1. Wstęp

Celem ćwiczenia jest zapoznanie się ze zjawiskiem relaksacji w obwodach elektrycznych. Zjawisko to występuje często w przyrodzie. Polega na przejściu układu makroskopowego w stan o najniższym potencjale termodynamicznym. Proces ten jest nieodwracalny. W tym ćwiczeniu zmierzymy napięcie zapłonu U_z i gaśnięcia U_g neonówki oraz zbadamy zależność okresu drgań relaksacyjnych (t₁+t₂) w zależności od rezystancji R i pojemności kondensatora C.

Wykres drgań relaksacyjnych

1. Układ Pomiarowy

Do badania napięcia zapłonu U_z i gaśnięcia U_g neonówki zastosujemy układ pomiarowy składający się z Zasilacza, Opornika o oporze R=50kΩ oraz równolegle podłączonego Woltomierza elektronicznego oraz neonówki o oporze R_N=50Ω

W celu zbadania zależności okresu drgań od wartości rezystancji R i pojemności C użyjemy układu pomiarowego składającego się z Zasilacza, Opornika z możliwością zmiany wartości oporu (specjalna płytka) oraz podłączonych szeregowo Woltomierza, Kondensatora (z możliwością zmiany pojemności – również dzięki specjalnej płytce) oraz neonówki. Korzystać będziemy również z dwóch stoperów.

Błędy konkretnych urządzeń:

δ_R = 10%R [Ω]

δ_RN = 10%R_N [Ω]

δ_C = 10%C [F]

δ_S(dla 20 okresow)=0, 02[s]

δ_V = 0, 3%+0, 5 ostatniej cyfry [V]

1. Wykonanie Ćwiczenia

Ćwiczenie składało się z 2 części:

1. Badanie napięcia zapłonu U_z i gaśnięcia U_g neonówki:

1. Podłączenie układu pomiarowego zgodnie z ogólnymi zasadami

2. Uruchomienie układu pod nadzorem i zgodą prowadzącego ćwiczenia

3. Obliczenie błędów systematycznych przyrządów pomiarowych

4. Obracanie pokrętła zasilacza w celu zwiększania napięcia aż do zapalenia się neonówki

5. Odczyt najwyższej wartości przed zapaleniem się neonówki (Szukane U_z)

6. Obracanie pokrętła zasilacza w celu zmniejszenia napięcia aż do zgaśnięcia neonówki

7. Odczyt najniższej wartości przed zgaśnięciem neonówki (Szukane U_g)

8. Powtórzenie pomiarów ośmiokrotnie

9. Sporządzenie tabeli

10. Uśrednienie wyników z uwzględnieniem błędów

11. Poprawne zapisanie wartości U_z i U_g

2. Badanie zależności okresu drgań relaksacyjnych od wartości rezystancji R i pojemności C

1. Podłączenie układu pomiarowego zgodnie z ogólnymi zasadami

2. Uruchomienie układu pod nadzorem i zgodą prowadzącego ćwiczenia

3. Obliczenie błędów systematycznych przyrządów pomiarowych

4. Ustawienie wartości napięcia by zaobserwować rozbłysk neonówki dla każdego z danych oporów. U=78,8V

5. Zmierzenie przez 2 osoby czasu 20 okresów dla różnych oporów i różnych pojemności kondensatora

6. Uśrednienie czasów

7. Sporządzenie tabeli

8. Obliczenie wartości w tabeli

1. Wyniki i Opracowanie

Część I

Wyniki odczytów napięcia U_z i U_g

L.P.	Uz[V]	Ug [V]
1	77,20	62,34
2	77,04	62,24
3	77,19	62,23
4	77,07	58,41
5	77,02	60,24
6	77,49	59,93
7	76,87	59,13
8	76,63	59,98
Średnia	77,06375	60,5625
0,3%	0,23119125	0,1816875

δ_V = 0, 3%+0, 5 ostatniej cyfry

δ_Uz = 0, 23119125 + 0, 5 * 0, 00005 = 0, 23119125 + 0, 000025 = 0, 23121625

U_z = 77, 06375 ± 0, 23121625

U_z = 77, 06375 ± 0, 24 = 77, 06375±

U_z=77, 06 ± 0, 24 [V]

δ_Ug = 0, 1816875 + 0, 5 * 0, 0005 = 0, 1816875 + 0, 00025 = 0, 1819375

U_g = 60, 5625 ± 0, 1819375

U_g = 60, 5625 ± 0, 19 = 60, 5625 ± 0, 2

U_g=60, 6 ± 0, 2 [V]

Cześć II

Wyniki odczytu czasu 20 okresów:	C[µF]	R[kΩ]	Teks 1[s]	Teks 2[s]	Średnia
	2,2	835	75,76	76,82	76,29
		760	71,94	71,94	71,94
		680	70,60	70,68	70,64
		560	58,63	58,84	58,735
		470	49,81	49,78	49,795
		390	41,66	41,59	41,625
		320	37,22	37,18	37,2
	1	835	43,82	43,97	43,895
		760	39,75	39,75	39,75
		680	35,43	35,50	35,465
		560	27,79	27,78	27,785
		470	24,96	25,04	25
		390	20,96	21,00	20,98
		320	17,28	17,47	17,375
	0,47	835	20,81	20,81	20,81
		760	18,81	18,72	18,765
		680	15,88	15,97	15,925
		560	13,66	13,57	13,615
		470	11,03	11,10	11,065
		390	9,11	9,09	9,1
		320	7,41	7,59	7,5

C[µF]	R[kΩ]	Teks[s]	∆Teks[s]	Tobl[s]*	∆Tobl[s]**
2,2	835	76,29	±0,02	86,2490	±1,1361
	760	71,94	±0,02	78,5021	±1,0340
	680	70,64	±0,02	70,2388	±0,9252
	560	58,735	±0,02	57,8438	±0,7619
	470	49,795	±0,02	48,5476	±0,6395
	390	41,625	±0,02	40,2843	±0,5306
	320	37,2	±0,02	33,0538	±0,4354
1	835	43,895	±0,02	39,2041	±0,5164
	760	39,75	±0,02	35,6828	±0,4700
	680	35,465	±0,02	31,9267	±0,4205
	560	27,785	±0,02	26,2926	±0,3463
	470	25	±0,02	22,0671	±0,2907
	390	20,98	±0,02	18,3110	±0,2412
	320	17,375	±0,02	15,0245	±0,1979
0,47	835	20,81	±0,02	18,4259	±0,2427
	760	18,765	±0,02	16,7709	±0,2209
	680	15,925	±0,02	15,0056	±0,1977
	560	13,615	±0,02	12,3575	±0,1628
	470	11,065	±0,02	10,3715	±0,1366
	390	9,1	±0,02	8,6062	±0,1134
	320	7,5	±0,02	7,0615	±0,0930

* Wzór według którego obliczane są wartości w kolumnie:

T_obl = t₁ + t₂

Gdzie:

$$t_{1} = RCln\left( \frac{\varepsilon - U_{g}}{\varepsilon - U_{z}} \right)\ t_{2} = R_{N}\text{Cln}\left( \frac{U_{z}}{U_{g}} \right)$$

Przykładowe wyliczenie (dla R=835kΩ i C=2,2µF):

$$\frac{T_{\text{obl}}}{20} = RCln\left( \frac{\varepsilon - U_{g}}{\varepsilon - U_{z}} \right) + R_{N}\text{Cln}\left( \frac{U_{z}}{U_{g}} \right)$$

$$\frac{\varepsilon - U_{g}}{\varepsilon - U_{z}} = \frac{78,8 - 60,6}{78,8 - 77,06} = \frac{18,2}{1,74} = 10,459770$$

$$\frac{U_{z}}{U_{g}} = \frac{77,06}{60,6} = 1,271617$$

$$K = ln\left( \frac{\varepsilon - U_{g}}{\varepsilon - U_{z}} \right) = ln\left( 10,459770 \right) = 2,34753647$$

