KONIUNKCJA to wysoka gora, na ktorej zbocza wspinaja sie dwaj wytrawni alpinisci: pychatek i qbus...   ALTERNATYWA to rozorana miedza, ktora dzieli pole na dwie czesci: qarguli LUB pawlakow...   IMPLIKACJA to zawody lucznicze, w ktore JESLI porzadnie sie wstrzelic, TO qrde w tarcze nie sposob nie trafic...   ROWNOWAZNOSC to piekna i szeroka jezdnia dwupasmowa prowadzaca z poznania WTEDY I TYLKO WTEDY, GDYudajesz sie do qtna...   NEGACJA to totalne zadziwienie sie widokiem wygrzewajacego sie pod latarnia ~ pytona...

CWICZENIE 2

Majac teraz podane zdania, zbudujemy - ot tak sobie - ich schematy:


a) "Kubus idzie spac lub je miodek."

ZDANIE p : Kubus idzie spac. - ZDANIE q : Kubus je miodek. - SPOJNIK : lub
SCHEMAT : p  q
_____

b) "Kubus je miodek wtedy i tylko wtedy, gdy siedzi przy stoliku."

ZDANIE p : Kubus je miodek. - ZDANIE q : Kubus siedzi przy stoliku. - SPOJNIK : zawsze wtedy i tylko wtedy, gdy
SCHEMAT : p  q
_____

c) "Jesli Kubus je miodek, to nieprawda, ze siedzi przy stoliku." 

ZDANIE p : Kubus je miodek. - ZDANIE ( PAMIETAJ! Zapisane w formie twierdzacej !) q : Kubus siedzi przy stoliku. - SPOJNIK: w tym wypadku sa dwa : glowny (ZAWSZE OBEJMUJE SOBA CALOSC) : "jezli...,to...", oraz drugi spojnik (odnoszacy sie w tym przypadku wylacznie do jednego zdania) : "nieprawda, ze..."
SCHEMAT : p  ( ~ q) (mamy negacje przed q , poniewaz taki jest sens calego zdania, w ktorym zaprzeczamy, ze Kubus siedzi przy stoliku

LOGIKA - WARTOŚĆ LOGICZNA [ PRAWDZIWOŚĆ i FAŁSZYWOŚĆ ZDANIA ] => PROCES SPRAWDZANIA WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ 2. WARTOSC LOGICZNA ( PRAWDZIWOSC lub FALSZYWOSC ) zdania zlozonego, zbudowanego ze zdan prostych, wylacznie poprzez uzycie do tego celu spojnikow: , , ,  , ~ , zalezy od miejsca ich wystepowania w schemacie zdaniowym oraz wartosci logicznej ( 1 = prawda lub 0 = falsz ), zdan skladowych.  Zaleznosc ta jest ujeta w tabele, tzw. MATRYCE LOGICZNE - logika "wymaga" by wkuc kazda matryca logiczna na pamiec, na tej samej zasadzie, na ktorej matematyka "wymaga" wkucia na pamiec TABLICZKI MNOZENIA ... ZAWSZE !!! CALE ZDANIE SKLADAJACE SIE Z DWOCH ZDAN PROSTYCH , GDZIE : p 1 1 0 0   p 1 1 0 0   p 1 1 0 0   p 1 1 0 0   p 1 0 Zatem dobrze widac, ze kazda matryca ma stosowne sobie wartosci logiczne (0 lub 1), zalezne od tego czy wystepuj±ce w niej poszczegolne zdania skladowe sa falszywe, czy tez prawdziwe. UWAGA! Wystepowanie trzech lub wiecej zdan skladowych powoduje zwiekszenie ilosci kombinacji ich mozliwych wartosci logicznych. Dla przykładu: Kombinacja 1: p = 1, q = 1, r = 1; Kombinacja 2: p = 1, q = 1, r = 0; Kombinacja 3: p = 1, q = 0, r = 0; Kombinacja 4: p = 0, q = 0, r = 0; Kombinacja 5: p = 0, q = 0, r = 1; Kombinacja 6: p = 0, q = 1, r = 1; Kombinacja 7: p = 1, q = 0, r = 1; Kombinacja 8: p = 0, q = 1, r = 0. Jak widac przy trzech zdaniach skladowych jest 8 kombinacji, zgodnie z zasada, że: Ilosc kombinacji = 2^n (“n” jest cyfra okreslajaca ilosc zdan skladowych). Przy czterech zdaniach skladowych ilosc kombinacji podstawien wynosi 2^4czyli 16. Przy czterech zdaniach skladowych ilosc kombinacji podstawien wynosi 2^5czyli 32... PAMIETAJ ! CWICZENIE 4 I Pierwsze cwiczenie w rozdziale nr 2 I Pobawimy sie teraz ze sprawdzaniem wartosci logicznej podanych schematow, co pozwoli nam nabrac wprawy w tej dziedzinie :  1. “p” i “q” sa zdaniami prawdziwymi: p = 1; q = 1 a) (p q) p 1 1 1 1 1 Oto kolejne kroki, ktore wypada w tej chwili poczynic: - podpisz pod literami “p” i “q” cyfre 1, gdyz wiemy, ze oba zdania sa prawdziwe; - nastepnie sprawdz w matrycy logicznej jaka wartosc logiczna ma alternatywa dwoch jedynek (okaze sie, ze to takze jedynka, ktora dla ułatwienia sobie dzialania podpiszemy pod symbolem alternatywy).  - kolejnym krokiem jest sprawdzenie w matrycy jaka wartosc ma glowny spojnik schematu - implikacja dwoch jedynek - calego okraglego nawiasu oraz tej, ktora jest pod litera “p” z prawej strony. Okaze sie, ze znow jest to jedynka, ktora podpisujemy w schemacie pod symbolem implikacji, podkreslajac ja; - teraz juz wiemy, ze caly schemat, ktory w uproszczeniu wyglada tak :  (w lewej kopercie mamy to, co jest w nawiasie okraglym “ p  q ”, w prawej kopercie natomiast “p”), ma wartosc “1”, czyli jest prawdziwy. _____ b) p (q p) 1 1 1 1 1 Tu sytuacja ma sie podobnie. Podpisalismy jedynki pod literami, sprawdzilismy, ze koniunkcja dwoch jedynek wynosi 1, nastepnie odkrylismy, iz glowny funktor -implikacja dwoch jedynek jest takze jedynka, co pozwolilo nam dowiedziec sie, ze caly nasz schemat, ktory w uproszczonej postaci przedstawia sie nastepujaco :  ( w lewej kopercie mamy “p”, w prawej natomiast “q  p”), jest prawda - jedynka. _____ c) (~ p) [~ (q p)] 0 1 1 0 1 1 1 W tym przypadku kroki sa nastepujace : - podpisanie jedynek pod kazda z liter; - sprawdzenie koniunkcji dwoch jedynek z nawiasu okraglego (jest to jedynka );  - sprawdzenie negacji p i ( q  p ) - (w obu przypadkach jest to zero); - upewnienie sie, ze implikacja (dwoch zer, bo to wlasnie one biora w niej udzial) - glownego spojnika schematu, wynosi 1 (podkreslenie).  Schemat powyzszy wyglada w uproszczeniu tak : (w lewej kopercie mamy “p” - negacja wyznacza jej wartosc logiczna , w prawej zas “(q  p)” - tu takze negacja wyznacza jej wartosc logiczna). _____ d) [(~ q) q] p 0 1 1 1 1 1 Sytuacja przedstawia sie analogicznie do poprzedniego schematu. Podstawiamy jedynki pod litery, nastepnie otrzymujemy 0 po zanegowaniu “q”, w dalszej kolejnosci sprawdzilismy, ze implikacja (ta w kwadratowym nawiasie), dla przypadku “0 1” daje jedynke, aby ostatecznie dojsc do wniosku,ze caly schemat jest prawdziwy, gdyz jego glowny spojnik - takze implikacja, w wypadku “1  1” jest jedynka. Schemat ten w uproszczeniu wyglada tak :  (w lewej kopercie znajduje sie maly schemacik “[(~q)  q ]”, ktorego glownym spojnikiem jest implikacja, w prawej “p”).  - - - - - 2. “p” jest prawdziwe, natomiast "q" jest falszywe: p = 1; q = 0 a) (p q) p 1 1 0 1 1 Pod “p” podpisujemy “1”, gdyz wiemy, ze zdanie to jest prawdziwe. Pod “q” podpisujemy “0”, gdyz jest to zdanie falszywe. Sprawdzamy w naszej pamieci (UWAGA! Nie powstala dotad na tej planecie lepsza metoda opanowania matryc logicznych, niz “dokladne wykucie ich w twardym dysku, ktory kazdy z nas nosi pod wlasna czupryna”. Jest to czynnosc jak najbardziej mozliwa do wykonania i pojdzie tym szybciej, im pozytywniejsze jest nasze nastawienie do niej. Pewnym ulatwieniem jest tu potraktowanie : - KONIUNKCJA jako ILOCZYN, gdzie :  p q p x q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 - ALTERNATYWA jako SUMA, gdzie : p q p + q 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 Opanowanie matryc w logice jest tym, czym alfabetu w nauce pisania. Znajomosc jednego i drugiego poprostu ulatwia Zycie. PAMIETAJ !), jaka wartosc ma alternatywa “1  0” i wpisujemy “1”. Dalej interesuje nas wartosc logiczna implikacji dwoch jedynek, przez co znow udajemy sie w krotka podroz w glab wlasnego umyslu, przynoszac stamtad wiadomosc, ze jest to “1”. Tak oto nasz schemat jest prawda logiczna, bo ma wartosc “1”

3. EKSTENSJONALNOSC SPOJNIKOW W RACHUNKU ZDAN - okreslana jest wtedy, gdy wartosc logiczna calego zdania (ze spojnikiem), ostatecznie wyznaczana jest przez wartosc logiczna zdania / zdan skladowych. INTENSJONALNOSC natomiast okeslana jest wowczas, kiedy wartosc logiczna zdania / zdan skladowych nie ma wplywu na to, jaka wartosc logiczna ma cale zdanie (ze spojnikiem).

Oznacza to, ze NA PRZYKLAD wszystkie najoczywistsze spojniki zdaniowe, jak:

- "i" (przyklad spojnika koniunkcji)
- "lub" (przyklad spojnika alernatywy)
- "jezeli, to" (przyklad spojnika wynikania)
- "wtedy, gdy" (przyklad spojnika rownowaznosci)
- "nieprawda, ze" (przyklad spojnika negacji)

sa EKSTENSJONALNE, bo niewazne, co podstawimy sobie jako zdanie / zdania skladowe, to zawsze bedzie to mialo wplyw na ostateczna wartosc logiczna calosci. A kwiatki typu: "Jest konieczne, ze" to spojniki INTENSJONALNE, bo tak naprawde nic nie jest konieczne - nawet to, zeby wartosc logiczna zdan skladowych miala wplyw na ostateczna wartosc calego zdania. ;) "It's simple, isn't it? Simple like dealing with >> CONSCIENTIOUSNESS << at first sight!"

No ale, zeby nie bylo nadto nie-ciekawie, przystapic wypada do logicznych przekladow teorii powyzszych w praktyki ponizsze...

CWICZENIE 6

Pobawimy sie teraz w zastepowanie jednych spojnikow innymi, utrzymujac przy tym logiczna rownowaznosc zdania wyjsciowego.


a) Zastapic spojnik koniunkcji spojnikami implikacji i negacji.

Zdanie wyjsciowe : “Ucze sie logiki i slucham nastrojowej muzyki.”; 
Jego schemat : p  q

p	q	p q
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

Teraz naszym zadaniem jest ulozenie metoda prob i bledow takiej matrycy logicznej, ktora, zbudowana na podstawie nowego schematu, zawierajacego spojniki implikacji i negacji, przedstawialaby takie same wartosci logiczne, jak ma to miejsce w przypadku matrycy koniunkcji. 

p	q	~ ( p  ~ q )
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

Jak widzisz schematem rownowaznym dla p  q, jest schemat ~ ( p  ~ q ), gdyz wylacznie w takim zestawieniu implikacji i negacji otrzymujemy matryce z identycznymi wartosciami logicznymi, jak ma to miejsce w matrycy koniunkcji.

Nasze wyjsciowe zdanie brzmi wedlug nowego schematu tak : “Nieprawda, ze jesli ucze sie logiki, to nie slucham nastrojowej muzyki.” (Mimo przeksztalconej budowy, nie zmienil sie jego sens.)

. TAUTOLOGIA RACHUNKU ZDAN - jest to wylacznie prawdziwy schemat zdania wyrazonego w jezyku rachunku zdan. O jego prawdziwosci rozstrzygamy poprzez podstawienie w miejsca zmiennych zdaniowych jedynek (wartosci prawdy), oraz zer (wartosci falszu), we wszystkich mozliwych kombinacjach ( jest ich, jak pamietamy : 2^n, gdzie “n” jest liczba zmiennych zdaniowych). Jej przeciwienstwo to KONTRTAUTOLOGIA, ktora jest wylacznie falszywym schematem zdania wyrazonego w jezyku rachunku zdan. Zatem tautologia jest taki schemat, ktorego wartosc logiczna jest tylko i wylacznie prawdziwa (dla kazdej kombinacji wartosci logicznych zdan skladowych calosc to zawsze “1”), natomiast kontrtautologia jest taki schemat, ktorego wartosc logiczna jest tylko i wylacznie falszywa (dla kazdej kombinacji wartosci logicznych zdan skladowych calosc to zawsze “0”). PRZYKLAD TAUTOLOGII:       (~ p ~ q) ( q p ) p q       1 1   0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0   0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1   1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0   1 0 1 1 0 1 0 1 0 Widzisz, ze ostateczna wartosc logiczna calego schematu, po przeprowadzeniu wszystkich operacji, stanowia same jedynki. Wiec nie pozostaje nam - teraz juz znawcom logiki, nic innego, jak nazwac powyzszy schemat tautologia. PRZYKLAD KONTRTAUTOLOGII:       (~ p ~ q) ~(q p) p q                 1 1   0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0   0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1   1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0   1 0 1 1 0 0 0 0 1 0

Wystarczylo zanegowac drugi czlon implikacji wystepujacej w schemacie tautologii i zastapic sam glowny funktor rownowaznoscia by uzyskac kontrtautologie ( podkreslone same zera ). CWICZENIE 7 Czeka nas teraz "zabawa" ze sprawdzaniem tego czy schematy sa tautologia, kontrtautologia czy tez ani tym, ani tym... a)       [(q p) -  q )] q p q 1 1   1 1 1 - 1 - 1 1 1 1 0   0 1 1 - 0 - 0 1 0 0 1   1 0 0 - 0 - 1 1 1 0 0   0 1 0 - 0 - 0 1 0 Sposob postepowania jest nastepujacy: - napisalismy sobie schemat i zauwazylismy, ze wystepuja w nim dwie zmienne zdaniowe “p” i “q”; - skoro mamy w schemacie tylko “p” i “q”, z wzoru 2 ^nobliczamy dla nich ilosc kombinacji zerojedynkowych (jest ich 4 i zostaly napisane z lewej strony schematu); - podpisujemy pod odpowiednimi literami ich wartosci logiczne i dokonujemy pierwszego dzialania - implikacji; - kolejny krok to sprawdzenie wartosci logicznej koniunkcji w nawiasie kwadratowym; - ostatecznie dotarlismy do glownego spojnika schematu, ktorym jest druga implikacja, przyjmujacego dla wszystkich czterech zestawow zerojedynkowych wartosc prawdy, co ustanawia nasz schemat tautologia. _____ b)       [(q p) q )]  q p q     1 1   1 1 1 1 1 1 1 1 0   0 1 1 0 0 1 0 0 1   1 0 0 0 1 0 1 0 0   0 1 0 0 0 1 0

Teraz, po zastapieniu glownego spojnika poprzedniego schematu z implikacji na rownowaznosc, nie otrzymalismy juz tautologii (podkreslone jedno zero), ani kontrtautologii (podkreslone trzy jedynki). Nasz schemat jest wiec najzwyklejszym ze schematow, nie dzierzacym szlachetnego miana jakim jest tautologia czy tez kontrtautologia. _____ c)         ~ {[r  ( p  q)] (~ p ~ q)} p q r                   1 1 1   0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0   0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0   0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0   0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1   0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1   0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1   0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0   0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1
I oto naszym oczom ukazala sie w swej pelnej krasie kontrtautologia (podkreslone same zera, bedace wartosciami logicznymi glownego spojnika schematu - negacji, dla poszczegolnych kombinacji zerojedynkowych).  _____ d)         (~ p q) V ~ (p r) p q r                   1 1 1   0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0   0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0   0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0   1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1   1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1   1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1   0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0   1 0 1 1 1 1 0 0 0

I znow nasze najnowsze odkrycie w polu poglebiania wlasnych umiejetnosci logicznych okazalo sie byc tautologia. Tym razem alternatywa ustanowila wartosc logiczna calego schematu jako “1”. 

UWAGA !  Zerojedynkowa procedura sprawdzania tautologicznosci schematow logicznych moze byc skrocona za sprawa wspanialego umyslu ludzkiego, ktory to jest w stanie uproscic Czlowiekowi wszystko, co tylko do uproszczenia sie nadaje. Poprzez rozumne zanalizowanie schematu mozemy darowac sobie zmudne podstawianie do niego wszystkich kombinacji zmiennych skladowych (w przykladach “c” i “d” poprzedniego cwiczenia mielismy ich az 8, a ilez dopiero pracy byloby przy 16), czyniac to tylko z tymi wariantami, ktore z zalozenia moglyby powodowac jego nietautologicznosc.

Skomplikowane? Na pewno jeszcze tak, ale po wykonaniu kilku cwiczonek zobaczysz, ze nie bedzie Ci sie chcialo rozstawac z ta metoda do konca Twoich dni... oczywiscie tych z logika, jako przedmiotem nauczania, w planie zajec.

5. SYSTEM ZALOZENIOWY RACHUNKU ZDAN - jest to kolejna, po matrycowej, metoda przeprowadzania rachunku zdan, polegajaca na dowodzeniu tautologicznosci schematu, wylacznie poprzez ustalone reguly (dyrektywy) dowodzenia (wnioskowania). Tych reguł jest ich co prawda mnostwo, aczkolwiek podam Ci je w na tyle przystepny sposob, ze po niewielkim uplywie czasu zapewne beda one Twoje: A wiec: "W DROGE!" 1. REGULA ODRYWANIA - jesli do dowodu naleza dwie rzeczy : pierwsza - implikacja i druga - jej poprzednik, wystepujacy samodzielnie, to wolno nam oderwac ten poprzednik z implikacji, pozostawiajac jedynie sam nastepnik . UWAGA ! Nastepnik to nasza prawa koperta (nastepuje po lewej), poprzednik to nasza lewa koperta (poprzedza prawa). Nazwy te wystepuja tylko i wylacznie, jesli glownym spojnikiem jest implikacja.  PAMIETAJ ! Przyklad zastosowania RO (reguly odrywania):  A teraz to samo na literach : p  q (w lewej kopercie mamy “p”, w prawej zas “q”) p (samodzielny poprzednik tej implikacji - “p”) q (zastosowana RO, dzieki niej otrzymano “q”) [r  ~ (q  ~ p)]  {~ p  [r  ~ (q V p)]} (inna implikacja) [r  ~ (q  ~ p)] (samodzielny poprzednik innej implikacji) {~ p  [r  ~ (q V p)]} (efekt zastosowania RO) I W GORE I ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 2. REGULA DOLACZANIA KONIUNKCJI - gdy do dowodu naleza dwie rozne rzeczy, mozna tworzyc z nich koniunkcje.  Przyklad zastosowania DK (reguly dolaczania koniunkcji):  To samo na literach : p (pierwsza rzecz) q (druga rzecz) p  q DK [r  ~ (q  ~ p)] (pierwsza rzecz) {~ p  [r  ~ (q V p)]} (druga rzecz) [r  ~ (q  ~ p)]  {~ p  [r  ~ (q V p)]} DK I W GORE I ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 3. REGULA OPUSZCZANIA KONIUNKCJI - jesli do dowodu nalezy koniunkcja, to mozemy rozszczepic ja na dwa oddzielne skladniki.  Przyklad zastosowania OK (reguly opuszczania koniunkcji): Teraz na literach : p  q (koniunkcja) p OK q OK [r  ~ (q  ~ p)]  {~ p  [r  ~ (q V p)]} (koniunkcja) [r  ~ (q ~ p)] OK {~ p  [r  ~ (q V p)]} OK UWAGA ! Czasem pojawia sie w zadaniach koniunkcja skladajaca sie z wiecej niz dwoch czesci, np. p  q  r . Regula opuszczania takiej koniunkcji jest analogiczna do sposobu postepowania z koniunkcja dwuskladnikowa i otrzymuje sie w ten sposob : p , q , r . PAMIETAJ ! I W GORE I ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 4. REGULA DOLACZANIA ALTERNATYWY - do dowodu wolno dolaczyc alternatywe, o ile ktorys z jej czlonow juz nalezal do tego dowodu. Przyklad zastosowania DA (reguly dolaczania alternatywy):  Teraz na literach : p (rzecz nalezaca juz do dowodu) p V q DA [r  ~ (q  ~ p)] (rzecz nalezaca juz do dowodu)  [r  ~ (q  ~ p)] V {~ p  [r  ~ (q V p)]} DA I W GORE I ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 5. REGULA OPUSZCZANIA ALTERNATYWY - jesli do dowodu naleza dwie rzeczy : pierwsza - alternatywa i druga - negacja jednego z jej czlonow, to mozemy w nast. wierszu wpisac drugi jej czlon. 6 mozliwych przykladow zastosowania OA (reguly opuszczenia alternatywy) :  Wariant I Teraz na literach : p V q (alternatywa) ~ p (negacja pierwszego jej czlonu) q OA [r  ~ (q  ~ p)] V {~ p  [r  ~ (q V p)]} (alternatywa)  ~ [r  ~ (q  ~ p)] (negacja pierwszego jej czlonu) {~ p  [r  ~ (q V p)]} OA Wariant II Teraz na literach : p V q (alternatywa) ~ q (negacja drugiego jej czlonu) p OA [r  ~ (q  ~ p)] V {~ p  [r  ~ (q V p)]} (alternatywa) ~{~ p  [r  ~ (q V p)]} (negacja drugiego jej czlonu) [r  ~ (q  ~ p)] OA Wariant III Teraz na literach : (~ p ) V q (alternatywa) p (przeciwienstwo pierwszego jej czlonu) q OA ~ [r  ~ (q  ~ p)] V {~ p  [r  ~ (q V p)]}  [r  ~ (q ~ p)] {~ p  [r  ~ (q V p)]} OA Wariant IV Teraz na literach : p V (~ q) (alternatywa) q (przeciwienstwo drugiego jej czlonu) p OA [r  ~ (q  ~ p)] V ~ {~ p  [r  ~ (q V p)]}  {~ p  [r  ~ (q V p)]} [r  ~ (q  ~ p)] OA  Wariant V Teraz na literach : (~ p ) V ( ~q ) (alternatywa) p (przeciwienstwo pierwszego jej czlonu) ~q OA ~ [r  ~ (q  ~ p)] V ~ {~ p  [r  ~ (q V p)]}  [r  ~ (q ~ p)] ~ {~ p  [r  ~ (q V p)]} OA Wariant VI Teraz na literach : (~ p ) V ( ~q ) (alternatywa) q (przeciwienstwo pierwszego jej czlonu) ~p OA ~ [r  ~ (q  ~ p)] V ~ {~ p  [r  ~ (q V p)]}  {~ p  [r  ~ (q V p)]}  ~ [r  ~ (q  ~ p)] OA  I W GORE I ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 6. REGULA DOLACZANIA ROWNOWAZNOSCI - do dowodu mozemy dolaczyc rownowaznosc, jesli naleza do dwie implikacje, rozniace sie od siebie tylko tym, ze ich czesci skladowe sa zamienione miejscami.  Przyklad zastosowania DR (reguly dolaczania rownowaznosci) :  Dla wprawy przesledzmy przebieg tego dzialania na literach : p  q (pierwsza implikacja) q  p (druga implikacja) p  q DR [r  ~ (q ~ p)]  {~ p  [r  ~ (q V p)]}  {~ p  [r  ~ (q V p)]}  [r  ~ (q  ~ p)] [r  ~ (q  ~ p)]  {~ p  [r  ~ (q V p)]} DR  I W GORE I ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 7. REGULA OPUSZCZANIA ROWNOWAZNOSCI - (odwrotnosc reguly DR), jesli do dowodu nalezy rownowaznosc, to mozna ja rozlozyc na dwie implikacje.  Przyklad zastosowania OR (reguly opuszczania rownowaznosci) : I przebieg tego dzialania na literach : p  q (rownowaznosc) p  q OR (pierwsza implikacja) q  p OR (druga implikacja) [r  ~ (q  ~ p)]  {~ p  [r  ~ (q V p)]}  [r  ~ (q  ~ p)]  {~ p  [r  ~ (q V p)]} OR  {~ p  [r  ~ (q V p)]}  [r  ~ (q  ~ p)] OR I W GORE I ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 8. REGULA OPUSZCZANIA NEGACJI - jesli w dowodzie mamy podwojna negacje pewnego elementu tego dowodu, wolno nam w kolejnym wierszu wpisac ten element juz bez obu znakow negacji (nie zmieni to jego wartosci logicznej). Przyklad zastosowania ON (reguly opuszczania negacji):  Na literach wyglada to tak : ~ ~ p p ON ~ ~ [r  ~ (q  ~ p)] [r  ~ (q  ~ p)] ON I W GORE I ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 9. REGULA DODAWANIA NEGACJI - jesli w dowodzie mamy pewien element, wolno nam w kolejnym wierszu wpisac ten element z podwojnym znakiem negacji. Przyklad zastosowania DN (reguly dolaczania negacji) :    Na literach wyglada to tak : p ~ ~ p DN [r  ~ (q  ~ p)] ~ ~ [r  ~ (q  ~ p)] DN I W GORE I ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 10. REGULA MODUS TOLLENS - jesli do dowodu naleza dwie rzeczy : pierwsza - implikacja i druga - negacja jej nastepnika, wystepujaca samodzielnie, to wolno nam oderwac ten zanegowany nastepnik z implikacji, pozostawiajac jedynie sama negacje poprzednika. Dwa mozliwe przyklady zastosowania MT (reguly modus tollens):  WARIANT I Na literach : p  q (implikacja) ~ q (negacja nastepnika) ~ p MT [r  ~ (q  ~ p)]  {~ p  [r  ~ (q V p)]} ~ {~ p  [r  ~ (q V p)]}  ~ [r  ~ (q  ~ p)] MT WARIANT II  Na literach : p  (~ q) (implikacja) q (negacja nastepnika) ~ p MT [r  ~ (q  ~ p)]  {~ p  [r  ~ (q V p)]} {~ p  [r  ~ (q V p)]}  ~ [r  ~ (q  ~ p)] MT I W GORE I ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 11. REGULA NEGOWANIA KONIUNKCJI - zanegowana koniunkcja dwoch elementow, wystepujaca w dowodzie, moze zostac zastapiona alternatywa negacji obu tych elementow.  Przyklad zastosowania NK (reguly negowania koniunkcji):  Literki w akcji : ~ ( p  q ) (zanegowana koniunkcja)  ~ p V ~ q NK ~ {[r  ~ (q  ~ p)]  [r  ~ (q V p)]} { ~ [r  ~ (q  ~ p)]} V { ~ [r  ~ (q V p)]} NK I W GORE I ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 12. REGULA NEGOWANIA ALTERNATYWY - zanegowana alternatywa dwoch elementow, wystepujaca w dowodzie, moze zostac zastapiona koniunkcja negacji obu tych elementow.  Przyklad zastosowania NA (reguly negowania alternatywy):  Literki w akcji : ~ ( p V q ) (zanegowana alternatywa)  ~ p  ~ q NA ~ {[r  ~ (q  ~ p)] V [r ~ (q V p)]} { ~ [r  ~ (q  ~ p)]}  { ~ [r  ~ (q V p)]} NA I W GORE I ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 13. REGULA NEGOWANIA IMPLIKACJI - zanegowana implikacja dwoch elementow, wystepujaca w dowodzie, moze byc zastapiona koniunkcja niezmienionego pierwszego i negacji drugiego elementu.  Przyklad zastosowania NI (reguly negowania implikacji):  Literki w akcji : ~ ( p  q ) (zanegowana implikacja)  p  ( ~ q ) NI ~ {[r  ~ (q  ~ p)]  [r  ~ (q V p)]} [r  ~ (q  ~ p)]  { ~ [r  ~ (q V p)]} NI I W GORE I ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 14. REGULA NEGOWANIA ROWNOWAZNOSCI - zanegowana rownowaznosc dwoch elementow nalezaca do dowodu zostaje zastapiona : w pierwszym przypadku rownowaznoscia zanegowanego pierwszego elementu i niezmienionego drugiego elementu lub tez w drugim wariancie rownowaznoscia niezmienionego pierwszego elementu i negacji drugiego . Przyklad zastosowania NR (reguly negowania rownowaznosci): WARIANT I No i na literach to wyglada tak : ~ ( p  q ) (zanegowana rownowaznosc)  ~ p  q NR ~ {[r  ~ (q  ~ p)]  [r  ~ (q V p)]} ~ [r  ~ (q  ~ p)]  [r  ~ (q V p)] NR WARIANT II Na literach to tak : ~ ( p  q ) (zanegowana rownowaznosc)  p  ~ q NR ~ {[r  ~ (q  ~ p)]  [r  ~ (q V p)]} [r  ~ (q  ~ p)]  ~ [r  ~ (q V p)] NR I W GORE I

a) DOWOD ZALOZENIOWY “WPROST” I Pierwsze cwiczenie w rozdziale nr 5 I

Budujac zalozeniowy dowod wprost schematu o postaci: W₁  { W₂  [ W₃  ...  ( W_n  W ) ] } wypisujemy najpierwzalozenia : W₁ , W₂ , W₃ , ... , W_n , potem zas przeksztalcenia dokonywane na podstawie poznanych wczesniej regul dowodzenia w systemie zalozeniowym. Dowod jest zakonczony, gdy ostatecznie otrzymamy to wyrazenie “W”.

Od razu przyklad:

(p r) [ (r q) ( p q ) ] 





Mamy wiec schemat : “(p  r)  [ (r  q)  ( p  q ) ]”, i naszym zadaniem jest sprawdzenie czy jest on tautologia. Chcac uczynic to wczesniej podstawialismy zmudnie do niego kombinacje zerojedynkowe i oczekiwalismy, ze da nam to za kazdym razem wartosc calego schematu “1”. Tym razem jednak zrobimy to krotka i prosta metoda <<dowodu wprost>> :


- jak wyczytalismy to w powyzszej definicji, musimy zaczac od wypisania zalozen, czego poprawne wykonanie jest polowa naszego sukcesu:

1. p  r 2. r  q 3. p

zal. zal. zal.

Widzisz, ze mamy teraz trzy zalozenia : I - jest nim ZAWSZE wszystko to, co wystepuje przed glowna implikacja calego schematu (wyrazenie : “p r”, u nas znajdujace sie w lewej kopercie, a w definicji figurujace jako “W1”). II - jest nim ZAWSZE wszystko to, co wystepuje przed glowna implikacja nastepnika calego schematu (wyrazenie : “r  q”, u nas to znaczek poczty lotniczej, znajdujacy sie na prawej kopercie, a w definicji figurujace jako “W2”). III - jest nim ZAWSZE wszystko to, co wystepuje przed ostatnia implikacja, jaka mamy w schemacie (wyrazenie : “p”, u nas to pole adresowe prawej wielkiej koperty , a w definicji figurujace jako “Wn”). - kolejny krok to dokonanie stosownych przeksztalcen na podstawie znanych regul:

4. r 5. q	RO : 1,3  RO : 2,4

UWAGA ! Trzeba koniecznie zapisywac ktore wiersze biora udzial w danej regule i tak np. w naszej RO uzytej w wierszu 4 braly udzial : wiersz 1 i 3 . PAMIETAJ! W wierszu czwartym zastosowalismy znana nam reg. odrywania, uzywajac do tego celu rzeczy z wiersza pierwszego i trzeciego: 1. p  r  ... 3. p 4. r W wierszu piatym zastosowalismy takze RO: 2. r  q  ... 4. r 5. q - tak oto dostalismy, co chcielismy: nasz piaty wiersz jest zgodny z rzecza, ktora mielismy osiagnac, czyli ZAWSZE tym, co znajduje sie po ostatnim znaku implikacji wystepujacym w calym schemacie (wyrazenie : “q”, u nas jest to znaczek przyklejony na prawej wielkiej kopercie, a w definicji figurujace jako “W”). - pozostaje teraz jedynie napisac odpowiedz, ze badany schemat jest tautologia. Zapis calego dzialania wyglada nastepujaco : (p  r) [(r q)  (p  q)]

1. p  r	zal.
2. r  q	zal.
3. p	zal.
4. r	RO : 1,3
5. q Odp. Ten schemat jest tautologia.	RO : 2,4

b) DOWOD ZALOZENIOWY “NIEWPROST”  Budujac zalozeniowy dowod niewprost schematu o postaci: W1 { W2  [ W3  ... ( Wn  W ) ] } wypisujemy najpierw zalozenia: W1 , W2 , W3 , ... , Wn , nastepnie negacje wyrazenia W, potem zas przeksztalcenia dokonywane na podstawie poznanych wczesniej regul dowodzenia w systemie zalozeniowym. Dowod jest zakonczony, gdy wystapia w nim jakiekolwiek dwa sprzeczne ze soba wyrazenia ( jedno musi byc negacja drugiego ). Maly przykladzik “na goraco”:  (p r) [ (r q) ( p q ) ] Oto schemat : “(p  r)  [ (r  q)  ( p  q ) ]”. Teraz sprawdzimy czy jest on tautologia, uzywajac do tego celu jeszcze prostszego sposobu, niz “metoda wprost - <<dowodu niewprost>>: - zaczynamy znow od wypisania zalozen:

1. p  r 2. r  q 3. p

zal. zal. zal.

Sa w tym przypadku trzy zalozenia:  I - jest nim ZAWSZE wszystko to, co wystepuje przed glowna implikacja calego schematu (wyrazenie : “p r”, u nas znajdujace sie w lewej kopercie, a w definicji figurujace jako “W1”). II - jest nim ZAWSZE wszystko to, co wystepuje przed glowna implikacja nastepnika calego schematu (wyrazenie : “r  q”, u nas to znaczek poczty lotniczej, znajdujacy sie na prawej kopercie, a w definicji figurujace jako “W2”). III - jest nim ZAWSZE wszystko to, co wystepuje przed ostatnia implikacja, jaka mamy w schemacie (wyrazenie : “p”, u nas to pole adresowe prawej wielkiej koperty , a w definicji figurujace jako “Wn”). - teraz musimy dodac tzw. “zalozenie dowodu niewprost”, ktore to ZAWSZE jest NEGACJA tego wyrazenia, ktore znajduje sie po ostatnim znaku implikacji wystepujacym w calym schemacie (wyrazenie : “q”, u nas jest to znaczek przyklejony na prawej wielkiej kopercie, a w definicji figurujace jako “W”). Cala sprawa wyglada tak :

4. ~ q	z.d.n. (UWAGA!“z.d.n.”trzeba tutaj pisac PAMIETAJ!)
- dalszy krok - przeksztalcenia na podstawie regul:
5. r 6. ~ r	RO : 1,3  MT : 2,4
Wiersz nr 6 wzial sie stad:  2. r  q ... 4. ~ q  ... 6. ~ r

- i naszym oczom ukazala sie upragniona sprzecznosc : wyrazenie w wierszu piatym jest sprzeczne z wyrazeniem z wiersza szostego, co pozwala nam udzielic odpowiedzi, iz schemat jest tautologia. UWAGA! Nie musimy wcale szukac negacji wyrazenia, ktore wystepuje po ostatniej implikacji - “znaczka”, by uzyskac sprzecznosc, a tym samym udowodnic tautologicznosc schematu. Wystarczy, jak ma to miejsce w podanym tu przykladzie, ze znajdziemy jakakolwiek sprzecznosc. PAMIETAJ!.  Zapis calego dzialania wyglada nastepujaco: (p  r)  [(r  q)  (p  q)]
1. p  r
2. r  q
3. p
4. ~ q
5. r
6. ~ r Odp. Sprzecznosc:5,6 - schemat jest tautologia.
UWAGA ! Dowodzenie tautologicznosci schematu, ktorego glownym spojnikiem nie jest implikacja najlepiej robic metoda “NIEWPROST”. Oto kolejne kroki tej procedury w przypadku takiego rodzaju schematu (glownym spojnikiem jest tu alternatywa): ( p q ) v ( q p )  (calosc traktujemy sobie jako swoisty nastepnik nieistniejacej w istocie implikacji) - ZAWSZE zaczynamy wiec od “zalozenia dowodu niewprost” - zanegowania calego schematu (u nas jest to cala koperta), gdyz nigdy nie wypisuje sie zwyklych zalozen (taki panuje tu konwenans):
1. ~ [( p  q ) V ( q  p )]
- przeksztalcenia, zgodne ze znanymi regulami:
2. ~ ( p  q )  ~ ( q  p )
3.~ ( p  q )
4. ~ ( q  p )
5. p  ~ q
6. q  ~ p
7. p
8. ~ q
9. q
10. ~ p
- pokazala sie "jakakolwiek" sprzecznosc (wiersze: 8,9 , a nawet dodatkowo wiersze : 7,10 , choc wystarczylaby zupelnie jedna, ale “od przybytku sprzecznosci glowa nie boli”), co sklania nas do odpowiedzi, iz badany schemat jest tautologia. PAMIETAJ ! Zapis calego dzialania wyglada nastepujaco : ( p  q ) V ( q  p )

1. ~ [( p  q ) V ( q  p )]	z.d.n.
2. ~ ( p  q )  ~ ( q  p )	NA : 1
3.~ ( p  q )	OK : 2
4. ~ ( q  p )	OK : 2
5. p  ~ q	NI : 3
6. q  ~ p	NI : 4
7. p	OK : 5
8. ~ q	OK : 5
9. q	OK : 6
10. ~ p  Odp. Sprzecznosc: 8,9 - schemat jest tautologia.	OK : 6
6. PRAWDA LOGICZNA - jest to zdanie z ktorego mozna stworzyc taki schemat zdaniowy, ktory jest tautologia    (wiecznie prawdziwe). Czyli bedzie teraz troche “pod gorke”, bo dostaniemy jakies zdanie i dopiero na jego podstawie trzeba nam bedzie skonstruowac schemat logiczny, po ktorego udowodnieniu tautologicznosci badz tejze nieudowodnieniu, damy odpowiedz, ze jest ono prawda logiczna badz ze nie jest. Zatem rzecz jest do zrobienia - nie takie rzeczy sie przeciez tu juz robilo! :) CWICZENIE 13 Sprawdzimy sobie aktualnie czy ponizsze zdania naleza do jednego z wielu gatunkow stworzen logicznych, jakim sa Prawdy: a) “Jezeli Kubus wyjadl miodek lub Antykubus wyjadl miodek, to o ile Kubus nie wyjadl miodku, to Antykubus wyjadl miodek.”  Zdanie skladowe “p” - “Kubus wyjadl miodek.” Zdanie skladowe “q” - “Antykubus wyjadl miodek.”  Schemat calosci: (p V q)  (~ p  q)

1. p V q	zal.
2. ~ p	zal.
3. ~ q	z.d.n.
4. q	OA : 1,2

Odp. Schemat jest tautologia ( sprzecznosc: 3,4 ),  wiec cale zdanie jest prawda logiczna. _____ b) “Jesli prawda, ze Kubus wyjadl miodek i Antykubus wyjadl miodek, to Kubus wyjadl miodek lub Antykubus nie wyjadl miodku. Zdanie skladowe “p” - “Kubus wyjadl miodek.” Zdanie skladowe “q” - “Antykubus wyjadl miodek.”  Schemat calosci: (p  q)  (p V ~ q)

1. p  q	zal.
2. ~ (p V ~ q)	z.d.n.
3. p	OK : 1
4. q	OK : 1
5. ~ p  ~ ~ q	NA : 2
6. ~ p	OK : 5
7. ~ ~ q	OK : 5

Odp. Schemat jest tautologia (sprzecznosc: 3,6), a cale zdanie prawda logiczna.

7. WYNIKANIE LOGICZNE ZDAN - zachodzi pomiedzy Z2 i Z1 , jezeli zdanie o schemacie : “Z1  Z2” jest prawda logiczna. Mowimy wowczas, ze Z2 WYNIKA LOGICZNIE z Z1. Od razu przykladzik rozjasniajacy umysl w kwestii wynikania logicznego zdan :  - “Male” zdanie Z2 : “Polacy sa Europejczykami.” ,  - wynika logicznie z “wiekszego” zdania Z1 : “Jezeli Polska znajduje sie w Europie, to Polacy sa Europejczykami, a Polska znajduje sie w Europie.”, - poniewaz po polaczeniu ich implikacja i utworzeniu “wielkiego” zdania : “JESLI jezeli Polska znajduje sie w Europie, to Polacy sa Europejczykami, a Polska znajduje sie w Europie, TO Polacy sa Europejczykami.”, - przekonujemy sie o tym, konstruujac schemat “wielkiego” zdania i dowodzac jego tautologicznosc:  Z1 : (p  q)  p  Z2 : q  Schemat “wielkiego” zdania o postaci “Z1  Z2” : [(p  q)  p]  q

1. (p  q)  p	zal.
2. ~ q	z.d.n.
3. p  q	OK : 1
4. p	OK : 1
5. ~ p	MT : 2,3

Odp.Ten schemat jest tautologia (sprzecznosc: 4,5), wiec zdanie Z2 WYNIKA LOGICZNIE z Z1 . CWICZENIE 14 Niech nam teraz wolno bedzie wydac wyrok o domniemanym wynikaniu logicznym ponizszych zestawow zdaniowych, ze sie tak wyraze : a) Z1 : “Adam wpil swa szczeke w jablko i zrobila to tez Ewa.”  Z2 : “Adam wpil swa szczeke w jablko.” Z1 Z2: “Jezeli Adam wpil swa szczeke w jablko i zrobila to tez Ewa, to Adam wpil swa szczeke w jablko.” (p  q)  p

1. p  q	zal.
2. ~ p	z.d.n.
3. p	OK : 1
4. q	OK : 1

Odp. Schemat to tautologia (sprzeczn. : 2,3), wiec miedzy zdaniami zachodzi wynikanie logiczne. _____ b) Z1 : “Jezeli Adam wpil swa szczeke w jablko, to nie zrobila tego Ewa.”  Z2 : “Ewa wpila swa szczeke w jablko lub Adam tego nie zrobil.” Z1  Z2 : “Jezeli jesli Adam wpil swa szczeke w jablko, to nie zrobila tego Ewa, to Ewa wpila swa szczeke w jablko lub Adam tego nie zrobil.” (p  ~ q)  (q V ~ p)

1. p  ~ q	zal.
2. ~ (q V ~ p)	z.d.n.
3. ~ q  ~ ~ p	NA : 2
4. ~ q	OK : 3
5. ~ ~ p	OK : 3
6. p	ON : 5
7. ~ q	RO : 1,6

Odp. Schemat nie jest tautologia (0 sprzecznosci), zatem zdanie Z2 nie wynika logicznie ze zdania Z1.

8. ROWNOWAZNOSC LOGICZNA ZDAN - zachodzi pomiedzy Z₁ i Z₂ , jezeli zdanie Z₁ wynika logicznie ze zdania Z₂ i jednoczesnie Z₂ wynika logicznie ze zdania Z₁ , a zdanie o schemacie : Z₁  Z₂ , jest prawda logiczna. Mowimy wowczas, ze Z₁ jest logicznie rownowazne Z₂.


Nic nie poprowadzi nas lepiej ku zrozumieniu tegoz problemu, nizli jego niewielka analiza :


- Dostajemy do rak np. taki tekst :

“Nieprawda, ze jezeli Tales przewidzial w 585 p.n.e. zacmienie Slonca, to niektorzy Filozofowie uwazali, ze Ziemia jest plaska. Tales przewidzial w 585 p.n.e. zacmienie Slonca, a niektorzy Filozofowie nie uwazali, ze Ziemia jest plaska.” 

- odkrywamy sobie jakie zdania go tworza : 

p : "Tales przewidzial w 585 p.n.e. zacmienie Slonca."
q : "Niektorzy Filozofowie uwazali, ze Ziemia jest plaska."

- budujemy schematy zaznaczonych zdan : 

Z₁ : ~ ( p  q ) 
Z₂ : p  ~ q 

- tworzymy zdanie o postaci “Z₁  Z₂” :

“Nieprawda, ze jezeli Tales przewidzial w 585 p.n.e. zacmienie Slonca, to niektorzy Filozofowie uwazali, ze Ziemia jest plaska WTEDY I TYLKO WTEDY, GDY Tales przewidzial w 585 p.n.e. zacmienie Slonca, a niektorzy Filozofowie nie uwazali, ze Ziemia jest plaska.”

- zapisujemy schemat “wielkiego” zadnia “Z₁  Z₂” :

[~ ( p  q )]  ( p  ~ q ) 

- dowodzimy tautologicznosci tego schematu (najprosciej zerojedynkowo) :

			[~	(p		q)]		(p		~	q)
p	q
1	1		0	1	1	1	1	1	0	0	1
1	0		1	1	0	0	1	1	1	1	0
0	1		0	0	1	1	1	0	0	0	1
0	0		0	0	1	0	1	0	0	1	0

- dajemy odpowiedz, iz pomiedzy zdaniami Z₁ i Z₂ zachodzi rownowaznosc logiczna
(nasz schemat jest tautologia jako ze przekonalismy sie o tym sami - w procesie sprawdzania
wyszly Nam same jedynki).


CWICZENIE 15

Nadszedl wiec czas, abysmy tym oto cwiczeniem pozyskali dla siebie stosowne kwalifikacje w polu sprawdzania rownowaznosci logicznej zdan:


a) “Tales przewidzial w 585 p.n.e. zacmienie Slonca i niektorzy Filozofowie uwazali, ze Ziemia jest plaska. Nieprawda, ze Tales nie przewidzial w 585 p.n.e. zacmienia Slonca lub niektorzy Filozofowie nie uwazali, ze Ziemia jest plaska.” 

Z₁ : p  q 
Z₂ : ~ (~ p V ~ q)
Z₁  Z₂ :

			(p		q)		[~	(~	p	V	~	q)]
p	q
1	1		1	1	1	1	1	0	1	0	0	1
1	0		1	0	0	1	0	0	1	1	1	0
0	1		0	0	1	1	0	1	0	1	0	1
0	0		0	0	0	1	0	1	0	1	1	0

Odp. Pomiedzy powyzszymi zdaniami zachodzi rownowaznosc logiczna.

9. WNIOSKOWANIE DEDUKCYJNE - jest to taki rodzaj wnioskowania (SUBIEKTYWNIE PEWNY), w ktorym wniosek wynika logicznie z przeslanek (jesli ze zdania “P” logicznie wynika zdanie “W” , to prawdziwosc zdania “P” jest gwarancja prawdziwosci zdania “W” ; “W” jest WNIOSKOWANE z “P” w sposob SUBIEKTYWNIE PEWNY).  O dedukcyjnosci przeprowadzonego wnioskowania mozna sie przekonac, ustalajac, ze schemat zbudowany na podstawie przeslanek i wniosku, jest tautologia (wykorzystujac najlepiej do tego celu matrycowa lub zalozeniowa metode dowodzenia). Dla rozjasnienia sytuacji malenki przykladzik, co uczyni rzecz w miare znosna dla rozumu ludzkiego... :) PROCES SPRAWDZANIA DEDUKCYJNOSCI WNIOSKOWANIA : - Mamy taki oto tekst : “Jezeli Kubus wyjadl miodek, to o ile akt ten wyszedl na jaw, to Kubus zostal skarcony przez Przyjaciol; lecz Kubus nie zostal skarcony przez Przyjaciol; a zatem Kubus nie wyjadl miodku albo akt ten nie wyszedl na jaw.” - Pierwszy krok to sprawdzenie jakie wystepuja w nim zdania skladowe : “p” - Kubus wyjadl miodek. “q” - To, ze Kubus wyjadl miodek wyszlo na jaw. “r” - Kubus zostal skarcony przez Przyjaciol. - nastepnie wypisujemy schemat przeslanki wystepujacej w tekscie ( SA TO ZAWSZE ZDANIA ODDZIELANE OD SIEBIE SREDNIKAMI, A WYSTEPUJACE ZAWSZE PRZED WYRAZENIEM TYPU : “ a zatem ”, “ wiec ”, itp., KTORYCH TO ZADANIEM JEST POINFORMOWAC NAS, ZE WLASNIE SKONCZYLA SIE PRZESLANKA I ZACZELA SIE CZESC TEKSTU, BEDACA WNIOSKIEM ) : Schemat przeslanki : “Jezeli Kubus wyjadl miodek, to o ile akt ten wyszedl na jaw, to Kubus zostal skarcony przez Przyjaciol; lecz Kubus nie zostal skarcony przez Przyjaciol;”: P : [ p  ( q  r ) ]  ~ r (koniunkcja - to glowny spojnik w powyzszym schemacie, bo znajdujace sie w tym zdaniu slowo >> lecz <<)  - skoro zrobilismy to, co dotad do nas nalezalo, idzmy za ciosem i w dalszym etapie dzialalnosci zajmijmy sie tkwiacym w tekscie wnioskiem ( WSZYSTKO TO, ZNAJDUJE SIE ZAWSZE PO WYRAZENIU TYPU : “ a zatem ” , “ wiec ” , itp. ), zapisujac jego schemat : W : ( ~ p V ~ q ) Schemat wniosku : “Kubus nie wyjadl miodku albo akt ten nie wyszedl na jaw.” - nie pozostaje w tym miejscu nic innego, jak skonstruowanie schematu calego tekstu, pamietajac aby ZAWSZE umiescic pomiedzy schemacikiem przeslanki i schemacikiem wniosku symbol IMPLIKACJI : { [ p  ( q  r ) ]  ( ~ r ) }  ( ~ p V ~ q ) - no i przed nami najwazniejsza czesc tej zabawy - udowodnienie tautologicznosci naszego schematu (zalecam metode zerojedynkowa lub zalozeniowa - przyp. autora), co w przypadku pozytywnego rozstrzygniecia, pozwoli nam w odpowiedzi zakomunikowac, ze badany tekst jest przykladem wnioskowania dedukcyjnego :  Zrobmy to tak :

{[ p ( q r ) ] (~ r ) } (~ p V ~ q ) p q r                                         1 1 1     1 1   1 1 1   0 0 1   1 0 1 0 0 1   1 1 0     1 0   1 0 0   0 1 0   1 0 1 0 0 1   1 0 0     1 1   0 1 0   1 1 0   1 0 1 1 1 0   0 0 0     0 1   0 1 0   1 1 0   1 1 0 1 1 0   0 1 1     0 1   1 1 1   0 0 1   1 1 0 1 0 1   0 0 1     0 1   0 1 1   0 0 1   1 1 0 1 1 0   1 0 1     1 1   0 1 1   0 0 1   1 0 1 1 1 0   0 1 0     0 1   1 0 0   1 1 0   1 1 0 1 0 1
(metoda skrocona) :
{[ p ( q r ) ] (~ r ) } (~ p V ~ q ) p q r                                         1 1 1     1 1   1 1 1   0 0 1   1 0 1 0 0 1   1 1 0     1 0   1 0 0   0 1 0   1 0 1 0 0 1
... albo najlepiej tak :
{ [ p  ( q  r ) ]  ( ~ r ) }  ( ~ p V ~ q )
1. [ p  ( q  r ) ]  ( ~ r )
2. ~ ( ~ p V ~ q )
3. p  ( q  r )
4. ~ r
5. ~ ~ p  ~ ~ q
6.~ ~ p
7.~ ~ q
8. p
9. q
10. q  r
11. r
Odp. Sprzecznosc : 4,11 - ten schemat jest tautologia, a wiec wnioskowanie ma charakter dedukcyjny.

UWAGA ! Najczesciej zdarza sie tak, ze w tekscie znajduje sie wiecej niz jedna przeslanka ( dwie, trzy...). Sprawdzenie czy wnioskowanie o kilku przeslankach P1 , P2 , P3 , ... , Pn jest dedukcyjne nie rozni sie zbytnio od metody, jaka zastosowalismy, majac tylko jedna przeslanke ( SCHEMATY WSZYSTKICH PRZESLANEK LACZYMY ZE SOBA W JEDNOSC ZNAKAMI KONIUNKCJI i okraszamy to znakiem implikacji, po ktorym nastepuje schemat wniosku ) :
( P1  P2  P3  ...  Pn )  W
Dalsza procedura nie zmienia sie, gdyz jesli uda sie nam udowodnic tautologicznosc schematu calego tekstu, wowczas dochodzimy do przekonania, ze jest on przejawem czyjegos wnioskowania dedukcyjnego . PAMIETAJ ! Jednak najlepiej rozeznasz sie w tym na podstawie malenkiego przykladu : “Jezeli nie lubisz >> wylamywac sie <<, to czasem dostosowujesz sie do narzuconych warunkow. Jesli czasem dostosowujesz sie do narzuconych warunkow, to niekiedy dzialasz wbrew sobie. Zatem, jezeli nie lubisz >> wylamywac sie <<, to niekiedy dzialasz wbrew sobie.” - wypisujemy przeslanki i wniosek : P1 : p  q P2 : q  r W : p  r - czynimy z tego schemat calego tekstu (laczac przeslanki ze soba znakiem koniunkcji oraz to wszystko z wnioskiem znakiem implikacji) : [ (p  q)  ( q  r) ]  ( p  r ) - udowadniamy tautologicznosc powyzszego schematu (np. metoda dowodzenia “niewprost”), i wpisujemy odpowiedz :

1. (p  q)  ( q  r)	zal.
2. ~ ( p  r )	z.d.n.
3. p  q	OK : 1
4. q  r	OK : 1
5. p  ~ r	NI : 2
6. p	OK : 5
7. ~ r	OK : 5
8. q	RO : 3,6
9. r	RO : 4,8

Odp. Sprzecznosc : 7,9 - ten schemat jest tautologia, wiec caly tekst jest przykladem wnioskowania dedukcyjnego. CWICZENIE 16 Zbadajmy teraz sobie, ktory z podanych ponizej tekstow jest wnioskowaniem dedukcyjnym : a) “Jezeli Platon byl filozofem, to zarabial dzieki temu pieniadze, a jesli nie zarabial dzieki temu pieniedzy, to przymieral glodem; lecz Platon nie przymieral glodem ; zatem Platon byl filozofem.” P : (p  q)  (~ q  r)  ~ r  W : p [(p  q)  (~ q  r)  ~ r ]  p

1. (p  q)  (~ q  r)  ~ r	zal.
2. ~ p	z.d.n.
3. p  q	OK : 1
4. ~ q  r	OK : 1
5. ~ r	OK : 1
6. ~ ~ q	MT : 4,5
7. q	ON : 6

Odp. Po wyczerpaniu przydatnych mozliwosci przeksztalcen nie uzyskalismy w dowodzie sprzecznosci (upewnij sie, podstawiajac skrocona metoda zerojedynkowa do schematu nast. wartosci : p = 0 ; q = 1 ; r = 0, ze w tym przypadku wartosc logiczna calosci bedzie zerem), wiec schemat ten nie jest tautologia, co sklania do wysuniecia twierdzenia, ze powyzszy tekst nie jest przejawem wnioskowania dedukcyjnego. _____ b) “Jezeli Student nie bedzie systematycznie sie uczyl, to nie starczy mu przed sesja egzaminacyjna czasu na rozrywke. Jesli Student bedzie systematycznie sie uczyl, to musi zdrowo sie odzywiac. Jezeli Studentowi nie starczy przed sesja egzaminacyjna czasu na rozrywke, to musi sie on zdrowo odzywiac. A zatem Student musi zdrowo sie odzywiac. P1 : ~ p  ~ q P2 : p  r P3 :~ q  r W : r [(~ p  ~ q)  (p  r)  (~ q  r) ]  r

1. (~ p  ~ q)  (p  r)  (~ q  r)	zal.
2. ~ r	z.d.n.
3. ~ p  ~ q	OK : 1
4. p  r	OK : 1
5. ~ q  r	OK : 1
6. ~ p	MT : 2,4
7. ~ ~ q	MT : 2,5
8. q	ON : 7
9. ~ ~ p	MT : 3,8
10. p	ON : 9

Odp. Sprzecznosc : 6,10 - ten schemat jest tautologia, a zatem caly tekst to przejaw wnioskowania dedukcyjnego.

10. FALSZ LOGICZNY (ZDANIE WEWNETRZNIE SPRZECZNE) - jest to zdanie, ktorego zanegowanie daje prawde logiczna. Schemat takiego zdania ma ZAWSZE wartosc logiczna rowna zero - jest kontrtautologia.  CWICZENIE 17 Sprawdzmy wiec czy ponizsze zdania - kolejne przygody Kubusia i jego rownoleglego istnienia - Antykubusia, sa falszem logicznym : a) “Nieprawda, ze jezeli Kubus wyjadl miodek lub Antykubus wyjadl miodek, to o ile Kubus nie wyjadl miodku, to Antykubus wyjadl miodek.”  Zdanie skladowe “p” - “Kubus wyjadl miodek.” Zdanie skladowe “q” - “Antykubus wyjadl miodek.”  Schemat calosci:

~ [( p V q ) (~ p q )] p q                           0 0   0   0 0 0   1 1 0 0 0

Odp. Schemat jest kontrtautologia (wiemy to po sprawdzeniu go metoda skrocona), wiec cale zdanie jest falszem logicznym. _____ b) “Nieprawda, ze jesli nieprawda, ze Kubus wyjadl miodek i Antykubus wyjadl miodek, to Kubus nie wyjadl miodku lub Antykubus nie wyjadl miodku." Zdanie skladowe “p” - “Kubus wyjadl miodek.” Zdanie skladowe “q” - “Antykubus wyjadl miodek.”  Schemat calosci:

~ [ ~ ( p q) (~ p V ~ q )] p q                           1 1   0   0 1 1 1 1 0 1 0 0 1

Odp. Schemat jest kontrtautologia, a cale zdanie to falsz logiczny.

11. SPRZECZNY ZBIOR ZDAN - jest to taki zbior zdan - przeslanek, ktorego koniunkcja jest falszem logicznym ( sprzecznosc takiego zbioru zdan ujawnia sie, postepujac analogicznie do "od dawien dawna" znanego nam juz dowodu “niewprost” ).  Oczywiscie nie ruszymy dalej bez konkretnego przykladu, ktory to ujawni sposob naszego postepowania w razie natkniecia sie na jednym z wielu szlakow zyciowych, jakie jeszcze przed nami, z tym, potencjalnie niebezpiecznym tworem, jakim jest proces sprawdzania sprzecznosci zbioru zdan. Zalozmy wiec, ze historia obdarowala nas takim oto zbiorem przeslanek: “Na lepku szpilki nie moze zmiescic sie nieskonczona ilosc prawych Aniolow i nie moze tego zrobic nieskonczona ilosc upadlych Aniolow. Na lepku szpilki nie moze zmiescic sie nieskonczona ilosc upadlych Aniolow lub nie moze tego zrobic Czlowiek. Na lepek szpilki mozna teleportowac nanomikroba i na lepku szpilki nie zmiesci sie Czlowiek. Nieprawda, ze na lepku szpilki nie moze zmiescic sie nieskonczona ilosc prawych Aniolow lub nie mozna teleportowac tam nanomikroba.” - oznaczamy sobie zdania skladowe poszczegolnych przeslanek i budujemy dla kazdej schemacik, zyskujac w ten sposob pokazny zestaw takowych: Na lepku szpilki nie moze zmiescic sie nieskonczona ilosc prawych Aniolow i nie moze tego zrobic nieskonczona ilosc upadlych Aniolow.  1. ~ p  ~ q Na lepku szpilki nie moze zmiescic sie nieskonczona ilosc upadlych Aniolow lub nie moze tego zrobic Czlowiek. 2. ~ q V ~ r Na lepek szpilki mozna teleportowac nanomikroba i na lepku szpilki nie moze zmiescic sie Czlowiek. 3. s  ~ r Nieprawda, ze na lepku szpilki nie moze zmiescic sie nieskonczona ilosc prawych Aniolow lub nie mozna teleportowac tam nanomikroba. 4. ~ (~ p V ~ s) - teraz rozprawimy sie ze swoim nowym nabytkiem, przeksztalcajac go za pomoca znanych regul:

5. ~ p	OK : 1
6. ~ q	OK : 1
7. s	OK : 3
8. ~ r	OK : 3
9. ~ ~ p  ~ ~ s	NA : 4
10. ~ ~ p	OK : 9
11. ~ ~ s	OK : 9
12. p	ON : 10
- naszym oczom ukazala sie sprzecznosc, zachodzaca pomiedzy wyrazeniami z wierszy : 5,12 , co sklania w tym miejscu kazdego logika do stwierdzenia, iz badany przezen uklad zdan jest sprzeczny. CWICZENIE 18 Czeka nas teraz rozwazenie kilku ukladow przeslanek pod wzgledem ich przydatnosci do wzbogacenia populacji sprzecznych zbiorow zdan : a) “Jesli na lepku szpilki nie moze zmiescic sie nieskonczona ilosc prawych Aniolow, to moze to zrobic nieskonczona ilosc upadlych Aniolow. Na lepku szpilki nie moze zmiescic sie nieskonczona ilosc upadlych Aniolow lub nie moze tego zrobic Czlowiek. Na lepek szpilki nie mozna teleportowac nanomikroba i na lepku szpilki moze zmiescic sie Czlowiek. Nieprawda, ze jezeli na lepku szpilki nie moze zmiescic sie nieskonczona ilosc prawych Aniolow, to mozna teleportowac tam nanomikroba.” 1. ~ p  q 2. ~ q V ~ r 3. ~ s  r 4. ~ (~ p  s)

5. ~ s	OK : 3
6. r	OK : 3
7. ~ p  ~ s	NI : 4
8. ~ p	OK : 7
9. ~ s	OK : 7
10. ~ q	OA : 2,6
11. ~ ~ p	MT : 1,10
12. p	ON : 11
Odp. Sprzecznosc : 8,12 - ten uklad zdan jest sprzeczny.
12. KWANTYFIKATORY - sa to najzwyczajniejsze w swiecie stale (oczywiscie logiczne), wystepujace sobie w (noszacym znamiona graficznego rozpisu sensu zdania) rachunku kwantyfikatorow, a oznaczane przez wiecej niz wielu wytrawnych Logikow w nastepujacy sposob:   - KWANTYFIKATOR DUZY (ogólny) - ostatnimi czasy zapisywany jako "FOR ALL":  (czytany: “DLA KAZDEGO...”)  - KWANTYFIKATOR MALY (egzystencjalny) - ostatnio zapisywany jako "THERE EXISTS": (czytany: “ISTNIEJE TAKI ..., ZE") NAZWY- sa dowolne zmienne - pojedyncze rzeczy, wystepujace w zdaniu i oznaczamy je malymi literami w nastepujacy sposob :
" x , y , z... "
PREDYKATY - sa to zmienne - wlasnosci NAZW i relacje miedzy tymi NAZWAMI zachodzace. Oznaczamy je wielkimi literami:
" P , Q , R , S... "
Predykaty reprezentuja w wyrazeniu rachunku kwantyfikatorow albo NAZWE (zapisuje sie to zawsze tak: P( x ) ), albo tez relacje pomiedzy NAZWAMI ( zapis : P( x , y ) ). SCHEMAT ZDANIOWY - jest to symboliczny zapis odzwierciedlajacy zawartosc zdania, np.: (CZYTAJ : “Dla kazdego x , x jest Ptakiem.” ) (CZYTAJ : “Istnieje taki y , ze y jest Qra.” ) "NO I ZACZELY SIE SCHODY...?!" ;-)  A w zadnym razie - bo nie ma przeciez dla naszych logika niejednokrotnie juz "skalanych" umyslow rzeczy niepojetych! Takze i te "straszne", na pierwszy rzut oka, “Stwory - Kwantyfikatory”, sa w istocie “lagodnymi i najlogiczniejszymi w tej czesci Galaktyki istotami nieozywionymi”, bez wzgledu na to, co mialoby to oznaczac... Trzeba nam first zapamietac ktory symbol odnosi sie do ktorego kwantyfikatora. Ulatwimy to sobie - "lotem blyskawicy" przy- swoimy te informacje, otrzymujac ku temu wydatna pomoc specjalisty w polu kwantyfikatorow - gromowladnego Zeusa:

KWANTYFIKATOR DUZY - “DLA KAZDEGO...”
KWANTYFIKATOR MALY - “ISTNIEJE TAKI ... , ZE ...”
Kolejna czynnoscia bedzie zapamietanie reguly tworzenia schematow kwantyfikatorowych. Ta rzecz przedstawia sie tak :
I PRZYKLAD

Domagajac sie w zamian schematu kwantyfikatorowego, obdarowano nas zdaniem: “Kubus widzial Antykubusia, goniacego czas.” - wypisujemy sobie zmienne nazwowe (NAZWY), ktorymi sa zawsze tylko te wszystkie podmioty (rzeczowniki) , w stosunku do ktorych inne czesci zdania (moga nimi byc takze rzeczowniki w formie dopelnienia), pelnia funkcje opisowa: x - Kubus y - Antykubus z - czas - dalej powinnoscia nasza jest utworzenie zmiennych predykatowych (PREDYKATOW), ktorymi sa zawsze:
K ( x ) - x jest Kubusiem A ( y ) - y jest Antykubusiem C ( z ) - z jest czasem (TYCH JEST ZAWSZE TYLE, ILE NAZWZNALEZLISMY W BADANYM ZDANIU) W ( x , y ) - x widzial y G ( y , z ) - y gonil z (TYCH JEST O JEDEN MNIEJ, NIZ ILOSC NAZW W BADANYM ZDANIU) Dla jeszcze lepszego uchwycenia watku, wyobraz sobie dlon:
Widzisz wyraznie, ze predykatow jednoargumentowych mamy trzy (wyprostowane palce : wskazujacy, duzy i serdecz- ny), natomiast predykaty dwuargumentowe sa dwa (przestrzenie miedzypalcowe, laczace trzy powyzsze palce ze soba).  - nastepnie przeksztalcmy sobie nasze zdanie tak, aby przybralo forme ulatwiajaca nam dopasowanie odpowiednich kwantyfikatorow : “(Jeden) Kubus widzial (jednego) Antykubusia, goniacego (jeden) czas.” Mamy teraz pewnosc, ze : a) Kubus jest jeden, wiec mozemy powiedziec : “Istnieje taki x , ze x jest Kubusiem” i zapisac to zaraz w schemacie, uzywajac w tym celu MALEGO kwantyfikatora. b) Antykubus jest jeden, wiec mozemy powiedziec : “Istnieje taki y , ze y jest Antykubusiem” i zapisac to zaraz w schemacie, uzywajac w tym celu MALEGO kwantyfikatora. c) czas jest jeden, wiec mozemy powiedziec: “Istnieje taki z , ze z jest czasem” i zapisac to zaraz w schemacie, uzywajac w tym celu MALEGO kwantyfikatora. - przystepujemy wiec do zapisania naszego zdania w postaci schematu kwantyfikatorowego :
W uproszczeniu wyglada to tak :
A powstal on w nastepujacy sposob : - ustalilismy, ze glowna NAZWA w tym zdaniu jest Kubus, bo mowi sie tu, co jemu wlasnie sie przytrafilo, wiec rozpoczynamy od napisania tego, ze Kubus istnieje (przynajmniej w naszym zdaniu) :
UWAGA! Czyta sie to tak: “Istnieje taki x, ze x jest Kubusiem...” PAMIETAJ !
- nastepnie zaznaczamy w schemacie istnienie kolejnej NAZWY, ktora jest wobec Kubusia podrzedna (to Kubus ma z nia do czynienia i gdyby nie on, nie wiedzielibysmy wcale o jej istnieniu) :
“Istnieje taki x, ze x jest Kubusiem i istnieje taki y, ze y jest Antykubusiem...”
UWAGA! ISTNIEJE NIEPISANA ZASADA (KTORA ZAPEWNE NIE TYLKO TU UDALO SIE ODKRYC), W MYSL KTOREJ TA KONIUNKCJA (NADAJACA SCHEMATOWI W TYM MIEJSCU SPOJNOSCI), JEST NIEODLACZNA TOWARZYSZKA ZYCIA MALEGO KWANTYFIKATORA - TZN, ZE GDY PISZEMY MALY KWANTYFIKATOR, TO - W PRYZMACIE LOGIKI-KLASYKI DWUWARTOSCIOWEJ - OBOJETNIE CO BY SIE NIE DZIALO WE WSZECHSWIECIE, ZAWSZE (PRZY BUDOWANIU SCHEMATU KWANTYFIKATOROWEGO ZDANIA INFORMUJACEGO O JAKICHS FAKTACH), UZYSKUJE SIE SPOJNOSC Z RESZTA ZAPISYWANYCH RZECZY POPRZEZ "AUTOMATYCZNE" ZASTOSOWANIE W ODP. MSC. SYMBOLU KONIUNKCJI. PAMIETAJ!
- teraz uwzgledniamy stosunek panujacy miedzy pierwsza i druga NAZWA, pamietajac, zeby zastosowac ku temu symbol koniunkcji, gdyz ostatnim wpisanym przez nas kwantyfikatorem byl maly kwantyfikator :
“Istnieje taki x, ze x jest Kubusiem i istnieje taki y, ze y jest Antykubusiem i x widzial y...” - kolejny krok to koniecznosc przedstawienia w schemacie kolejnego bohatera naszego zdania - czasu, ktory jest tu nierozlacznie zwiazany z Antykubusiem - to on figluje z nim. Pamietamy oczywiscie o symbolu koniunkcji, laczacym istnienie tej NAZWY z tym, co dotad napisalismy
“Istnieje taki x, ze x jest Kubusiem i istnieje taki y, ze y jest Antykubusiem i x widzial y i istnieje taki z, ze z jest czasem...” - no i nie pozostalo nam nic innego, jak dopelnienie schematu relacja zachodzaca pomiedzy Antykubusiem i czasem - “y gonil z”, jak zwykle wpisujac w odpowiednim miejscu symbol koniunkcji, bo determinuje to maly kwantyfikator :
“Istnieje taki x, ze x jest Kubusiem i istnieje taki y, ze y jest Antykubusiem i x widzial y i istnieje taki z, ze z jest czasem i y gonil z.” Podsumowujac, cala praca powinna wygladac nastepujaco : “Kubus widzial Antykubusia, goniacego czas.” [ “(Jeden) Kubus widzial (jednego) Antykubusia, goniacego (jeden) czas.” ] x - Kubus y - Antykubus z - czas K ( x ) - x jest Kubusiem A ( y ) - y jest Antykubusiem C ( y ) - z jest czasem W ( x , y ) - x widzial y G ( y , z ) - y gonil z “Istnieje taki x, ze x jest Kubusiem i istnieje taki y, ze y jest Antykubusiem i x widzial y i istnieje taki z, ze z jest czasem i y gonil z.”

