I. Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest poznanie podstawowych pojęć dot. Statycznych właściwości przetworników pomiarowych analogowych i cyfrowych oraz sposobów opisu tych właściwości, dodatkowo poznamy sposoby wyznaczania parametrów liniowych i nieliniowych modeli przetworników.

II. Wprowadzenie teoretyczne

Przyrządy pomiarowe dokonują odzwierciedlenia wielkości mierzonej na wskazanie. Odwzorowanie to dokonywane jest zwykle nie bezpośrednio, lecz jako wynik pewnego łańcucha odwzorowań pośrednich realizowanych przez poszczególne elementy przyrządu pomiarowego - przetworniki pomiarowe.

Przetwornik pomiarowy jest obiektem, który na podstawie pewnej zasady fizycznej odwzorowuje wartość wielkości mierzonej ( wejściowej ) na wartość innej wielkości ( wyjściowej ), przy czym odbywa się to z określoną dokładnością. Zależność wielkości wyjściowej od wielkości wejściowej nazywamy modelem przetwornika, Jest on zwykle określany przez równanie przetwarzania:

Y = f (x)

Charakterystykę przetwornika określoną dla wielkości wejściowej i wyjściowej niezmiennych w czasie nazywa się charakterystyką statyczną.

Przetworniki rzeczywiste nigdy nie realizują odwzorowania wielkości mierzonej dokładnie według ich modelu matematycznego (wg. nominalnego równania przetwarzania). Przyczyn tej rozbieżności jest wiele: niedokładna znajomość zjawisk fizycznych lub pominięciem niektórych, dla uproszczenia analizy

(tzw. błąd modelu przetwornika), wpływ zmian wielkości uważanych za stałe (określające tzw. nominalne warunki użytkowania), Charakterystyka rzeczywista przetwornika odbiega zatem od nominalnej, a różnica ta jest przyczyną niedokładności pomiaru, W celu uproszczenia analizy układu pomiarowego dokonuje się tzw. linearyzacji przetworników. W przypadku przetworników nominalnie liniowych polega to na aproksymacji charakterystyki przetwornika

w zakresie pomiarowym linią prostą.

Błędy nieliniowości przetwornika określone odchyleniem charakterystyki rzeczywistej od nominalnej liniowej, poniżej rysunek przedstawiający aproksymację charakterystyki przetwornika modelem liniowym.

Czułość przetwornika „S” jest to przyrost wielkości wyjściowej do wywołującego go przyrostu wielkości wejściowej, z kolei stała przetwornika jest odwrotnością czułości i oznaczamy ją literką „C”.

Wielkością charakteryzującą przetwornik pomiarowy oprócz czułości, jest próg pobudliwości, tj. najmniejsza zmiana wielkości na wejściu wywołująca dostrzegalną zmianę na wyjściu. Próg pobudliwości tożsamy jest również w przetwornikach analogowo-cyfrowych i cyfrowych jako rozdzielczość.

Wyznaczanie charakterystyki statycznej:

Charakterystyki statyczne wykreślane są nie na podstawie analizy zjawisk fizycznych określających zasadę działania przetwornika lecz w procesie wzorcowania. Wzorcowanie polega na doprowadzeniu do wejścia przetwornika znanych wartości wielkości mierzonej i odczytaniu odpowiadającym im wartości wielkości wyjściowej. Na podstawie uzyskanego zbioru par liczb wykreśla się nominalną charakterystykę przetwarzania lub też stosując metody regresji wyznacza się równanie przetwarzania.

Metoda graficzna jest prosta lecz mało dokładna, natomiast metoda analityczna wymaga złożenia matematycznej postacie modelu przetwornika. Wyniki pomiarów służą do wyznaczenia współczynników modelu czyli parametrów przetwornika, do tego celu stosuje się regresję liniową.

Metoda analizy regresji liniowej:

Celem analizy regresji liniowej jest wyznaczenie współczynników b0 i b1 aproksymującego modelu liniowego o postaci danej ogólną zależnością:

Y_lin = b₀ + b₁(X)

Współczynniki muszą być tak dobrane aby prosta która aproksymuje naszą charakterystykę była zbliżona do charakterystyki idealnej przetwornika. Różnica pomiędzy charakterystyką idealną, a rzeczywistą nazywamy błędem nieliniowości modelu który określony jest zależnością:

Δ_n(X) = Y_lin(X) − Y(X)

Błąd nieliniowości nie jest stały, lecz jest pewną funkcją wartości wielkości mierzonej.

Podstawą wyznaczania współczynników są wyniki pomiarowe które wykreślają nam charakterystykę rzeczywistą, do wyznaczenia optymalnej prostej regresji stosuje się minimalizację sumy kwadratów odchyleń poszczególnych punktów zmierzonych od charakterystyki modelowej, idealnej czyli:

$$minimum\ (\sum_{i = 1}^{N}{\Delta_{n,i}^{2})}$$

Wzory określające wartość współczynników modelu liniowego badanego przetwornika:

$$b_{1} = \frac{\sum_{i = 1}^{N}{\left( X_{1} - \overset{\overline{}}{X} \right)(Y_{i} - \overset{\overline{}}{Y})}}{\sum_{i = 1}^{N}{(X_{i} - \overset{\overline{}}{X})}^{2}}$$

$$b_{0} = \overset{\overline{}}{Y} - b_{1}*\overset{\overline{}}{X}$$

Gdzie

$\overset{\overline{}}{X} = \frac{1}{N}\sum_{i = 1}^{N}X_{i}$ $\overset{\overline{}}{Y} = \frac{1}{N}\sum_{i = 1}^{N}Y_{i}$

Miarą jakości przybliżenia może być błąd średniokwadratowy:

$$\delta_{sr} = \sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i = 1}^{N}{(Y_{lin,i} - Y_{i})}^{2}} = \sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i = 1}^{N}\Delta_{n,i}^{2}}$$

III. Opracowanie wyników pomiarów

Pierwszy element (przetwornik U~/U=)

b₀=-0,072 b₁=0,36

Y_lin = -0,072 + 0,36 × X

Błąd średniokwadratowy:

δ_ŚR= 0,059

Błąd nieliniowości:

Maksymalny błąd nieliniowości:

∆_MAX= 0,018 dla U_WE= 1,7[V]

Czułość przetwornika:

$$S(X) = \frac{Uwy}{Uwe}$$

Z charakterystyki statycznej : S(X) = 0,35015

Z charakterystyki modelowej : S(X)= 0,35073

Charakterystyka błędu nieliniowości

b₀=0,19 b₁=0,54

Y_lin = 0,19 + 0,54 × X

Błąd średniokwadratowy:

δ_ŚR= 0,40

Błąd nieliniowości:

Maksymalny błąd nieliniowości:

∆_MAX= 0,6 dla U_WE= 3,4[V]

Czułość przetwornika:

$$S(X) = \frac{Uwy}{Uwe}$$

Z charakterystyki statycznej : S(X) = 0,43599

Z charakterystyki modelowej : S(X)= 0,43813

Charakterystyka błędu nieliniowości

b₀=0,03 b₁=0,42

Y_lin = 0,03 + 0,42 × X

Błąd średniokwadratowy:

δ_ŚR= 0,096

Błąd nieliniowości:

Maksymalny błąd nieliniowości:

∆_MAX= 0,015 dla U_WE= 1,4[V]

Czułość przetwornika:

$$S(X) = \frac{Uwy}{Uwe}$$

Z charakterystyki statycznej : S(X) = 0,200

Z charakterystyki modelowej : S(X)= 0,183

Charakterystyka błędu nieliniowości

b₀=0,07 b₁=1,03

Y_lin = 0,07 + 1,03 × X

Błąd średniokwadratowy:

δ_ŚR= 0,076

Błąd nieliniowości:

Maksymalny błąd nieliniowości:

∆_MAX= 0,028 dla U_WE= 1,4[V]

Czułość przetwornika:

$$S(X) = \frac{Uwy}{Uwe}$$

Z charakterystyki statycznej : S(X) = 1,0326

Z charakterystyki modelowej : S(X)= 1,0362

Charakterystyka błędu nieliniowości

Wpływ częstotliwości na napięcie wyjściowe

Dane:

Robc = 1[kΩ]

Dla Uwe = 1[V]

Dla Uwe = 5[V]

Wrażliwość na zmianę częstotliwości

$$W_{f} = \frac{\text{ΔY}}{\text{Δf}} = \frac{\Delta U_{\text{wyj}}}{\text{Δf}}$$

Dla U_wej.=1V 0,056mV/Hz dla U_wej.=5V 0,31mV/Hz

Kwadrator

Czułość przetwornika: Ten wykres popraw sobie w excellu! (aproksymacja nie wykładnicza tylko kwadratowa)

$$S(X) = \frac{Uwy}{Uwe}$$

S(X)=0,14

Maksymalny błąd nieliniowości:

∆_MAX= 80 mV dla U_WE= 6[V]

Charakterystyka przejściowa zarejestrowana przy pomocy oscyloskopu cyfrowego

Przetwornik impulsowy

Dla Unast = 5[V]

Dla Unast = 10[V]

Przykładowe przebiegi dla różnych wartości nastawionych rezystancji

IV. Wnioski

Po przeanalizowaniu otrzymanych przez nas wyników pomiarów dochodzimy do wniosku, że charakterystyka przetwarzania przetwornika U~/U= zbliżona jest do linii prostej, zaś charakterystyka kwadratora - zbliżona do paraboli. Wyjątkiem jest tu pomiar przetwornika U~/U= dla częstotliwości 5kHz i obciążenia 1000 Ω - charakterystyka przetwarzania odbiega tu znacząco od linii prostej, czego przyczyną może być błąd w trakcie przeprowadzania pomiarów (błędne odczytanie wyników z aparatury pomiarowej). Zaobserwowaliśmy również to, że wraz ze wzrostem częstotliwości Uwe maleje czułość przetwornika. Wzrost wartości obciążenia powoduje zaś wzrost czułości. Wzrasta również błąd średniokwadratowy przy wzroście zarówno częstotliwości jak i rezystancji obciążenia. Zaobserwowaliśmy również to, że częstotliwość napięcia zasilania w przetworniku U~/U= ma duży wpływ na przetwarzane napięcie. Z charakterystyki można odczytać to, że największy wpływ na przetwarzane napięcie ma częstotliwość z zakresu od 0 do 4 kHz. W trzeciej części ćwiczenia sprawdzaliśmy w jaki sposób działa przetwornik z wyjściowym sygnałem impulsowym. Doszliśmy do wniosku, że wraz ze wzrostem wartości rezystancji wejściowej R maleje częstotliwość impulsów. Maleje również średnia wartość napięcia Uśr.