Uniwersytet Warmińsko-Mazurski

w Olsztynie

Wydział Nauk Technicznych

MECHATRONIKA

ROK II, semestr III

Automatyka

Projekt końcowy

Wykonali:

Magdalena Kuriata

Marta Świerzewska

Grupa I

1. Przebieg projektu

Zaprojektuj układ regulacji dla obiektu statycznego o transmitancji dokładnej:

$G_{\text{oa}} = \frac{\text{Ko}}{\left( 1 + sT1 \right)(1 + sT2)}$ tak aby uzyskać przebieg przejściowy z przeregulowaniem H = 20% i minimum czasu regulacji t_z.

Parametry układu:

K_o = 1, 7     T₁ = 120s    T₂ = 110s

ETAPY TWORZENIA PROJEKTU

$$G_{1} = \ \frac{1,7}{\left( 1 + s*120 \right)(1 + s*110)}$$

1. Wyznaczenie punktu przegięcia i stycznej do tego punktu

Aby wyznaczyć punkt przegięcia należy znaleźć punkt o współrzędnych (ho, to), w którym pierwsza pochodna charakterystyki skokowej przyjmuje największą wartość

Wyznaczamy pochodną odpowiedzi skokowej

Wyznaczamy maksimum pierwszej pochodnej odpowiedzi skokowej:

Następnie wyznaczamy współrzędne punktu przegięcia oraz pochodną odpowiedzi skokowej w punkcie przegięcia:

Równanie stycznej do punktu przegięcia to równanie funkcji liniowej f(x)=ax+b, aby wyznaczyć to równanie potrzebujemy współczynnika a, co w tym przypadku oznacza pochodną odpowiedzi skokowej transmitancji G₁ w punkcie przegięcia, współczynnika b (t_o) czyli miejsca przecięcia z osią y, w tym przypadku z osią amplitudy.

wyznaczamy równanie stycznej i miejsce przecięcia stycznej z osią czasu czyli T_o-czas opóźnienia regulacji oraz stałą czasową zastępczą

T_o-czas opóźnienia( po którym następuje regulacja)

K_o -stan ustalony-maksymalna amplituda

Charakterystyka odpowiedzi skokowej i styczna do punktu przegięcia

1. wyznaczenie pierwiastków bieguna otwartego oraz bieguna zamkniętego

wyznaczamy pierwiastki biegunów układu otwartego (sx) oraz biegunów układu zamkniętego (sz) oraz rysujemy wykresy przy pomocy funkcji „pzmap” odpowiednio dla układu otwartego (pzmap(G₁)) oraz układu zamkniętego (pzmap(G_z1)).

Pierwiastki układu otwartego:

obiekt jest stabilny, ponieważ wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego układu otwartego są ujemne

Pierwiastki bieguna zamkniętego:

obiekt jest stabilny, ponieważ wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego układu otwartego są ujemne

1. Wyznaczanie zapasu stabilności

Wykorzystujemy do tego komendę margin

1. Projektowanie regulatora przy użyciu ”metody bezpiecznego projektowania regulatora”

Dla obiektu:

$${Go = \frac{\text{ko}}{1 + sT2}*e^{- sTo}\backslash n}{\text{Gr}\left( s \right) = kp\left( 1 + \frac{1}{\text{sTi}} + sTd \right)\backslash n}{\text{Gr}\left( s \right) = kp*\left( \frac{sTi + s^{2}TdTi + 1}{\text{sTi}} \right)\backslash n}$$

Potrzebne wartości tj. Kp, T_i oraz G_r wprowadzamy z uzyskanych wcześniej obliczeń oraz przypisując znane wartości w postaci równania.
W tym układzie użyjemy regulatora PI przy założeniu, że czasy T_i oraz T_z są sobie równe.

Transmitancja toru głównego-$G = G_{r}*G_{o} = kp\frac{{(s}^{2}TiTd + sTi + 1)}{\text{sTi}}*\frac{\text{ko}}{1 + sT_{i}}e^{- sti}$

Transmitancja regulatora-$G_{r}\left( s \right) = kp(\frac{sTi + s^{2}TiTd + 1}{\text{sTi}})$

$$G_{r}\left( s \right) = \ kp(\frac{sTi + 1}{\text{sTi}})$$

$$G = G_{r}*G_{o} = kp\left( \frac{1 + sTi}{\text{sTi}} \right)*\frac{\text{Ko}}{1 + sT2}e^{- sTo\ } = \frac{\text{kp}}{\text{sTi}}*k_{o}e^{- sTo}$$

$$G = \frac{kp*ko}{\text{sTi}}*e^{- sTo}$$

Następnie obliczona została transmitancji układu zamkniętego:

$${k = \frac{kp*ko}{\text{Ti}}\backslash n}{G = k*\frac{1}{s}*e^{- sTo}}$$

Opóźnienie transportowe e^−sTo aproksymujemy metodą Pade

$$\backslash n{e^{- sTo} = \frac{- \frac{}{2}*s + 1}{\frac{}{2}*s + 1}\backslash n}$$

$${G = k*\frac{1}{s}*\frac{- \frac{}{2}*s + 1}{\frac{}{2}*s + 1}\ \backslash n}{G = \frac{k\left( - \frac{\text{To}}{2}*s + 1 \right)}{s\left( \frac{\text{To}}{2}*s + 1 \right)}\backslash n}$$

Wyznaczenie transmitancji Gz układu zamkniętego:

$$\backslash n{Gz = \frac{G}{1 + G} = \frac{\frac{k\left( - \frac{\text{To}}{2}*s + 1 \right)}{s\left( \frac{\text{To}}{2}*s + 1 \right)}\ |*s\left( \frac{\text{To}}{2}*s + 1 \right)}{1 + \frac{k\left( - \frac{\text{To}}{2}*s + 1 \right)}{s\left( \frac{\text{To}}{2}*s + 1 \right)}\ |*s\left( \frac{\text{To}}{2}*s + 1 \right)}\backslash n}{Gz = \frac{k\left( - \frac{\text{To}}{2}*s + 1 \right)}{k\left( - \frac{\text{To}}{2}*s + 1 \right) + s\left( \frac{\text{To}}{2}*s + 1 \right)}\backslash n}{Gz = k*\frac{- \frac{\text{To}}{2}s + k}{\frac{s^{2}\text{To}}{2} + s - \frac{\text{kTo}}{2}s + k}\backslash n}$$

Wyznaczamy Δ

$${b^{2} - 4ac = 0\backslash n}{\left( 1 - \frac{\text{kTo}}{2} \right)^{2} - \frac{4To}{2}*k = 0\backslash n}{1 + \frac{k^{2}To^{2}}{4} - 3kTo = 0\backslash n}{\sqrt{\mathbf{\Delta}} = 2\sqrt{2}\text{To}}$$

$${k_{1} = \frac{3To - 2\sqrt{2}\text{To}}{\frac{\text{To}^{2}}{2}}\backslash n}{k_{2} = \frac{3To + 2\sqrt{2}\text{To}}{\frac{\text{To}^{2}}{2}}\backslash n}{k = 2*\left( 3 - 2\sqrt{2} \right)*\frac{1}{\text{To}}\backslash n}$$

∖n

Ostateczna wersja programu: