ĆWICZENIE 24. Niech P = {¬[p⇒(q∧r)], s∧(t⇒¬u), ¬q}. Które z poniższych zdań są konsekwencjami P:

p∧r, s⇒(t⇒u), ¬s⇒(¬t⇒¬p), u, q∨(r⇒u)

Wszystkie trzy formuły muszą być prawdziwe. Najpierw zajmujemy się nie pierwszą, ale najprostszą, czyli ostatnią:

¬q jest ona prawdziwa, gdy q/0.

Teraz bierzemy na warsztat formułę pierwszą, bo tam występuje q i pod q podstawiamy 0:

¬[p⇒(0∧r)] - to musi być prawdziwe.

Zatem bez negacji: p⇒(0∧r) - fałszywe, a zatem:

p=1, a 0∧r = 0.

r może być dwojakie albo r=1, albo r = 0. Zatem mamy w tym momencie dwie możliwości:

1. p=1, q=0, r=1

2. p=1, q=0, r=0

Teraz bierzemy drugą formułę ze zbioru P: s∧(t⇒¬u)

s∧(t⇒¬u) jest prawdziwa. Jest to koniunkcja, wiec jest prawdziwa, gdy s=1 oraz (t => ¬u)=1

(t => ¬u) jest prawdziwa w trzech wypadkach

1. t=1 i ¬u=1

2. t=0 i ¬u=1

3. t=0 i ¬u=0

czyli:

1. t=1 i u=0

2. t=0 i u=0

3. t=0 i u=1.

A zatem nasza formuła jest prawdziwa w trzech wypadkach:

1. s=1, t=1 i u=0

2. s=1, t=0 i u=0

3. s=1, t=0 i u=1.

Musimy teraz skrzyżować warianty niebieskie z czerwonymi – każdy z każdym:

I.A p=1, q=0, r=1, s=1, t=1 i u=0

I.B p=1, q=0, r=1, s=1, t=0 i u=0

I.C p=1, q=0, r=1, s=1, t=0 i u=1

II.A p=1, q=0, r=0, s=1, t=1 i u=0

II.B p=1, q=0, r=0, s=1, t=0 i u=0

II.C p=1, q=0, r=0, s=1, t=0 i u=1.

.

Mamy w tabeli aż sześć wierszy

	p	q	r	s	t	u
1	1	0	1	1	1	0
2	1	0	1	1	0	0
3	1	0	1	1	0	1
4	1	0	0	1	1	0
5	1	0	0	1	0	0
6	1	0	0	1	0	1

Teraz wpisujemy w poszczególne kolumny formuły, które mamy zbadać:

p∧r, s⇒(t⇒u), ¬s⇒(¬t⇒¬p), u, q∨(r⇒u) i badamy je do uzyskania zera (gdy zero, nie badamy dalej)

	p	q	r	s	t	u	p∧r	s⇒(t⇒u)	¬s⇒(¬t⇒¬p)	u	q∨(r⇒u)
1	1	0	1	1	1	0	1	0	1	0	0
2	1	0	1	1	0	0	1		1
3	1	0	1	1	0	1	1		1
4	1	0	0	1	1	0	0		1
5	1	0	0	1	0	0			1
6	1	0	0	1	0	1			1

Konsekwencją jest tylko formuła: ¬s⇒(¬t⇒¬p).