Granice właściwe. Liczbę g nazywamy granicą funkcji f w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi następujący warunek:
(Cauchy) ∀Ԑ>0 ∃δ>0∀xєX:0<|x-x0|<δ⟹|f(x)-g|<Ԑ
(Heine) ∀{xn}∃n0∀nєN, n>n0:{xn}єS(x0)ʌxn x0 ⟹f(xn)g
Granice niewłaściwe (Cauchy)
limx → x0f(x)=+∞⟺ ∀MєR∃δ>0∀xєR:|x-x0|<δ⟹f(x)>M
limx → x0f(x)=-∞⟺ ∀MєR∃δ>0∀xєR:|x-x0|<δ⟹f(x)<M
Granice niewłaściwe (Heine)
limx → x0f(x)=+∞ ⟺∀{xn} ∀nєN:[xnєS(x0)ʌlimn → ∞xn=x0] ⟹limn → ∞f(xn)= +∞
limx → x0f(x)=-∞ ⟺∀{xn} ∀nєN:[xnєS(x0)ʌlimn → ∞xn=x0] ⟹limn → ∞f(xn)= -∞
Granice jednostronne (Cauchy)
limx → x0+f(x)=g⟺∀Ԑ>0 ∃δ>0∀xєXcR x0<x<x0+δ⟹|f(x)-g|<Ԑ
limx → x0−f(x)=g⟺∀Ԑ>0 ∃δ>0∀xєXcR x0-δ <x< x0 ⟹|f(x)-g|<Ԑ
Granice jednostronne (Heine)
limx → x0+f(x)=g⟺∀{xn} ∀nєN:[xnєS+(x0)ʌlimn → ∞xn=x0] ⟹limn → ∞f(xn)= g
limx → x0−f(x)=g⟺∀{xn} ∀nєN:[xnєS-(x0)ʌlimn → ∞xn=x0] ⟹limn → ∞f(xn)= g
Granice nieskończone funkcji w nieskończoności (Cauchy)
limx → +∞f(x)=+∞⟺ ∀M∃k, ∀x:x>k ⟹f(x)>M
limx → −∞f(x)=-∞⟺ ∀M∃k, ∀x:x<k ⟹f(x)<M
Granice skończone funkcji w nieskończoności
(Cauchy) limx → +∞f(x)=g⟺ ∀Ԑ>0, ∃k, ∀x:x>k ⟹|f(x)-g|<Ԑ
(Heine) limx → +∞f(x)=g ⟺∀{xn}ʌ ∀nєN:[xnєS(+∞)ʌlimn → ∞xn=+∞] ⟹limn → ∞f(xn)= g
Twierdzenie o istnieniu granicy w punkcie x0. Funkcja f:RR ma w punkcie x0 granicę,
jeżeli istnieją obie równe sobie granice jednostronne, co symbolicznie zapisujemy
limx → x0f(x) ⟺ 1)∃f(x0-0) 2) ∃f(x0+0) 3) f(x0-0)=f(x0+0)
Definicja ciągłości. Funkcja f:XR, XcR jest ciągła w punkcie x0 ⟺
(Cauchy) ∀Ԑ>0 ∃δ>0∀xєXcR:|x-x0|<δ⟹|f(x)-f(x0)|<Ԑ
(Heine) ∀{xn} ∀nєN:[xnєS(x0)ʌlimn → ∞xn=x0] ⟹limn → ∞f(xn)= f(x0)
Ciągłość jednostronna
Funkcja f:XR, XcR jest ciągła prawostronnie w punkcie x0 ⟺
1)∃ limx → x0+f(x) 2)∃f(x0) 3) limx → x0+f(x) = f(x0)
Funkcja f:XR, XcR jest ciągła lewostronnie w punkcie x0 ⟺
1)∃ limx → x0−f(x) 2)∃f(x0) 3) limx → x0−f(x) = f(x0)
Funkcja ciągła w przedziale.
1. Funkcja jest ciągła w przedziale (a, b) jeżeli jest ciągła we wszystkich punktach tego przedziału.
2. Funkcja jest ciągła w przedziale [a, b] jeżeli jest ciągła we wszystkich punktach przedziału i ciągła lewostronnie w punkcie a oraz ciągła prawostronnie w punkcie b.
Twierdzenie Darboux. Jeżeli funkcja f:[a, b]R jest ciągła w przedziale [a, b] oraz f(a)≠f(b) i punkt w zawiera się w przedziale (f(a), f(b)) to istnieje co najmniej jeden taki punkt c, że f(c) =w
Twierdzenie Weierstrassa. Jeżeli funkcja f:[a, b]R jest ciągła w [a, b], to istnieje w tym przedziale punkt c1 taki, że f(c1) jest najmniejszą wartością funkcji w [a, b] oraz istnieje punkt c2 taki, że f(c2) jest największą wartością funkcji w tym przedziale