SIŁA .Siłę przedstawia szybkość zmiany pędu p w czasie t:

jest operatorem pochodnej po czasie .Korzystając z definicji pędu można zapisać wzór wiążący siłę z przyspieszeniem a i masą m

gdzie v jest prędkością ciała. Wzór ten można zapisać w postaci

Jeżeli masa ciał nie zmienia się, drugi wyraz znika i wzór redukuje się do

Gdy siła ma stałą wartość, wzory mogą być zapisane przy użyciu przyrostów zamiast pochodnych

Jednostka: 1kg*1m/s^2=1N

MASA. Stosunek masy dwóch ciał jest odwrotnie proporcjonalny do przyspieszenia nadawanych tym ciałom przez tą samą siłę. M1/m2=a0/a1=a0’/a1’

ZASADY DYNAMIKI NEWTONA. I Zasada bezwładności. W inercjalnym układzie odniesienia, jeśli na ciało nie działa żadna siła lub siły działające równoważą się, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. II Jeśli siły działające na ciało nie równoważą się (czyli siła wypadkowa jest różna od zera), to ciało porusza się z przyspieszeniem wprost proporcjonalnym do siły wypadkowej, a odwrotnie proporcjonalnym do masy ciała. Współczynnik proporcjonalności jest równy odwrotności masy ciała: III

III Oddziaływania ciał są zawsze wzajemne. Siły wzajemnego oddziaływania dwóch ciał mają takie same wartości, taki sam kierunek, przeciwne zwroty i różne punkty przyłożenia (każda działa na inne ciało).

Jeśli ciało A działa na ciało B siłą F (akcja), to ciało B działa na ciało A siłą (reakcja) o takiej samej wartości i kierunku, lecz o przeciwnym zwrocie. Każdej akcji towarzyszy reakcja równa co do wartości i kierunku lecz przeciwnie zwrócona. W zasadach dynamiki ciało oznacza punkt materialny, ruch dotyczy ruchu względem układu odniesienia będącego układem inercjalnym.

TARCIE. Tarcie (pojęcie fizyczne) (opory ruchu) to całość zjawisk fizycznych towarzyszących przemieszczaniu się względem siebie dwóch ciał fizycznych (tarcie zewnętrzne) lub elementów tego samego ciała (tarcie wewnętrzne) i powodujących rozpraszanie energii podczas ruchu. Tarcie zewnętrzne występuje na granicy dwóch ciał stałych. Tarcie wewnętrzne występuje przy przepływie płynów, jak i deformacji ciał stałych. Siła występująca w zjawiskach tarcia nazywana jest siłą tarcia. Podstawowy podział tarcia: tarcie zewnętrzne, tarcie ślizgowe, tarcie spoczynkowe (tarcie statyczne), tarcie ruchowe (tarcie kinetyczne), tarcie toczne, tarcie wewnętrzne W tarciu zewnętrznym suchym zazwyczaj siła tarcia spoczynkowego jest większa lub równa sile tarcia ruchowego:. Choć zjawiska wywołujące tarcie mają skomplikowana naturę – od czysto mechanicznej po molekularną, matematyczny opis zjawiska jest bardzo prosty. Jeżeli ciało nie porusza się, to siła tarcia statycznego równoważy siłę wypadkową pozostałych sił działających na ciało, ma jej kierunek, a zwrot przeciwny. Maksymalną wartość siły jaka może wystąpić określa wzór:

Jeżeli ciało porusza się, to siła tarcia dynamicznego ma kierunek ruchu ciała, zwrot przeciwny kierunkowi ruchu, wartość T jest równa:

– współczynnik tarcia zależny od rodzaju powierzchni stykających się ciał,

– siła nacisku prostopadła do powierzchni styku ciał.

Gdy ciało porusza się, tak że jego elementy stykające się z powierzchnią mają różne kierunki ruchu (np złożenie ruchu postępowego i obrotowego), to siły tarcia pochodzące od poszczególnych punktów styku ciała z podłożem mają różne kierunki.

SIŁA DOŚRODKOWA. Siła dośrodkowa - w fizyce siła powodująca zakrzywianie toru ruchu ciała, skierowana wzdłuż normalnej (prostopadle) do toru, w stronę środka jego krzywizny. Wartość siły określa wzór: – siła dośrodkowa, – masa ciała, – prędkość ciała, – promień krzywizny toru ruchu. Siła dośrodkowa nie zmienia wartości prędkości ciała. W ruchu po okręgu, powyższy wzór można wyrazić:– prędkość kątowa.

PRACA. skalarna wielkość fizyczna, miara ilości energii przekazywanej między układami fizycznymi w procesach mechanicznych, elektrycznych, termodynamicznych i innych W ruchu postępowym Jeżeli ruch ciała jest prostoliniowy a wektor siły jest stały, pracę tej siły określa wzór– siła – przemieszczenie W ogólnym przypadku, gdy wektor siły nie jest stały lub przemieszczenie nie jest prostoliniowe, praca jest sumą prac wykonanych na niewielkich odcinkach, na tyle małych, że spełnione są powyższe warunki.

Wyraża ją wówczas wzór całkowyW – praca, L – całkowita droga, jaką pokonuje ciało^[2] ,– siła,– wektor przesunięcia,α – kąt między wektorem siły i przesunięcia. Jednostką miary pracy w układzie jednostek miar SI jest dżul (J) określana jako niuton·metr: W ruchu obrotowym Praca wykonywana podczas obrotu ciała o kąt φ pod wpływem momentu sił M wyraża się wzoremPraca wykonana przez siłę zmienną jest równa polu powierzchni pod krzywą wykresu zależności siły od położenia. ΔW=FΔx

ILOCZYN WEKTOROWY. Niech a=[a1, a2, a3]T i b=[b1, b2, b3] T będą niewspółliniowymi wektorami w przestrzeni R3.

Iloczynem wektorowym uporządkowanej pary wektorów a i b nazywamy wektor v = a × b, który spełnia

warunki:

1) v jest wektorem prostopadłym do a i do b (innymi słowy v jest prostopadły do płaszczyzny

rozpiętej na wektorach a i b)

2) jego długość jest równa polu równoległoboku rozpiętego na wektorach a i b, tzn. |v| =|a|·|b|·sin,

gdzie jest katem miedzy wektorami a i b

3) orientacja trójki wektorów a , b, v jest zgodna z orientacja układu współrzędnych OXYZ.

ENERGIA KINETYCZNA. Dla ciała o masie m i prędkości v dużo mniejszej od prędkości światła (v<<c, gdzie c jest prędkością światła w próżni), energia kinetyczna wynosi:. Energia kinetyczna ruchu obrotowego bryły sztywnej wynosi, w przybliżeniu małych prędkości:

,

- prędkość kątowa,

- tensor momentu bezwładności. W przypadku obrotu wokół jednej z osi głównych wyrażenie na energię kinetyczną w ruchu obrotowym upraszcza się do:

,

I - odpowiednim momentem bezwładności,

ω - prędkość kątowa.

TW. O PRACY I ENERGII. Praca wykonana przez wypadkowa siłę F działającą na punkt materialny jest równa zmianie energii kinetycznej tego punktu.

W=

ZASADA ZACHOWANIA ENERGII. empiryczne prawo fizyki, stwierdzające, że w układzie izolowanym suma wszystkich rodzajów energii układu jest stała (nie zmienia się w czasie). W konsekwencji, energia w układzie izolowanym nie może być ani utworzona, ani zniszczona, może jedynie zmienić się forma energii. Tak np. podczas spalania wodoru w tlenie energia chemiczna zmienia się w energię cieplną.

ŚRODEK MASY. ciała lub układu ciał jest punktem, w którym skupiona jest cała masa w opisie układu jako masy punktowej. Pojęcie to jest wykorzystywane także w geometrii. Wzór na wektor wodzący środka masy

Powyższa zależność dla ośrodków ciągłych, zapisana w postaci wyrażeń całkowych, wiąże środek masy z rozkładem gęstości ρ w przestrzeni za pomocą zależności:

to wektor wodzący środka masy; M – masa ciała; V – objętość ciała; ρ = ρ(x,y,z) – funkcja gęstości ciała. Dla ciała znajdującego się w jednorodnym polu grawitacyjnym środek ciężkości pokrywa się ze środkiem masy. Gdy ciało wiruje lub drga, istnieje w tym ciele punkt zwany środkiem masy, który porusza się w taki sam sposób, w jaki poruszałby się pojedynczy punkt materialny poddany tym samym siłom zewnętrznym.

