd

$$R_{x} = \ \frac{U_{x}*R_{w}}{U_{w}}$$

1. Metoda porównawcza prądowa:

Układ:

Zasada określania rezystancji rezystora R_x jest analogiczna do metody porównawczej napięciowej.

R_w * I_w = R_x * I_x

stąd

$$R_{x} = \frac{R_{w}*I_{w}}{I_{x}}$$

1. Metoda pomiaru multimetrem(omomierzem)

   Polega na tym, że miernik podłączony do układu mierzy wartość prądu i napięcia, po czym oblicza rezystancję za pomocą prawa Ohma.

4. Wyniki i ich opracowanie

Tabela numer 1

LP.	I [mA]	U [V]
1.	1	0,32
2.	2	0,6
3.	3	0,89
4.	4	1,12
5.	5	1,49
6.	6	1,78
7.	7	2,05
8.	8	2,4
9.	9	2,65
10.	10	2,95

Wybrany pomiar natężenia:

I = 10 [mA]

I = 0,01 [A]

Wybrany pomiar napięcia:

U = 2,95 [V]

Obliczenie wartości szukanej rezystancji:

Wzór:

$$R = \frac{\overset{\overline{}}{U}}{\overset{\overline{}}{I}}$$

Obliczenia:

$$R = \ \frac{2,95}{0,01} = 295\ \lbrack\mathrm{\Omega}\rbrack$$

5. Obliczanie niepewności

Niepewność wzorcowania

$$\Delta x = \ \frac{klasa*zakres}{100}$$

Niepewność eksperymentatora

$$\Delta x = \ \frac{\text{zakres}}{2*ilosc\ dzialek}$$

I. Wyznaczenie niepewności wartości natężenia:

Wyznaczamy niepewność typu B ,gdyż bierzemy pod uwagę tylko jeden pomiar i niepewność związana jest niedoskonałością miernika.

$$u\left( I \right) = \ \sqrt{({\frac{\text{ΔI}}{\sqrt{3}})}^{2} + ({\frac{\Delta I_{e}}{\sqrt{3}})}^{2}}$$

$$\Delta I = \ \frac{0,5*15}{100} = 0,075\ \lbrack mA\rbrack$$

$$\Delta I_{e} = \ \frac{15}{2*60} = 0,125\ \lbrack mA\rbrack$$

$$u\left( I \right) = \ \sqrt{({\frac{0,075}{\sqrt{3}})}^{2} + ({\frac{0,125}{\sqrt{3}})}^{2}} = \sqrt{1,875*10^{- 3} + 5,208*10^{- 3}} = 0,084\ \lbrack mA\rbrack$$

Wartość natężenia wraz z niepewnością:

I = 10, 00(84) [mA]

II. Wyznaczenie niepewności wartości napięcia:

Wyznaczamy niepewność typu B ,gdyż bierzemy pod uwagę tylko jeden pomiar i niepewność związana jest niedoskonałością miernika.

$$u\left( U \right) = \ \sqrt{({\frac{\text{ΔU}}{\sqrt{3}})}^{2} + ({\frac{\Delta U_{e}}{\sqrt{3}})}^{2}}$$

$$\Delta U = \ \frac{1,5*5}{100} = 0,075\ \lbrack V\rbrack$$

$$\Delta U_{e} = \ \frac{5}{2*50} = 0,05\ \lbrack V\rbrack$$

$$u\left( U \right) = \ \sqrt{({\frac{0,075}{\sqrt{3}})}^{2} + ({\frac{0,05}{\sqrt{3}})}^{2}} = \sqrt{{0,043}^{2} + {0,029}^{2}} = 0,052\ \lbrack V\rbrack$$

Wartość napięcia wraz z niepewnością:

U = 2, 950(52) [V]

III. Wyznaczenie niepewności wartości oporu:

Wyznaczamy niepewność złożoną:

$$u_{c}\left( R \right) = \sqrt{{(\frac{\partial R}{\partial I})}^{2}*u^{2}\left( I \right) + {(\frac{\partial R}{\partial U})}^{2}*u^{2}\left( U \right)}$$

$$u_{c}\left( R \right) = \sqrt{{( - \frac{U}{I^{2}})}^{2}*u^{2}\left( I \right) + {(\frac{1}{I})}^{2}*u^{2}\left( U \right)}$$

$$u_{c}\left( R \right) = \sqrt{\left( - \frac{2,95}{\left( 0,01 \right)^{2}} \right)^{2}*{0,000084}^{2} + \left( \frac{1}{0,01} \right)^{2}*{0,052}^{2}} = \sqrt{6,14 + 27,04} = 5,76$$

Wartość oporu wraz z niepewnością złożoną:

R = 295, 0(5,8) [Ω]

Niepewność rozszerzona:

U_c(R) = k * u_c(R)

gdzie k=2

U_c(R) = 2 * 5, 76 = 11, 52 [Ω]

Wyznaczony opór ma wartość:

R = (295±12) Ω 

IV. Metoda mniejszych kwadratów

y = Ax + B

Gdzie:

y = I

x = U

$A = \frac{1}{R}$,

B = 0

czyli

$$R = \frac{1}{A}$$

$$u\left( R \right) = \sqrt{{(\frac{\partial R}{\partial A})}^{2}*u^{2}\left( A \right)}$$

$$u\left( R \right) = \sqrt{{( - \frac{1}{A^{2}})}^{2}*u^{2}\left( A \right)}$$

1. Dla I(U)

   A= 0,0034

u(A)= 1, 6113 * 10⁻⁵

Niepewność typu A:

$$u\left( R \right) = \sqrt{{( - \frac{1}{{0,0034}^{2}})}^{2}*{(1,6113*10^{- 5})}^{2}} = 1,394$$

Prawo dodawania niepewności typu A i B

$$u\left( R \right) = \sqrt{{5,76}^{2} + {1,394}^{2}} = 5,93$$

Wartość oporu:

$$R = \frac{1}{0,0034} = 294,117$$

Wartość oporu wraz z niepewnością:

R = 294, 1(5,9) [Ω]

Niepewność rozszerzona:

U_c(R) = k * u_c(R)

gdzie k=2

U_c(R) = 2 * 5, 9 = 11, 85 [Ω]

Wyznaczony opór ma wartość:

R = (294±12) Ω 

Wynik testu χ² wynosi 13,00194 i jest mniejszy od wartości krytycznej dla 8 stopni swobody i poziomu istotności 0,05 (15,5), więc zależność może być zalewnością liniową.

1. Dla U(I)

Dla tego przypadku współczynnik kierunkowy prostej U(I), jest szukaną wartością oporu.

R = A = 293,76

u(A) = u(R)= 1, 77

Prawo dodawania niepewności typu A i B

$$u\left( R \right) = \sqrt{{5,76}^{2} + {1,77}^{2}} = 6,03$$

Wartość oporu wraz z niepewnością:

R = 293, 76(6,03) [Ω]

Niepewność rozszerzona:

U_c(R) = k * u_c(R)

gdzie k=2

U_c(R) = 2 * 6, 03 = 12, 06 [Ω]

Wyznaczony opór ma wartość:

R = (294±12) Ω 

Wynik testu χ² wynosi 1,12 i jest mniejszy od wartości krytycznej dla 8 stopni swobody i poziomu istotności 0,05, więc zależność może być zalewnością liniową.

5. Pytania

1. Do czego służy metoda najmniejszych kwadratów?

   Metoda najmniejszych kwadratów polega na znalezieniu funkcji, dla której suma kwadratów odchyleń powinna być minimalna. Do szacowania parametrów służą: B-stała regresji oraz A-współczynnik kierunkowy. Metoda ta służy do oceny liniowej i nieliniowej związku. Pozwala określić parametry funkcji regresji w postaci y=Ax+B

2. Dla jakich wartości prądu płynącego przez rezystor zależność pomiędzy U i I można uznać za liniową?

Podczas przepływu prądu przez obwód wydziela się na oporniku temperatura, i gdy nie spowoduje ona przegrzania, wtedy zależność tego prądu(i jego napięcia) można uznać za liniową.

Zależność oporu od temperatury opisany jest wzorem:

R_T = R₀[1 + α(T−T₀)]

Gdzie

R_T - rezystancja przy danej temperaturze

R₀ - rezystancja przewodnika

α – współczynnik temperatury rezystancji

T₀ – temperatura otoczenia

6. Wnioski

• Na podstawie jednego z pomiarów wykonanych za pomocą mierników analogowych wyznaczyłem wartość oporu i wynosi ona R = (295±12) Ω

• Na podstawie wykresu z programu Origin wyznaczyłem wartość oporu i wynosi ona R = (294±12) Ω

• Jak można zauważyć z powyższych punktów obydwa sposoby obliczania oporu podały nam zbliżone do siebie wartości.

• Pierwsza i druga metoda są bardzo dokładne gdyż niepewność rozszerzona wynosi ok. 4%

• Duży wpływ na dokładność wyników ma nieidealność mierników, zmienne warunki atmosferyczne oraz niepewności związane z odczytem, gdyż przy miernikach analogowych nie zawsze można być na 100% pewnym czy wartość jest idealnie odczytana.