II PRZYKLAD

Tym razem dostalismy takie zdanie :  “Wszystkie misie nie zjedza miodku, wyprodukowanego przez Czlowieka .” - wypisujemy zmienne nazwowe (NAZWY), ktorymi sa zawsze te wszystkie podmioty (rzeczowniki) , w stosunku do ktorych inne czesci zdania (moga nimi byc takze rzeczowniki w formie dopelnienia), pelnia funkcje opisowa : x - mis y - miodek z - Czlowiek - dalej tworzymy (na poczatku "na dloni") zmienne predykatowe (PREDYKATY), ktorymi sa zawsze:

	1. - informacje o wystepowaniu podmiotu w zdaniu (PREDYKATY JEDNOARGUMENTOWE - bo jedna zmienna w nawiasie) ; 2. - te czesci zdania, ktore wystepuja pomiedzy NAZWAMI, laczac je ze soba w spojna calosc (PREDYKATY DWUARGUMENTOWE - bo dwie zmienne w nawiasie):

M ( x ) - x jest misiem UWAGA ! Mimo, ze w zdaniu sa “misie” - slowo informujace o zbiorowym charakterze wystepujacej tu nazwy, my umieszczamy w predykacie ZAWSZE nazwe w formie liczby pojedynczej : “mis”. PAMIETAJ ! U ( y ) - y jest miodkiem C ( z ) - z jest Czlowiekiem Z ( x , y ) - x zjada y W ( z , y ) - z wyprodukowal y
- nastepnie przeksztalcamy zdanie tak, aby przybralo forme ulatwiajaca nam dopasowanie odpowiednich kwantyfikatorow: “Dla kazdego misia nie istnieje taki (jeden) miodek, ktory nadawalby sie do zjedzenia i zostalby wyprodukowany przez (jednego) Czlowieka .” Mamy teraz pewnosc, ze: a) “mis” wystepowac bedzie w schemacie z DUZYM kwantyfikatorem. b) “miodek” jest jeden - wystepowac bedzie w schemacie z MALYM kwantyfikatorem. c) “Czlowiek” jest jeden, wiec powiemy : “Istnieje taki z , ze z jest Czlowiekiem” i zapiszemy to, uzywajac MALEGO kwantyfikatora. - nasze zdanie w postaci schematu kwantyfikatorowego:
W uproszczeniu wyglada to tak :
A powstal on w nastepujacy sposob : - ustalilismy, ze glowna NAZWA w tym zdaniu jest “mis”, bo mowi sie tu, co jemu (wlasciwie im - mamy liczbe mnoga ), sie przytrafia, wiec rozpoczynamy od napisania faktu, ze to, co tu dzieje sie, dotyczy kazdego misa :

UWAGA! Czyta sie to tak: “Dla kazdego x, x jest misiem...” PAMIETAJ !
- teraz kolejna NAZWA, ktora jest wobec misia podrzedna :
“Dla kazdego x, x jest misiem, to NIE istnieje taki y, ze y jest miodkiem..."
UWAGA! KOLEJNA NIEPISANA ZASADA (KTORA TEZ ZAPEWNE NIE TYLKO TU UDALO SIE ODKRYC), W MYSL KTOREJ TA IMPLIKACJA (NADAJACA SCHEMATOWI W TYM MIEJSCU SPOJNOSCI), JESTNIEODLACZNA TOWARZYSZKA ZYCIA DUZEGO KWANTYFIKATORA - TZN, ZE GDY PISZEMY DUZY KWANTYFIKATOR, TO - W PRYZMACIE LOGIKI-KLASYKI DWUWARTOSCIOWEJ - OBOJETNIE CO BY SIE NIE DZIALO WE WSZECHSWIECIE, ZAWSZE (PRZY BUDOWANIU SCHEMATU KWANTYFIKATOROWEGO ZDANIA INFORMUJACEGO O JAKICHS FAKTACH), UZYSKUJE SIE SPOJNOSC Z RESZTA ZAPISYWANYCH RZECZY POPRZEZ "AUTOMATYCZNE" ZASTOSOWANIE W ODP. MSC. SYMBOLU IMPLIKACJI. PAMIETAJ!
- teraz relacja zachodzaca miedzy pierwsza i druga NAZWA, pamietamy, zeby zastosowac symbol koniunkcji, gdyz ostatnim wpisanym przez nas kwantyfikatorem byl maly kwantyfikator :
“Dla kazdego x, x jest misiem, to NIE istnieje taki y, ze y jest miodkiem i x zjada y..." - przedstawiamy w schemacie kolejnego bohatera naszego zdania - Czlowieka, ktory jest tu nierozlacznie zwiazany z miodkiem . Pamietamy oczywiscie o symbolu koniunkcji, laczacym istnienie tej NAZWY z tym, co dotychczas napisalismy (ostatnio wpisalismy maly kwantyfikator):
“Dla kazdego x, x jest misiem, to NIE istnieje taki y, ze y jest miodkiem i x zjada y, i istnieje taki z, ze z jest Czlowiekiem..." - dopelniamy schemat relacja zachodzaca pomiedzy Czlowiekiem i miodkiem - “z wyprodukowal y”, jak zwykle wpisujac w odpowiednim miejscu symbol koniunkcji, bo determinuje to ostatni maly kwantyfikator :
“Dla kazdego x, x jest misiem, to NIE istnieje taki y, ze y jest miodkiem i x zjada y, i istnieje taki z, ze z jest Czlowiekiem, i z wyprodukowal y." Podsumowujac, cala praca powinna wygladac nastepujaco : “Wszystkie misie nie zjedza miodku, wyprodukowanego przez Czlowieka .”  [ “Dla kazdego misia nie istnieje taki (jeden) miodek, ktory nadawalby sie do zjedzenia i zostalby wyprodukowany przez (jednego) Czlowieka .” ] x - mis y - miodek z - Czlowiek M ( x ) - x jest misiem U ( y ) - y jest miodkiem C ( z ) - z jest Czlowiekiem Z ( x , y ) - x zjada y W ( z , y ) - z wyprodukowal y

"Dla kazdego x, jezeli x jest misiem, to NIE istnieje taki y, ze y jest miodkiem i x zjada y, i istnieje taki z, ze z jest Czlowiekiem i z wyprodukowal y.”
CWICZENIE 19 I Cwiczenie do rozdzialu nr 12 I To bedzie juz ostatnie, ale za to chyba najbardziej spektakularne z tutejszych cwiczen... ;) Wykonamy tu sobie rzecz zapewne niepojeta dla nas samych - tyle ze tych z przeszlosci, kiedy to nie snilo sie “im - nam” nawet, ze cos takiego, jak schematy kwantyfikatorowe w ogole istnieje, a co dopiero mowic o ich samodzielnym konstruowaniu! Nim przystapimy do rzeczy, chce podziekowac Ci za spedzenie "w tych stronach" - credo - wartosciowych chwil dla Twojego umyslu, i co za tym idzie dla Twojej przyszlosci... No to pozdrawiam szare komorki, ale nim to, poprosze o zaprzegniecie ich "ponizej" jeszcze raz: "DO DZIELA!" :) a) “Istnieja Ludzie, ktorzy sa Aniolami.” [ mówiąc w uproszczeniu: “Istnieje taka (przynajmniej jedna) istota, ktora jest jednoczesnie Czlowiekiem i Aniolem.” ] x - istota C ( x ) - x jest Czlowiekiem  A ( x ) - x jest Aniolem - Maly kwantyfikator, bo zdanie nie mowi o wszystkich Ludziach, ale o niektorych z nich. - Koniunkcja, bo to nieodlaczna towarzyszka malego kwantyfikatora. - W obu nawiasach “x”, bo w tym przypadku chodzi o jedna i ta sama istote, ktora jest jednoczesnie Czlowiekiem i Aniolem. “Istnieje taki x, ze x jest Czlowiekiem i x jest Aniolem.” _____ b) “Istnieja Ludzie, ktorzy nie sa Aniolami.” [ mówiąc w uproszczeniu: “Istnieje taka (przynajmniej jedna) istota, ktora jest Czlowiekiem i nie jest Aniolem.” ] x - istota C ( x ) - x jest Czlowiekiem  A ( x ) - x jest Aniolem “Istnieje taki x, ze x jest Czlowiekiem i x nie jest Aniolem.”