RUCH ŚRODKA MASY. Środek masy porusza się tak, jakby cała masa M ciała była skupiona w tym punkcie. Jego przyspieszenie a₀ określone jest przez sumę sił zewnętrznych F działających na bryłę:



Oznacza to, że siły istniejące między poszczególnymi częściami ciała nie mają wpływu na jego ruch postępowy. Na mocy trzeciej zasady dynamiki Newtona siły wewnętrzne znoszą się parami. Gdy wypadkowa sił zewnętrznych równa jest zeru, środek masy spoczywa (lub porusza się jednostajnie po prostej).
Ruch środka masy bryły utożsamiamy z jej ruchem postępowym

PĘD. Pęd punktu materialnego jest równy iloczynowi masy m i prędkości v punktu. Pęd jest wielkością wektorową; kierunek i zwrot pędu jest zgodny z kierunkiem i zwrotem prędkości. W układzie SI jednostka pędu nie ma odrębnej nazwy, a jest określana za pomocą innych jednostek, np. niuton·sekunda (N·s) lub kilogram·metr/sekunda (kg·m/s). Zasada zachowania pędu Pęd zmienia się w wyniku działania na ciało siły przez pewien czas. Iloczyn siły i czasu jej działania nazywany jest popędem siły (I)

Jeżeli w układzie inercjalnym na ciało (układ ciał) nie działa siła zewnętrzna, lub działające siły zewnętrzne równoważą się:

to całkowity pęd ciała (układu ciał) nie zmienia się:

Powyższe zdanie stanowi treść zasady zachowania pędu. Zasada zachowania pędu jest konsekwencją symetrii translacji w przestrzeni

Jeżeli energia potencjalna jest niezmiennicza ze względu na translację,

czyli na ciało nie działa żadna siła i w konsekwencji pęd układu jest zachowany. dP/dt=0 albo P=const. Jeżeli wypadkowa sił zewnętrznych działających na układ jest równa 0, wtedy całkowity wektor pędu tego układu pozostaje stały. II zasa Newtona dla ukl. P. materialnych

ZDERZENIA W PRZESTRZENI JEDNOWYMIAROWEJ. W zderzeniach sprężystych względna prędkość zbliżania się cząstek przed zderzeniem jest równa względnej prędkości oddalania się cząstek po zderzeniu. Przy sprężystych zderzeniach w przestrzeni jednowymiarowej cząstki o jednakowych masach wymieniają prędkości.

DYNAMIKA RUCHU OBR. ZALEZNOSCI.Ruch obrotowy bryły sztywnej to taki ruch, w którym wszystkie punkty bryły poruszają się po okręgach o środkach leżących na jednej prostej zwanej osią obrotu. Np. ruch Ziemi wokół własnej osi. Jest to ruch złożony z ruchu postępowego środka masy danego ciała oraz ruchu obrotowego względem pewnej osi. Środek masy ciała można uważać za punkt materialny. Do opisania ruchu obrotowego używa się odmiennych pojęć od używanych do opisania ruchu postępowego. Podstawowym prawem opisującym ruch bryły sztywnej jest druga zasada dynamiki ruchu obrotowego:

gdzie M jest momentem siły względem obranego punktu odniesienia, a L - krętem (momentem pędu) względem tego samego punktu odniesienia. Jeżeli obrót odbywa się względem osi stałej lub sztywnej wówczas druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego może być napisana w następujący sposób:

gdzie M oznacza moment siły a I moment bezwładności względem osi obrotu. Gdy brak momentu sił zewnętrznych (M = 0), z pierwszego wzoru można otrzymać równanie ilustrujące zasadę zachowania momentu pędu

Gdy oś obrotu jest ustalona, brak momentu sił oznacza stałość prędkości kątowej, ponieważ

co przy stałości I oznacza

MOMENT BEZWŁADNOSCI. M.B. CYLINDRA. Moment bezwładności ciała zależy od wyboru osi obrotu, od kształtu ciała i od rozmieszczenia masy w ciele. Moment bezwładności ma wymiar . Zwykle mierzy się go w kg·m². Moment bezwładności punktu materialnego jest iloczynem jego masy i kwadratu odległości od osi obrotu:; – masa punktu; – odległość punktu od osi obrotu. Moment bezwładności ciała składającego się z punktów materialnych jest sumą momentów bezwładności wszystkich tych punktów względem obranej osi obrotu:

Dla ciał o ciągłym rozkładzie masy sumowanie we wzorze na moment bezwładności przechodzi w całkowanie. Niech ciało będzie podzielone na nieskończenie małe elementy o masach , oraz niech oznacza odległość każdego takiego elementu od osi obrotu. W takim przypadku moment bezwładności określa wzór:

gdzie całkowanie odbywa się po całej objętości ciała. Za pomocą momentu bezwładności bryły sztywnej, obracającej się względem pewnej osi z prędkością kątową względem tej osi, można wyrazić energię kinetyczną tej bryły

CYLINDER

Dla rury cylindrycznej o zewnętrznym promieniu i wewnętrznym , obracającej się dookoła swej osi. Elementem masy jest powłoka cylindryczna o promieniu , grubości , długości i gęstości materiału (gęstość jest jednakowa dla całej bryły), to: masa elementu: , objętość elementu: ,

skąd wynika, że

,

gdzie jest objętością cylindrycznej powłoki o masie .