$$\ln\left( \frac{U_{z}}{U_{g}} \right) = ln\left( 1,271617 \right) = 0,240289319$$

$$\frac{T_{\text{obl}}}{20} = C\left( \text{Rln}\left( \frac{\varepsilon - U_{g}}{\varepsilon - U_{z}} \right) + R_{N}\ln\left( \frac{U_{z}}{U_{g}} \right) \right) = 0,0000022*\left( 835000*2,34753647 + 50*0,240289319 \right) = 4,31245092721509$$

** Wzór według którego obliczane są wartości w kolumnie znajdują się w punkcie 5. Rachunek błędów

1. Rachunek Błędów

Obliczenia dotyczące części I znajdują się w punkcie 4. Wyniki i Opracowanie.

Metoda różniczki zupełnej:

$$\mathbf{z =}\left| \frac{\mathbf{\partial f}\left( \mathbf{x,y} \right)}{\mathbf{\partial x}} \right|\mathbf{\delta x +}\left| \frac{\mathbf{\partial f}\left( \mathbf{x,y} \right)}{\mathbf{\partial y}} \right|\mathbf{\text{δy}}$$

Wzór funkcji:

$$T_{\text{obl}} = F\left( R{,R}_{N},C,U_{g},U_{z} \right) = RCln\left( \frac{\varepsilon - U_{g}}{\varepsilon - U_{z}} \right) + R_{N}\text{Cln}\left( \frac{U_{z}}{U_{g}} \right)$$

Pochodna cząstkowa po R:

$$\frac{\partial F\left( R{,R}_{N},C,U_{g},U_{z} \right)}{\partial R} = Cln\left( \frac{\varepsilon - U_{g}}{\varepsilon - U_{z}} \right)$$

Pochodna cząstkowa po R_N:

$$\ \frac{\partial F\left( R{,R}_{N},C,U_{g},U_{z} \right)}{\partial R_{N}} = Cln\left( \frac{U_{z}}{U_{g}} \right)$$

Pochodna cząstkowa po C:

$$\frac{\partial F\left( R{,R}_{N},C,U_{g},U_{z} \right)}{\partial C} = Rln\left( \frac{\varepsilon - U_{g}}{\varepsilon - U_{z}} \right) + R_{N}\ln\left( \frac{U_{z}}{U_{g}} \right)$$

Pochodna cząstkowa po U_g:

$$\frac{\partial F\left( R{,R}_{N},C,U_{g},U_{z} \right)}{\partial U_{g}} = RC*\frac{\varepsilon - U_{z}}{\varepsilon - U_{g}}*\frac{1}{\varepsilon - U_{z}}*\left( - 1 \right) + R_{N}C*\frac{U_{g}}{U_{z}}*U_{z}*\left( - \frac{1}{{U_{g}}^{2}} \right) = \frac{\text{RC}}{U_{g} - \varepsilon} - \frac{R_{N}C}{U_{g}}$$

Pochodna cząstkowa po U_z:

$$\frac{\partial F\left( R{,R}_{N},C,U_{g},U_{z} \right)}{\partial U_{z}} = RC*\frac{\varepsilon - U_{z}}{\varepsilon - U_{g}}*\left( \varepsilon - U_{g} \right)*\left( - \frac{1}{\left( \varepsilon - U_{g} \right)^{2}} \right)*\left( - 1 \right) + R_{N}C*\frac{U_{g}}{U_{z}}*\frac{1}{U_{g}}*1 = \frac{\text{RC}}{\varepsilon - U_{z}} + \frac{R_{N}C}{U_{z}}$$

Błędy:

δ_R = 10%R [Ω]

δ_RN = 10%R_N [Ω]

δ_C = 10%C [F]

δ_Ug = 0, 2 [V]

