LICZBY ZESPOLONE

z = a + bi

|z| = $\sqrt{\mathbf{a}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{b}^{\mathbf{2}}}$ cosφ = $\frac{\mathbf{a}}{\mathbf{z}}$ sinφ = $\frac{\mathbf{b}}{\mathbf{z}}$

Postać trygonometryczna: z = |z| (cosφ + i sinφ)

Wzór Moivre’a: zⁿ = |z|ⁿ (cosnφ + i sinnφ)

Pierwiastek z liczby zespolonej: wⁿ

n ϵ N, n ≥ 2, z,w ϵ C

z = |z| (cosφ + i sinφ)

w_k = $\sqrt[\mathbf{n}]{\mathbf{|z|}}$ (cos$\frac{\mathbf{\varphi + 2}\mathbf{\text{kπ}}}{\mathbf{n}}$ + i sin $\frac{\mathbf{\varphi + 2}\mathbf{\text{kπ}}}{\mathbf{n}}\mathbf{\ }$)

k = 0, 1, 2, 3, …., n-1

Pierwiastek z jedności: |1| = 1

φ = 0 ε_k = cos$\frac{\mathbf{2}\mathbf{\text{kπ}}}{\mathbf{n}}$ + i sin $\frac{\mathbf{\text{kπ}}}{\mathbf{n}}$

Pierwiastek wielomianu zespolonego:

w(z) = az² + bz + c

z_{1 =} $\frac{\mathbf{- b - \ }\sqrt{\mathbf{}}}{\mathbf{2}\mathbf{a}}$ z₂= $\frac{\mathbf{- b + \ }\sqrt{\mathbf{}}}{\mathbf{2}\mathbf{a}}$

$\sqrt{- 1}$ = ± i

$\sqrt{- 9}$ = ± 3i

POCHODNE FUNKCJI

Pochodna sumy funkcji y = u + v: y’ = u’ + v’

Pochodna iloczynu funkcji y = uv: y’ = u’v + uv’

Pochodna ilorazu funkcji y = $\frac{u}{v}$ , v ≠0: y’ = $\frac{\mathbf{u}^{\mathbf{'}}\mathbf{v}\mathbf{-}\mathbf{u}\mathbf{v}^{\mathbf{'}}}{\mathbf{v}^{\mathbf{2}}}$

Pochodna funkcji i stałej y = k ∙ u: y’ = k∙ u’

Pochodna funkcji złożonej: (g [f(x)])’= g’(f(x)) f’(x)

g – funkcja zewnętrzna

f – funkcja wewnętrzna

(pochodna f-cji zewnętrznej ∙ pochodna f-cji wewnętrznej)

f(x)	f'(x)	f(x)	f'(x)
a	0	sinx	cosx
x	1	cosx	− sinx
x^n	n∙x^n-1	tgx	$$\frac{1}{\cos^{2}x}$$
$$\sqrt{x}$$	$$\frac{1}{2\sqrt{x}}$$	ctgx	$$- \ \frac{1}{\sin^{2}x}$$
$$\sqrt[3]{x}$$	$$\frac{1}{3\sqrt[3]{x^{2}}}$$	logax	$$\frac{1}{x\text{lna}}$$
$$\frac{1}{x}$$	$$- \frac{1}{x^{2}}$$	lnx	$$\frac{1}{x}$$
a^x	a^x∙lna	e^f(x)	e^f(x)f’(x)
e^x	e^x	arcsinx	$$\frac{1}{\sqrt{1 - \ x^{2}}}$$
arctgx	$$\frac{1}{{1 + x}^{2}}$$	arccosx	$$- \ \frac{1}{\sqrt{1 - \ x^{2}}}$$
arcctgx	$$- \frac{1}{{1 - \text{\ x}}^{2}}$$

CAŁKI

∫(f(x)+ g(x))dx =  ∫f(x)dx +  ∫g(x)dx

∫a f(x)dx = a ∫f(x)dx

CAŁKOWANIE PRZEZ PODSTAWIENIE:

$$\int_{}^{}\frac{\mathbf{f\ '(x)}}{\mathbf{\text{f\ }}\left( \mathbf{x} \right)}\mathbf{dx = \ ln\ }\left| \mathbf{\text{\ f}}\left( \mathbf{x} \right) \right|\mathbf{+ \ C}$$

CAŁKOWANIE PRZEZ CZĘŚĆI:

∫udv = uv −  ∫vdu

INNE WZORY:

$\int_{}^{}\frac{\mathbf{\text{dx}}}{\mathbf{a}^{\mathbf{2}}\mathbf{+ \ }\mathbf{x}^{\mathbf{2}}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{a}}\mathbf{\ }\mathbf{\text{arctg}}\mathbf{\ }\frac{\mathbf{x}}{\mathbf{a}}\mathbf{+ \ }\mathbf{C}$ $\mathbf{\text{\ \ \ }}\int_{}^{}\frac{\mathbf{\text{dx}}}{\sqrt{\mathbf{a}^{\mathbf{2}}\mathbf{- \ }\mathbf{x}^{\mathbf{2}}}}\mathbf{= \ }\mathbf{\arcsin}\mathbf{\ }\frac{\mathbf{x}}{\mathbf{a}}\mathbf{+ \ }\mathbf{C}$

$\int_{}^{}{\mathbf{cos\ ax\ dx = \ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{a}}}\mathbf{\ sin\ ax + C}\mathbf{\text{\ \ \ }}$ $\int_{}^{}{\mathbf{sin\ ax\ dx = - \ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{a}}}\mathbf{\ cos\ ax + C}$

$\int_{}^{}{\mathbf{\text{e\ }}^{\mathbf{\text{ax}}}\mathbf{\ dx = \ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{a}}}\mathbf{\ }\mathbf{e}^{\mathbf{\text{ax}}}\mathbf{+ C}$

$\int_{}^{}{\mathbf{\text{f\ }}\left( \mathbf{ax + b} \right)\mathbf{dx = \ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{a}}}\mathbf{\text{\ F\ }}\left( \mathbf{ax + b} \right)\mathbf{+ \ C}$

całka	f-cja pierwotna	całka	f-cja pierwotna
∫0 dx	C	∫x^αdx	$\frac{x^{\alpha + 1}}{\alpha + 1}$ + C
$$\int_{}^{}{\frac{1}{x}dx = \ \int_{}^{}{x^{- 1}\text{dx}}}$$	ln|x| + C	∫a^xdx	$\frac{a^{x}}{\ln a}$ + C
∫sinx dx	− cosx + C	∫cosx dx	sinx + C
$$\int_{}^{}{\frac{1}{\sin^{2}x}\text{\ dx}}$$	− ctgx + C	$$\int_{}^{}{\frac{1}{\cos^{2}x}\text{\ dx}}$$	tgx + C
$$\int_{}^{}{\frac{1}{{1 + \ x}^{2}}\text{\ dx}}$$	arctgx + C	$$\int_{}^{}{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}\text{\ dx}}$$	arcsinx + C
∫dx =  ∫x^0dx	x + C	$$\int_{}^{}{\sqrt{x}\text{\ dx}}$$	$\frac{2}{3}\ \sqrt{x^{3}} + \ $C
∫x dx	$\frac{x^{2}}{2}$ + C	∫x^2 dx	$\frac{x^{3}}{3}$ + C
$$\int_{}^{}{\frac{1}{x^{2}}\text{dx}}$$	$- \ \frac{1}{x} + \ $C	∫e^xdx	e^x + C
$$\int_{}^{}{\frac{1}{\sqrt{x}}\text{dx}}$$	2$\sqrt{x}$ + C	∫e^−xdx	−e^−x + C