Własności momentu pary sił: a) jest prostopadły do płaszczyzny działania obu sił. b)jest niezależny od wyboru punktu 0 i jest wielkością stałą. c) wartość momentu obliczamy M=P*h. d)moment pary sił jest wektorem swobodnym. Równoważne układy sił nazywamy równoważnymi układami sił jeżeli działając na to samo ciało wywołują jednakowy skutek. Aks 1. Układ dwóch sił przylożonych do ciała doskonale sztywnego jest układem zrównoważonym wtedy i tylko wtedy, kiedy siły te są równe co do modułu, działają na tej samej prostej i mają przeciwne zwroty. Aks 2. Układ sił zaczepionych w jednym punkcie można zastąpić jedną siłą wypadkową i odwrotnie jedna siła może być zastąpiona pewną liczbą sil zaczepionych w danym punkcie. Aks 3. Skutek działania dowolnego układu sił przyłożonego do ciała sztywnego niezmieni się, jeżeli do tego układu dodamy lub odejmiemy od niego zrównoważony układ sił. Aks 4.Każdemu działaniu towarzyszy równe co do wartości, przeciwnie skierowane i leżące na tej samej proste przeciwdziałanie. Aks 5. Każde ciało nieswobodne można myślowo oswobodzić z więzów zastępując ich działanie reakcjami, a następnie rozpatrywać je jako cialo swobodne znajdujące się pod wpływem sił czynnych (obciążenia) i biernych (reakcji więzów). Aksjomat ten jest nazywany aksjomatem więzów. Twierdzenie o równoległym przesunięciu siły – siłe P przyłożoną do dowolnego pkt A ciała sztywnego można zastąpić równą jej siłą przyłożoną do dowolnego punktu 0 tego ciała, dodając jednocześnie parę sił o momencie równym momentowi danej siły P względem punktu 0. (Redukcja)Dowolny układ sił działających na ciało sztywne można zastąpić układem równoważnym środka redukcji 0 i jednej pary sił o momencie M₀. +Każdy układ sił ma dwa niezmienniki: -wektor główny R₀ – rzut momentu głównego M₀ obliczonego wzgl. dowolnego środka redukcji na kierunek wektora głównego. Twierdzenie Varignona – moment siły wypadkowej W względem dowolnego punktu równa się sumie momentów poszczególnych sił układu względem tego samego punktu. Punkt materialny – punkt o zerowych wymiarach posiadających jednak masę. Ośrodek ciągły – ciało szczelnie wypełnione punktami materialnymi. Ciało doskonale sztywne lub nieodkształcone- jest to wyidealizowane pojęcie ciała, którego punkty nie zmieniają wzajemnych odległości pod wpływem sił działających na nie. Ciało swobodne – może zajmować dowolne położeni w przestrzeni. Więzy- ograniczają swobodę poruszania się(więzy geometryczne – ograniczenia na położenie ciała w przestrzeni, więzy kinematyczne – nakładanie ograniczenia na prędkość). Punkt materialny ma na płaszczyźnie dwa, a w przestrzeni trzy stopnie swobody. Ciało doskonale sztywne ma na płaszczyźnie trzy, a w przestrzeni sześć stopni swobody. Układami geometrycznie niezmiennymi sa układy tarcz i brył sztywnych unieruchomionych względem tarczy odniesienia przez wprowadzenie odpowiedniej liczby odpowiednio rozmieszczonych więzów. Warunek konieczny – odpowiednia liczba więzów np. układ „N” tarcz sztywnych minimalna liczba więzów to w=3N. Warunek dostateczny – sprawdzenie odpowiedniego rozmieszczenia więzów. Układ statycznie wyznaczalny- Jeżeli liczba niewiadomych reakcji „r” jest równa liczbie niezależnych liniowo równań równowagi, które możemy napisać dla danego układu ciał, to reakcje możemy obliczyć jednoznacznie. Kratownica płaska- układ prostoliniowych prętów pryzmatycznych o stałym przekroju połączonych ze sobą w węzłach za pomocą przegubów pozbawionych tarcia. W prętach kratownicy występują tylko siły normalne(stałe). Warunek konieczny: -kratownica przestrzenna p+r>= 3w – kratownica płaska p+r=2w(p-liczba niewiadomych sił w prętach kratownicy, r- liczba niewiadomych reakcji podporowych, w- liczba węzłów kratownicy). Statyczna wyznaczalność Warunek dostateczny dla tarczy sztywnej – Kierunki więzów nie mogą się przecinać się w jednym punkcie i nie mogą być do siebie równoległe. Dynamika punktu i ciała. Pęd i kręt. Krętem układu N punktów materialnych względem wybranego punktu przestrzeni nazywamy sumę momentów pędu względem tego punktu przestrzeni wektory r1 są tutaj wektorami położenia punktów materialnych względem wybranego punktu przestrzeni. Wektor wodzący punktu „1” może być zapisany następująco: . Uwzględniając to , po przekształceniach , kręt układu możemy obliczyć ze wzoru: Pędem układu N punktów materialnych o masach m1 nazywamy sumę iloczynów mas prze ich prędkość. . Pęd układu może być obliczony jako iloczyn prędkości środka masy układu przez jego masę całkowitą.

Energia kinetyczna układu punktów materialnych. Energią kinetyczną układu punktów materialnych nazywamy sumę energii kinetycznej poszczególnych punktów układu. uwzględniając zależność otrzymujemy: . Energia kinetyczna układu punktów materialnych równa się sumie energii kinetycznej punktu materialnego, o masie równej sumie mas punktów układu i poruszającego się tak, jak środek masy układu oraz energii kinetycznej układu obliczonej w układzie ruchomym, którego początek pokrywa się ze środkiem masy układu.

50. Równania różniczkowe ruchu układu punktów swobodnych.

Wyrażając w drugim prawie Newtona wektor przyśpieszenia przez druga

pochodną wektora wodzącego względem czasu, otrzymujemy: w zapisie skalarnym, w kartezjańskim układzie współrzędnych, równanie to jest równoważne trzem równaniom skalarnym gdzie x,y,z-współrzędne wektora

wodzącego Fx, Fy, Fz- współrzędne wektora siły. Równanie te stanowią układ trzech skalarnych równań różniczkowych drugiego rzędu. Nazywamy je równaniami różniczkowymi

ruchu.

Własności momentu pary sił: a) jest prostopadły do płaszczyzny działania obu sił. b)jest niezależny od wyboru punktu 0 i jest wielkością stałą. c) wartość momentu obliczamy M=P*h. d)moment pary sił jest wektorem swobodnym. Równoważne układy sił nazywamy równoważnymi układami sił jeżeli działając na to samo ciało wywołują jednakowy skutek. Aks 1. Układ dwóch sił przylożonych do ciała doskonale sztywnego jest układem zrównoważonym wtedy i tylko wtedy, kiedy siły te są równe co do modułu, działają na tej samej prostej i mają przeciwne zwroty. Aks 2. Układ sił zaczepionych w jednym punkcie można zastąpić jedną siłą wypadkową i odwrotnie jedna siła może być zastąpiona pewną liczbą sil zaczepionych w danym punkcie. Aks 3. Skutek działania dowolnego układu sił przyłożonego do ciała sztywnego niezmieni się, jeżeli do tego układu dodamy lub odejmiemy od niego zrównoważony układ sił. Aks 4.Każdemu działaniu towarzyszy równe co do wartości, przeciwnie skierowane i leżące na tej samej proste przeciwdziałanie. Aks 5. Każde ciało nieswobodne można myślowo oswobodzić z więzów zastępując ich działanie reakcjami, a następnie rozpatrywać je jako cialo swobodne znajdujące się pod wpływem sił czynnych (obciążenia) i biernych (reakcji więzów). Aksjomat ten jest nazywany aksjomatem więzów. Twierdzenie o równoległym przesunięciu siły – siłe P przyłożoną do dowolnego pkt A ciała sztywnego można zastąpić równą jej siłą przyłożoną do dowolnego punktu 0 tego ciała, dodając jednocześnie parę sił o momencie równym momentowi danej siły P względem punktu 0. (Redukcja)Dowolny układ sił działających na ciało sztywne można zastąpić układem równoważnym środka redukcji 0 i jednej pary sił o momencie M₀. +Każdy układ sił ma dwa niezmienniki: -wektor główny R₀ – rzut momentu głównego M₀ obliczonego wzgl. dowolnego środka redukcji na kierunek wektora głównego. Twierdzenie Varignona – moment siły wypadkowej W względem dowolnego punktu równa się sumie momentów poszczególnych sił układu względem tego samego punktu. Punkt materialny – punkt o zerowych wymiarach posiadających jednak masę. Ośrodek ciągły – ciało szczelnie wypełnione punktami materialnymi. Ciało doskonale sztywne lub nieodkształcone- jest to wyidealizowane pojęcie ciała, którego punkty nie zmieniają wzajemnych odległości pod wpływem sił działających na nie. Ciało swobodne – może zajmować dowolne położeni w przestrzeni. Więzy- ograniczają swobodę poruszania się(więzy geometryczne – ograniczenia na położenie ciała w przestrzeni, więzy kinematyczne – nakładanie ograniczenia na prędkość). Punkt materialny ma na płaszczyźnie dwa, a w przestrzeni trzy stopnie swobody. Ciało doskonale sztywne ma na płaszczyźnie trzy, a w przestrzeni sześć stopni swobody. Układami geometrycznie niezmiennymi sa układy tarcz i brył sztywnych unieruchomionych względem tarczy odniesienia przez wprowadzenie odpowiedniej liczby odpowiednio rozmieszczonych więzów. Warunek konieczny – odpowiednia liczba więzów np. układ „N” tarcz sztywnych minimalna liczba więzów to w=3N. Warunek dostateczny – sprawdzenie odpowiedniego rozmieszczenia więzów. Układ statycznie wyznaczalny- Jeżeli liczba niewiadomych reakcji „r” jest równa liczbie niezależnych liniowo równań równowagi, które możemy napisać dla danego układu ciał, to reakcje możemy obliczyć jednoznacznie. Kratownica płaska- układ prostoliniowych prętów pryzmatycznych o stałym przekroju połączonych ze sobą w węzłach za pomocą przegubów pozbawionych tarcia. W prętach kratownicy występują tylko siły normalne(stałe). Warunek konieczny: -kratownica przestrzenna p+r>= 3w – kratownica płaska p+r=2w(p-liczba niewiadomych sił w prętach kratownicy, r- liczba niewiadomych reakcji podporowych, w- liczba węzłów kratownicy). Statyczna wyznaczalność Warunek dostateczny dla tarczy sztywnej – Kierunki więzów nie mogą się przecinać się w jednym punkcie i nie mogą być do siebie równoległe. Dynamika punktu i ciała. Pęd i kręt. Krętem układu N punktów materialnych względem wybranego punktu przestrzeni nazywamy sumę momentów pędu względem tego punktu przestrzeni wektory r1 są tutaj wektorami położenia punktów materialnych względem wybranego punktu przestrzeni. Wektor wodzący punktu „1” może być zapisany następująco: . Uwzględniając to , po przekształceniach , kręt układu możemy obliczyć ze wzoru: Pędem układu N punktów materialnych o masach m1 nazywamy sumę iloczynów mas prze ich prędkość. . Pęd układu może być obliczony jako iloczyn prędkości środka masy układu przez jego masę całkowitą.