Moment bezwładności cylindra względem osi wynosi:

Całkowita masa cylindra równa się iloczynowi gęstości i objętości :

Moment bezwładności rury cylindrycznej lub pierścienia o masie m, wewnętrznym promieniu oraz zewnętrznym wynosi:

względem osi cylindra.

TW. STEINERA. twierdzenie mechaniki oraz wytrzymałości materiałów opisujące sposób znajdowania momentu bezwładności danej bryły względem danej osi przy danym momencie bezwładności względem osi równoległej i przechodzącej przez środek masy bryły. Jego autorem jest Jakob Steiner. Mówi, że moment bezwładności bryły sztywnej względem dowolnej osi jest równy sumie momentu bezwładności względem osi równoległej do danej i przechodzącej przez środek masy bryły oraz iloczynu masy bryły i kwadratu odległości między tymi dwiema osiami, co można wyrazić wzorem

– moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy, – moment bezwładności względem osi równoległej do pierwszej osi, – odległość między osiami, – masa bryły. Moment bezwładności osiąga minimalną wartość, gdy oś przechodzi przez środek masy. Pamiętając, że masa całkowita bryły to m oraz wiedząc, że r jest liczone w układzie środka, otrzymuje się

.Jeśli d to odległość A od środka masy, to

RUCH BĄKA. bryła sztywna mająca możliwość obrotu wokół dowolnej osi stykającej lub ślizgającej się po powierzchni, mogąca wirować wokół środka masy (to nie jest konieczny warunek - środek masy może znajdować się poza osią rotacji) na które działa moment sił dążący do zmiany kierunku osi obrotu, w wyniku czego ciało wykonuje ruch precesyjny Precesja lub ruch precesyjny – zjawisko zmiany kierunku osi obrotu obracającego się ciała. Oś obrotu sama obraca się wówczas wokół pewnego kierunku w przestrzeni zakreślając powierzchnię boczną stożka. Okres zataczania okręgu przez oś obrotu ciała jest wprost proporcjonalny do prędkości kątowej ruchu obrotowego i momentu bezwładności ciała oraz odwrotnie proporcjonalny do momentu siły zaburzającej. Co wyraża wzór:

I_s – moment bezwładności; Q moment siły; T_s – okres obrotu ciała wokół osi; T_p – okres zakreślania powierzchni stożkowej przez oś ciała. Prędkość kątowa precesji podpartego ciała znajdującego się w jednorodnym polu grawitacyjnym nie zależy od kąta wychylenia ciała od pionu i wyraża się wzorem:

I_s – moment bezwładności; m – masa ciała; g – przyspieszenie ziemskie l – wysokość ciała (ramię momentu siły), odległość od podparcia do środka masy ciała; ω – prędkość kątowa obrotu ciała; ω_pr – prędkość kątowa precesji, czyli prędkość kątowa osi obrotu ciała. Precesji może towarzyszyć nutacja, wówczas pojawiają się dodatkowe "wahnięcia".

MOMENT PĘDU Moment pędu punktu materialnego o pędzie p, którego położenie opisane jest wektorem wodzącym r względem danego układu odniesienia (wybranego punktu, zwykle początku układu współrzędnych), definiuje się jako wektor (pseudowektor) będący rezultatem iloczynu wektorowego wektora położenia i pędu

Z własności iloczynu wektorowego wynika, że wartość bezwzględna momentu pędu jest równa

gdzie θ oznacza kąt między wektorami r i p. Dla ciała o momencie bezwładności I obracającego się wokół ustalonej osi z prędkością kątową ω moment pędu można wyrazić wzorem

PRĘDKOŚĆ KĄTOWA. Prędkość kątowa – w fizyce, wielkość opisująca ruch obrotowy (np. ruch po okręgu). Jest wektorem (pseudowektorem) leżącym na osi obrotu i skierowanym zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej. Jeśli współrzędna kątowa ciała określa kąt θ to wartość prędkości kątowej ω jest równa:

Jednostka prędkości kątowej w układzie SI to jeden radian przez sekundę. Zależność chwilowej prędkości liniowej v, ciała poruszającego się po okręgu o promieniu r, od chwilowej prędkości kątowej ω tego ciała dana jest wzorem:

gdzie s jest długością łuku zakreślanego w czasie t. W zapisie wektorowym zależność przyjmuje postać:

ZASADA ZACH. MOM. PĘDU. Dla dowolnego izolowanego układu punktów materialnych całkowita suma ich momentów pędu jest stała. W przypadku bryły sztywnej zasadę tę można sformułować następująco. Moment pędu bryły pozostaje stały, gdy nie działa na nią żaden moment siły zewnętrznej. co można zapisać wzorem lub

przy czym wzór ten można traktować jako szczególny przypadek równania wyrażającego zależność momentu pędu od momentu siły M

Zasada zachowania momentu pędu wynika z niezmienności hamiltonianu względem obrotów w przestrzeni. Z zasady zachowania momentu pędu i definicji momentu pędu

(przykład definicji momentu pędu dla ustalonej osi) wynika, że prędkość kątowa ω rośnie, gdy maleje moment bezwładności I.

RÓWNOWAGA CIAŁA SZTYWNEGO. Ciało sztywne znajduje się w stanie równowagi mechanicznej jeżeli w inercjalnym układzie odniesienia liniowe przyspieszenie a jego środka masy jest równe 0 i jego kątowe przyspieszenie α względem dowolnej osi nieruchomej w tym układzie odniesienia jest również równe 0. Def. Nie wymaga od ciała, aby było w spoczynku względem obserwatora, lecz tylko aby nie miało przyspieszenia Vśr m ω jeżeli V=0, ω=0, to ciało jest w stanie równowagi statycznej.

DRGANIA. Drgania - procesy, w trakcie których wielkości fizyczne na przemian rosną i maleją w czasie.Szczególnymi rodzajami drgań rozpatrywanymi w fizyce są: drgania mechaniczne (ruch drgający): wahadło matematyczne, ciało na sprężynie, wahadło fizyczne, drgania cząsteczek sieci krystalicznych, drgania strun instrumentów muzycznych, drgania powietrza itp. drgania elektryczne: okresowe zmiany natężenia prądu np. w układzie kondensatora i cewki itp. drgania elektromechaniczne: np. drgania krystalicznych sieci jonowych, drgania plazmy w polu magnetycznym lub elektrycznym itp. Bez względu na drgającą wielkość stosuje się podział ruchu drgającego ze względu na własności matematyczne funkcji opisującej drgania lub, co jest równoważne, na równania opisujące zachowanie się układu drgającego. Wyróżnia się: drgania okresowe, drgania nieokresowe Wśród drgań okresowych wyróżnia się często spotykany i najprostszy w opisie matematycznym ruch harmoniczny, a w drganiach nieokresowych drgania prawie okresowe. W zależności od rodzaju równań drgań wyróżnia się drgania liniowe i drgania nieliniowe. Jeżeli na drgający układ ma wpływ inny drgający układ (siła wymuszająca), to drgania nazywa się wymuszonymi. Gdy zewnętrzna siła nie występuje - drganiami swobodnymi. Układy autonomiczne (nie wymuszone) dzieli się na: zachowawcze (energia drgań nie zmienia się) tłumione (energia zmniejsza się) samowzbudne (energia drgań rośnie) Szczególnym przypadkiem drgań są drgania harmoniczne. Takie drgania powstają, gdy siła sprowadzająca układ drgający do położenia równowagi jest proporcjonalna do wychylenia układu z tego położenia. Okres drgań T[s] υ częstotliwość- odwrotność okresu drgań. Υ=1/T [1/s] [Hz] przemieszczenie liniowe lub kątowe x-przemieszczenie, amplituda A jest to wartość bezwzględnego max. Przemieszczenia F=ma.

OSCYLATOR HARMONICZNY PROSTY. U zmienia się z kwadratem wychylenia x U(x)=1/2kx^2 k- wielkość stała- sztywność sprężyny. Siła działająca na punkt F(x)=-dU/dx=-d(1/2kx^2)/dx=-kx Z II zas, Newtona F=ma; F= -kx; a=dv/dt=d^2x/dt^2 ; -kx=m(d^2x/dt) lub d^2x/dt^2+(k/m)x=0

Równanie to naz równ. Ruchu oscylatora harmonicznego prostego.

ROZWIĄZANIE RÓWN. OSCYLATORA.

$\frac{d^{2}x}{dt^{2}} = - \frac{k}{m}x$ ; (d/dt)cos t=-sint ; (d^2/dt)cost=-(d/dt)sint=-cost ; X=Acos(ωt+σ) ; Dx/dt=-ωAsin(ωt+σ) ;;;; D^2x^2/dt^2=-ω^2Acos(ωt+σ) po podstawieniu -ω^2Acos(ωt+σ)=(-k/m)Acos(ωt+σ) jeżeli przyjmiemy, ze ω^2=k/m to X=acos(ωt+σ) jest rozwiązaniem oscylatora.

ENERGIA W PROSTYM RUCHU HARMONICZNYM. W ruchu harmonicznym, w którym nie występuje żadne siły rozpraszające całkowita energia mechaniczna jest zachowana. E=K+U ;;; U=(1/2)kx^2=(1/2)kA^2cos^2(ωt+σ) ; U max=(1/2)kA^2; U=U_maxcos^2ωt; K=K_maxsin^2ωt; υ=-ωtsin(ωt+σ); ω^2=k/m; K=(1/2)mv^2=(1/2)mω^2A^2sin^2(ωt+σ)=(1/2)kA^2sin^2(ωt+σ); K_max=(1/2)kA^2=(1/2)m(ωA)^2; ωA-max prędkość. E=K+U=(1/2)kA^2sin^2(ωt+σ)=(1/2)kA^2cos^2(ωt+σ)=91/2)kA^2 całkowita energia mechaniczna jest stała.; (1/2)mv^2+(1/2)kx^2=(1/2)kA^2; υ^2=k/m(A^2-x^2); υ=dx/dt=$\pm \sqrt{\frac{k}{m}(A^{2} + x^{2})}$ ; υ_max, gdy x=0 ; υ=0, jeżeli x=A.

WAHADŁO MATEMATYCZNE I FIZYCZNE. Matematyczne: siła przywracająca równowagę F=-mgsinϕ. Siła jest ∼do sinϕ a nie do ϕ zatem nie jest prostym ruchem harmonicznym dla małych ϕ. X=1ϕ; F=-mgϕ=-mg(x/l)=-(mg/l)x ; (mg)/l określa stałą k; T=2π$\sqrt{\frac{m}{k}}$=2π$\sqrt{\frac{m}{\text{mg}/l}}$=2π$\sqrt{l/g}$ ; okres nie zależy od wahadła. FIZYCZNE. J moment bezwładności względem osi obrotu; τ=-Mgdsinϕ ; dla małych ϕ można napisać τ=-Mgdϕ albo τ=-xϕ; x=Mgd ; τ=J(d^2ϕ)/dr^2)=Jα ; d^2ϕ/dr^2=τ/J=-(x/J)ϕ ; stąd T=2π$\sqrt{J/x}$=2π$\sqrt{J/\text{Mgd}}$ jako szczególny przypadek punktowa masa m na nieważkiej nici o dł. L J=ml^2 ; M=m ; d=l ; T=2π$\sqrt{J/\text{Mgd}}$= 2π$\sqrt{l/g}$

DRGANIA DWÓCH CIAŁ. Rys.

L dl. Swobodna sprężyny; x=(x1-x2)-l zmiana długości; sprężyna jest rozciągnięta x>0 F działa na m2; i-Fnam1; siły są przeciwnie skierowane, ale mają taką samą wartość. M1(d^2x1/dt^2)=-kxm^2 ; m2(d^2x2/dt^2)=kxm1; m1m2(d^2x1/dt^2)-m1m2(d^2x2/dt^2)=-m2kx-m1kx ; [(m1m2d^2)/(m1+m2dt^2)](x1-x2)=-kx ; wtr.{m1m2/m1+m2=u masa zredukowana} ; ponieważ l jest stałe, więc [d^2(x1-x2)/dt^2=d^2x/dt^2 ; d^2x/dt^2+(k/u)x=0 ; x względne przemieszczenie, u masa zredukowana, gdy masy są skończone u<m1, u<m2 ; υ=1/2π$\sqrt{k/u}$

T=2π$\sqrt{u/k}$ ; X=Acos(ωt+σ) ; υ=dx/dt=-ωAsin(ωt+σ) ; a=d^2x/dt=-ω^2Acos(ωt+σ) przy zało. X=(x1-x2)-l ; υ=dx/dt=v1-v2 ; a=dv/dt=a1-a2

RUCH HARMONICZNY TŁUMIONY. Ruch harmoniczny tłumiony występuje wtedy, gdy na ciało działa dodatkowo siła oporu ośrodka proporcjonalna do prędkości.

Wielkość ω jest nazywana zmodyfikowaną częstością drgań, jest zależna nie tylko od siły kierującej ale też od współczynnika tłumienia i maleje gdy współczynnik tłumienia rośnie.

DRGANIA WYMUSZONE.

-kx-b(dx/dt)+Fcosωt=m(d^2/dt^2) ; lub m(d^2x/dt^2)+b(dx/dt)+kx=Fcosωt rozwiązaniem równania x=(F/G)sin({ω^n}t-σ) ; G=$\sqrt{m^{2\left( \omega^{n} - \omega^{2} \right)} + b^{2}\omega^{n}}$

Σ=arccos(bω^n/G) układ drgań z częstością siły wymuszającej ω^n a nie własnej ω. Gdy ω^n różni się bardzo od ω to czynnik G jest duży i F/G amplituda jest mała. Gdy ω^n=ω , F/G dąży do nieskończoności przy zał., ze b=0.

GRAWITACJA. ZALEZNOŚC PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGOOD ODLEGŁOSCI. Prawo powszechnego ciążenia. Siła działająca między każdymi dwoma punktami materialnymi o masach m1 i m2 znajdującymi się w odległości r jest siłą przyciągającą, skierowaną wzdłuż prostej łączącej te punkty i ma wartość F=G(m1m2/r^2). Z prawa ciążenia wynika, że q będzie się zmieniać wraz z wysokością, czyli odległością od środka Ziemi. F=G(m1m2/r^2) po zróżniczkowaniu względem r otrzymamy dF=-2(Gm1m2/r^3)dr ; dF/F=-2(dr/r) względna zmiana F równa się podwojonej względnej zmianie r. Znak minus oznacza, że siła maleje ze wzrostem odległości, m1 masa Ziemi, m2 masa przedmiotu. Wywołana przez Ziemię siła ciążenia na przedmiot F=m2g po zróżniczkowaniu dF=m2g ; dF/F=dg/g=-2(dr/r).

PRAWA KEPPLERA. 1. Wszystkie planety poruszają się po orbitach eliptycznych, w których w jednym z ognisk znajduje się słońce(prawo orbit). 2.odcinki łączące jakąkolwiek planetę ze słońcem zakreśla w równych odstępach czasu równe pola( prawo pól). 3. Kwadrat okresu obiegu każdej planety jest proporcjonalny do sześcianu średniej odległości planety od słońca(prawo okresów). Pomijając siły działające pomiędzy planetami, oraz zakładając, że orbity SA kołowe możemy w prosty sposób uzasadnić III prawo Kepplera. Jeżeli nie działają siły zewnętrzne, środek masy nie ma przyspieszenia, oba ciała maja tę samą prędkość kątową ω i działają na siebie z tą samą siła dośrodkowa. mω^2r=Mω^2R. Siła grawitacyjna musi być równa sile dośrodkowej. (GMm)/(R+r)^2=mω^2r Jeżeli M>>m, to R możemy pominąć Gm_s=ω^2r^3 ; GM_s=(4π^2r^3/T^2) ; T^2=(4π^2/GM_s)r^3 III prawo. II PRAWO. Na orbitach eliptycznych zarówno r jak i ω zmieniają się. Ciało obraca się wokół c wzdłuż pewnego toru. Pole to wynosi ½(rωΔt)r ; limΔt →0=[1/2(rωΔt)r]/Δt=1/2ωr^2 ; ωr^2 moment pędu wokół c. II prawo jest równoważne: moment pędu jakiejkolwiek planety obracającej się dookoła słońca jest wielkością stałą. Żadna siła centralna nie może zmieniać momentu pędu. I prawo Kepplera. Wymaga, aby siła grawitacyjna zależała dokładnie od odwrotności kwadratu odległości między dwoma ciałami, czyli 1/r^2. Tylko taka siła może być przyczyną eliptycznych orbit planetarnych.