δ_Uz = 0, 24 [V]

$$T_{\text{obl}} = \left| \frac{\partial F\left( R{,R}_{N},C,U_{g},U_{z} \right)}{\partial R} \right|\delta R + \left| \frac{\partial F\left( R{,R}_{N},C,U_{g},U_{z} \right)}{\partial R_{N}} \right|\delta R_{N} + \left| \frac{\partial F\left( R{,R}_{N},C,U_{g},U_{z} \right)}{\partial C} \right|\delta C + \left| \frac{\partial F\left( R{,R}_{N},C,U_{g},U_{z} \right)}{\partial U_{g}} \right|\delta U_{g} + \left| \frac{\partial F\left( R{,R}_{N},C,U_{g},U_{z} \right)}{\partial U_{z}} \right|\delta U_{z}$$

$$T_{\text{obl}} = \left| \text{Cln}\left( \frac{\varepsilon - U_{g}}{\varepsilon - U_{z}} \right) \right|10\% R + \left| \text{Cln}\left( \frac{U_{z}}{U_{g}} \right) \right|10\% R_{N} + \left| \text{Rln}\left( \frac{\varepsilon - U_{g}}{\varepsilon - U_{z}} \right) + R_{N}\ln\left( \frac{U_{z}}{U_{g}} \right) \right|10\% C + \left| \frac{\text{RC}}{U_{g} - \varepsilon} - \frac{R_{N}C}{U_{g}} \right|0,2 + \left| \frac{\text{RC}}{\varepsilon - U_{z}} + \frac{R_{N}C}{U_{z}} \right|0,24$$

Przykładowe wyliczenie (dla R=835kΩ i C=2,2µF):

Błędy:

δ_R = 83500 [Ω]

δ_RN = 5 [Ω]

δ_C = 0, 00000022 [F]

δ_Ug = 0, 2 [V]

δ_Uz = 0, 24 [V]

1. $\left| \text{Cln}\left( \frac{\varepsilon - U_{g}}{\varepsilon - U_{z}} \right) \right|10\% R = \left| 0,0000022*2,34753647 \right|*83500 = 0,43124245$

2. $\left| \text{Cln}\left( \frac{U_{z}}{U_{g}} \right) \right|10\% R_{N} = \left| 0,0000022*0,240289319 \right|*5 = 0,0000027$

3. $\left| \text{Rln}\left( \frac{\varepsilon - U_{g}}{\varepsilon - U_{z}} \right) + R_{N}\ln\left( \frac{U_{z}}{U_{g}} \right) \right|10\% C = \left| 835000*2,34753647 + 50*0,240289319 \right|*0,00000022 = 0,4312451$

4. $\left| \frac{\text{RC}}{U_{g} - \varepsilon} - \frac{R_{N}C}{U_{g}} \right|0,2 = \left| \frac{835000*0,0000022}{60,6 - 78,8} - \frac{50*0,0000022}{60,6} \right|*0,2 = 0,0201872$

5. $\left| \frac{\text{RC}}{\varepsilon - U_{z}} + \frac{R_{N}C}{U_{z}} \right|0,24 = \left| \frac{835000*0,0000022}{78,8 - 77,06} + \frac{50*0,0000022}{77,06} \right|*0,24 = 0,2533797$

T_obl = 0, 43124245 + 0, 0000027 + 0, 4312451 + 0, 0201872 + 0, 2533797 = 1, 13605715

1. Wnioski

Dzięki doświadczeniu możemy zaobserwować że okres drgań relaksacyjnych w obwodzie elektrycznym przy stałym napięciu jest zależny od iloczynu RC. Im większy iloczyn tym dłuższy jest okres drgań relaksacyjnych. Nauczyliśmy się również wyznaczać napięcie ładowania (U_z=77,06±0,24 [V]) i rozładowywania (U_z=60,6±0,2 [V]) kondensatora lampy neonowej. Dowiedzieliśmy się również że mierząc okres używając stopera zwiększamy dokładność odczytu zwiększając liczbę mierzonych okresów, nigdy jednak nie przekroczymy narzuconej przez urządzenie dokładności.