Energia kinetyczna układu punktów materialnych. Energią kinetyczną układu punktów materialnych nazywamy sumę energii kinetycznej poszczególnych punktów układu. uwzględniając zależność otrzymujemy: . Energia kinetyczna układu punktów materialnych równa się sumie energii kinetycznej punktu materialnego, o masie równej sumie mas punktów układu i poruszającego się tak, jak środek masy układu oraz energii kinetycznej układu obliczonej w układzie ruchomym, którego początek pokrywa się ze środkiem masy układu.

50. Równania różniczkowe ruchu układu punktów swobodnych.

Wyrażając w drugim prawie Newtona wektor przyśpieszenia przez druga

pochodną wektora wodzącego względem czasu, otrzymujemy: w zapisie skalarnym, w kartezjańskim układzie współrzędnych, równanie to jest równoważne trzem równaniom skalarnym gdzie x,y,z-współrzędne wektora

wodzącego Fx, Fy, Fz- współrzędne wektora siły. Równanie te stanowią układ trzech skalarnych równań różniczkowych drugiego rzędu. Nazywamy je równaniami różniczkowymi

ruchu.

Własności momentu pary sił: a) jest prostopadły do płaszczyzny działania obu sił. b)jest niezależny od wyboru punktu 0 i jest wielkością stałą. c) wartość momentu obliczamy M=P*h. d)moment pary sił jest wektorem swobodnym. Równoważne układy sił nazywamy równoważnymi układami sił jeżeli działając na to samo ciało wywołują jednakowy skutek. Aks 1. Układ dwóch sił przylożonych do ciała doskonale sztywnego jest układem zrównoważonym wtedy i tylko wtedy, kiedy siły te są równe co do modułu, działają na tej samej prostej i mają przeciwne zwroty. Aks 2. Układ sił zaczepionych w jednym punkcie można zastąpić jedną siłą wypadkową i odwrotnie jedna siła może być zastąpiona pewną liczbą sil zaczepionych w danym punkcie. Aks 3. Skutek działania dowolnego układu sił przyłożonego do ciała sztywnego niezmieni się, jeżeli do tego układu dodamy lub odejmiemy od niego zrównoważony układ sił. Aks 4.Każdemu działaniu towarzyszy równe co do wartości, przeciwnie skierowane i leżące na tej samej proste przeciwdziałanie. Aks 5. Każde ciało nieswobodne można myślowo oswobodzić z więzów zastępując ich działanie reakcjami, a następnie rozpatrywać je jako cialo swobodne znajdujące się pod wpływem sił czynnych (obciążenia) i biernych (reakcji więzów). Aksjomat ten jest nazywany aksjomatem więzów. Twierdzenie o równoległym przesunięciu siły – siłe P przyłożoną do dowolnego pkt A ciała sztywnego można zastąpić równą jej siłą przyłożoną do dowolnego punktu 0 tego ciała, dodając jednocześnie parę sił o momencie równym momentowi danej siły P względem punktu 0. (Redukcja)Dowolny układ sił działających na ciało sztywne można zastąpić układem równoważnym środka redukcji 0 i jednej pary sił o momencie M₀. +Każdy układ sił ma dwa niezmienniki: -wektor główny R₀ – rzut momentu głównego M₀ obliczonego wzgl. dowolnego środka redukcji na kierunek wektora głównego. Twierdzenie Varignona – moment siły wypadkowej W względem dowolnego punktu równa się sumie momentów poszczególnych sił układu względem tego samego punktu. Punkt materialny – punkt o zerowych wymiarach posiadających jednak masę. Ośrodek ciągły – ciało szczelnie wypełnione punktami materialnymi. Ciało doskonale sztywne lub nieodkształcone- jest to wyidealizowane pojęcie ciała, którego