GRAWITACYJNA ENERGIA POTENCJALNA. ΔU=Ub-Ua=-Wab Jest to zmiana energii DU potencjalnej układu, w którym działa siła zachowawcza przy przejściu z położenia a do b. Wab jest pracą wykonaną przez siłę, energia potencjalna w stanie b Ub=-Wab+Ua. Można wybrać umownie położenie i wartość energii stanu a, np. powierzchnia Ziemi Ua=0 gdy punkt materialny znajduje się na wysokości y nad pow. Ziemi. U=-Wab+0=-(-mg)y=mgy Siła zachowawcza (-mg) jest skierowana w dół , y w górę. Często punkt odniesienia Ua wygodniej jest przyjmować w nieskończoności. Energii potencjalnej układu w tym stanie przypisuje się wartość 0. Stan zerowej energii potencjalnej jest również stanem o zerowej wartości siły. U(r)=-W+0 Gdy jedno z ciał jest M>>m, to w przybliżeniu można uważać, że energia potencjalna zamienia się w energię kinetyczną ciała m. F=-dU/dr=-d/dr(-GMm/r)=-GMm/r^2. Energia potencjalna dwóch ciał jest równa pracy, która musi być wykonana przez czynnik zewnętrzny. W przypadku 3 mas. –[(Gm1m2/r12) +Gm1m3/r13+Gm2m3/r23] Istotne jest względne położenie ciał. Nie ważne jest które ciała przesuwamy do którego.

ZALEŻNOŚCI ENERGETYCZNE W RUCHU PLANET. Rozważmy ruch planety wokół słońca M. M jest w spoczynku w inercyjnym układzie odniesienia, m porusza się po orbicie kołowej r wokół M. Ep U(r)=-GMm/r ; Ek K=(1/2) mω^2r^2 z wypr. III pr. Keplera ω^2r^2=GM/r ; K=(1/2) GMm/r energia całkowita wynosi E=K+U=(1/2)GMm/r-GMm/r=-Gmm/2r. energia ta jest stała i ujemna. K nigdy nie może <0, ale gdy r→∞ ; K→0; U jest zawsze ujemne lub =0, fakt, że energia jest ujemna, świadczy, że układ jest zamknięty jest na stałe związany ze słońcem i nigdy nie ucieka od niego

FALE W OŚRODKACH SPRĘŻYSTYCH. Fale poprzeczne i podłużne.

INTERFERENCJA FAL. Jest to fizyczne zjawisko nakładania się 2 lub więcej ciągów falowych. Rozważmy dwie fale o równych częstotliwościach i amplitudach, biegnących z taką samą prędkością w tym samym kierunku(+x) lecz o fazach różniących się o φ Y1=ymsin(kx-ωt-φ) ; Y2=ymsin(kx-ωt) ; Y1=ymsin[k(x-φ/k)-ωt] w chwili czasu t sa przesunięte na osi x=φ/k ; Y1=ymsin[kx-ω(t+φ/ω)] w punkcie x wywołują 2 drgania harm, proste przesunięte w czasie t=φ/ω. Y=y1+y2 ; sinα+sinβ=2sin(1/2)(α + β)cos(1/2)(β − α) ; y=ym[2sin(kx-ωt-φ/2)]cosφ/2=2ymcos(φ/2)sin(kx-ωt-φ/2) wypadkowa fala ma tę samą częstość ale inną amplitudę. Gdy φ małe A≈2ym gdy φ≈180 st. A≈0 fale wygaszają się . dla różnicy fazy φ=0, 2π, 4π wzmocnienie λ,2λ, 3λ. φ=π,3π,5π osłabienie, wygaszanie 1/2λ, 3/2λ, 5/2λ.

FALE STOJĄCE. Rozpatrzymy dwa ciągi falowe poruszające się wzdłuż sznura w przeciwnym kierunkach. Y1=ymsin(kx-ω) ; y2=ymsin(kx+ωt) ; y=y1+y2=2ymsinkxcosωt; Cząstka w dowolnym punkcie drga prostym ruchem harmonicznym. Wszystkie cząstki drgają z ta samą częstością. Charakterystyczną cechą fali stojącej jest to, że amplituda dla różnych cząstek nie jest taka sama, lecz zmienia się z położeniem cząstki 2ymsinkx max w punktach kx=π/2,3π/2, 5π/2; k=2π/λ max w punktach x=λ4, 3λ/4, 5λ/4 punkty te nazywamy strzałkami, odstęp między nimi wynosi pół długości fali minimum kx=π, 2π, 3π; x=λ/2, 3λ/2, 2λ są to węzły, ostęp tez λ/2.