2. Błędy losowe
Definicja gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej X. Wzory na wyznaczenie wartości średniej, wariancji i odchylenia standardowego.
1.Gęstość prawdopodobieństwa – nieujemna funkcja p(x) ciągłej zmiennej losowej X taka, że: oraz prawdopodobieństwo, że zmienna losowa X należy do przedziału dane jest wzorem:
2. Wyznaczenie wartości oczekiwanej (średniej) oraz wariancji i odchylenia standardowego
a) dla dyskretnej zmiennej losowej
, -wartość średnia ,-wartość zmiennej losowej, -wartość prawdopodobieństwa
,-wariancja
- odchylenie standardowe – pierwiastek kwadratowy z wariancji
b) dla ciągłej zmiennej losowej
- odchylenie standardowe – pierwiastek kwadratowy z wariancji
Wyznaczenie średniej wartości dla rozkładu jednostajnego w zadanym przedziale . Przykład.
=== =>;
Rozkład normalny i jego postać standardowa.
Funkcja gęstości rozkładu normalnego ze średnią oraz wariancją , jest przykładem funkcji Gaussa, dana jest wzorem:
W przypadku, gdy zmienna losowa X ma rozkład z wartością średniai wariancją , to:
jest to postać standardowa rozkładu normalnego.
Definicje: poziom ufności, poziom istotności i przedział ufności. Poziomy ufności dla rozkładu normalnego odpowiadające przedziałom:
Poziom ufności „c” – dla przedziału [-x,x] jest to prawdopodobieństwo, że zmienna losowa X o rozkładzie normalnym standardowym przyjmuje wartości z tego przedziału.
Poziom istotności „” – jest to maksymalne dopuszczalne prawdopodobieństwo popełnienia błędu. Najczęściej przyjmuje się .
Przedział ufności – jest to zakres , w którym mieście się średnia wartość badanej cechy, która jest określona na podstawie badanej próby, w populacji. Definiuje on wielkość błędu, o ile uzyskany wynik może odbiegać od wartości rzeczywistej.
Przedziały ufności dla rozkładu normalnego
Wyznaczanie przedziałów ufności dla serii pomiarów w przypadku ich małej (rozkład t-Studenta) i dużej (rozkład Gaussa) liczby. Zastosowanie wzorów dla konkretnych przypadków.
Liczba pomiarów jest duża, wtedy wariancję można zastąpić przez jej estymator gdzie to estymator wartości średniej , , wtedy:
Przy małej liczbie pomiarów należy korzystać z rozkładu t-Studenta.
Przykład: Określić przedział ufności dla 100 pomiarów ciśnienia. Przyjąć poziom ufności c=99%
Ciśnienie [MPa] | Liczba wystąpień |
---|---|
3.970 | 1 |
3.980 | 3 |
3.990 | 12 |
4.000 | 25 |
4.010 | 33 |
4.020 | 17 |
4.030 | 6 |
4.040 | 2 |
4.050 | 1 |
Ze względu na dużą liczbę pomiarów , należy skorzystać z rozkładu Gaussa.
Przykład: Wyznaczono następujące wartości napięcia:
U[V] | 7.5 | 8.2 | 7.5 | 8.6 | 8.6 | 8.7 | 7.4 | 8.2 | 7.3 | 7.8 |
---|
Określić przedział ufności przy założeniu, że poziom ufności wynosi c=98%.