punkty nie zmieniają wzajemnych odległości pod wpływem sił działających na nie. Ciało swobodne – może zajmować dowolne położeni w przestrzeni. Więzy- ograniczają swobodę poruszania się(więzy geometryczne – ograniczenia na położenie ciała w przestrzeni, więzy kinematyczne – nakładanie ograniczenia na prędkość). Punkt materialny ma na płaszczyźnie dwa, a w przestrzeni trzy stopnie swobody. Ciało doskonale sztywne ma na płaszczyźnie trzy, a w przestrzeni sześć stopni swobody. Układami geometrycznie niezmiennymi sa układy tarcz i brył sztywnych unieruchomionych względem tarczy odniesienia przez wprowadzenie odpowiedniej liczby odpowiednio rozmieszczonych więzów. Warunek konieczny – odpowiednia liczba więzów np. układ „N” tarcz sztywnych minimalna liczba więzów to w=3N. Warunek dostateczny – sprawdzenie odpowiedniego rozmieszczenia więzów. Układ statycznie wyznaczalny- Jeżeli liczba niewiadomych reakcji „r” jest równa liczbie niezależnych liniowo równań równowagi, które możemy napisać dla danego układu ciał, to reakcje możemy obliczyć jednoznacznie. Kratownica płaska- układ prostoliniowych prętów pryzmatycznych o stałym przekroju połączonych ze sobą w węzłach za pomocą przegubów pozbawionych tarcia. W prętach kratownicy występują tylko siły normalne(stałe). Warunek konieczny: -kratownica przestrzenna p+r>= 3w – kratownica płaska p+r=2w(p-liczba niewiadomych sił w prętach kratownicy, r- liczba niewiadomych reakcji podporowych, w- liczba węzłów kratownicy). Statyczna wyznaczalność Warunek dostateczny dla tarczy sztywnej – Kierunki więzów nie mogą się przecinać się w jednym punkcie i nie mogą być do siebie równoległe. Dynamika punktu i ciała. Pęd i kręt. Krętem układu N punktów materialnych względem wybranego punktu przestrzeni nazywamy sumę momentów pędu względem tego punktu przestrzeni wektory r1 są tutaj wektorami położenia punktów materialnych względem wybranego punktu przestrzeni. Wektor wodzący punktu „1” może być zapisany następująco: . Uwzględniając to , po przekształceniach , kręt układu możemy obliczyć ze wzoru: Pędem układu N punktów materialnych o masach m1 nazywamy sumę iloczynów mas prze ich prędkość. . Pęd układu może być obliczony jako iloczyn prędkości środka masy układu przez jego masę całkowitą.

Energia kinetyczna układu punktów materialnych. Energią kinetyczną układu punktów materialnych nazywamy sumę energii kinetycznej poszczególnych punktów układu. uwzględniając zależność otrzymujemy: . Energia kinetyczna układu punktów materialnych równa się sumie energii kinetycznej punktu materialnego, o masie równej sumie mas punktów układu i poruszającego się tak, jak środek masy układu oraz energii kinetycznej układu obliczonej w układzie ruchomym, którego początek pokrywa się ze środkiem masy układu.

50. Równania różniczkowe ruchu układu punktów swobodnych.

Wyrażając w drugim prawie Newtona wektor przyśpieszenia przez druga

pochodną wektora wodzącego względem czasu, otrzymujemy: w zapisie skalarnym, w kartezjańskim układzie współrzędnych, równanie to jest równoważne trzem równaniom skalarnym gdzie x,y,z-współrzędne wektora

wodzącego Fx, Fy, Fz- współrzędne wektora siły. Równanie te stanowią układ trzech skalarnych równań różniczkowych drugiego rzędu. Nazywamy je równaniami różniczkowymi

ruchu.