Funkcja złożona

Poprzez + - • / , składanie, odwracanie otrzymujemy nowe funkcje.

Funkcja z=φ(x) określona w zbiorze X. Jej wartości oznaczamy przez Z.

W zbiorze Z została określona funkcja y=h(z), której wartości y leżą w zbiorze Y. Funkcja ta powstała więc ze złożenia dwóch funkcji z=φ(x) i h(z) co możemy zapisać:

f(x)=h[φ(x)]

Jest to funkcja złożona.

Funkcja odwrotna

Zakładamy, że funkcja y=f(x) jest funkcją różnowartościową.

Każdemu elementowi y*W można przyporządkować jeden i tylko jeden element x*D dla którego f(x)=y. Na zbiorze W określona została funkcja x=g(y), której wartości tworzą zbiór D

Funkcję x=g(y) nazywamy funkcją odwrotną do funkcji y=f(x)

Funkcje y=f(x) i x=g(y) to funkcje wzajemnie odwrotne.

Niektóre własności funkcji jednej zmiennej

Wyróżnimy następujące własności

ciągłość

różnowartościowość

monotoniczność

ekstrema

parzystość

wypukłość

Dla omówienia ciągłości zdefiniujemy granicę funkcji

GRANICA FUNKCJI

Mamy funkcję y=f(x) określoną w pewnej dziedzinie D oraz punkt x₀, który może, lecz nie musi należeć do dziedziny D.

Mamy także ciąg punktów {x_n} spełniający następujące warunki:

1⁰ x_n∈D

2⁰ x_n≠x₀

3⁰x_n→x₀, gdy n→∞

Ciągowi {x_n} odpowiada zbieżny lub rozbieżny ciąg f(x_n) wartości funkcji f(x).

Jeżeli dla każdego ciągu {x_n} spełniającego warunki 1⁰-3⁰ odpowiedni ciąg f(x_n) wartości funkcji f(x) jest stale zbieżny do tej samej liczby g, to mówimy, że funkcja y=f(x) ma w punkcie x₀ granicę g, co zapisujemy:

Warunkiem koniecznym i dostatecznym istnienia granicy funkcji y=f(x) w punkcie x₀ jest istnienie i równość granic jednostronnych i wówczas

Przykład

Mamy daną funkcję:

Jako, że granice jednostronne są różne funkcja ta nie ma w zerze granicy.

Twierdzenia o granicy funkcji

1. Granica sumy (różnicy) dwóch funkcji w punkcie x₀ jest równa sumie (różnicy) granic tych funkcji w tym punkcie, tzn. jeżeli,
   to

2. Granica iloczynu dwóch funkcji w punkcie x₀ równa jest iloczynowi granic tych funkcji w tym punkcie, tzn. jeżeli

to

Granica ilorazu dwóch funkcji w punkcie x₀ równa jest ilorazowi granic tych funkcji w tym punkcie, tzn. jeżeli

oraz b≠0 oraz istnieje otoczenie punktu x₀, w którym g(x)≠0, to

Twierdzenia te są również słuszne dla granic funkcji w nieskończoności tzn. dla x→±∞.

Przykład

Mamy

Asymptoty funkcji

Jeżeli jest dana funkcja y=f(x). Jeżeli przy x→x₀ istnieje co najmniej jedna z granic

Prostą o równaniu x=x₀ nazywamy asymptotą pionową funkcji f(x).

Przykład

Jeżeli istnieje co najmniej jedna z granic

to prostą o równaniu y=g nazywamy asymptotą poziomą funkcji f(x).

Na przykład

Jeżeli istnieje prosta o równaniu y=ax+b taka, że

lub

to tę prostą nazywamy asymptotą pochyłą(ukośną) funkcji f(x).

Wzory na współczynniki a i b to:

na przykład funkcja

ma jedną asymptotę pochyłą y=x

Ciągłość funkcji

Mówimy, że funkcja f(x) (określona w dziedzinie D) jest ciągła w punkcie x₀, jeżeli są spełnione następujące warunki:

1. X₀∈D

2. Istnieje granica skończona
   

3. 
   

Niespełnienie któregokolwiek warunku oznacza, że funkcja nie jest ciągła w punkcie x₀, a punkt x₀ nazywamy punktem nieciągłości funkcji.

W podanym niżej przykładzie funkcja jest określona dla x=0, ale nie jest w tym punkcie ciągła bo nie istnieje w tym punkcie granica (granica prawo i lewostronna nie są sobie równe.

Jeżeli funkcja y=f(x) jest ciągła w każdym punkcie przedziału (a, b) mówimy, że jest ciągła w tym przedziale.

W interpretacji geometrycznej oznacza to, że jej wykres jest krzywą ciągłą.

Suma, różnica, iloczyn i iloraz funkcji f(x) i g(x) ciągłych w punkcie x₀ (w przedziale (a,b), przy założeniu, że w przypadku ilorazu mianownik jest różny od zera.

Jeśli funkcja z=φ(x) jest ciągła w punkcie x₀ i przyjmuje w nim wartość z₀=φ(x₀), a funkcja y=h(z) jest ciągła w punkcie z₀, to funkcja złożona y=h[φ(x)] określona w punkcie x₀ jest ciągła w tym punkcie.

Funkcja odwrotna względem funkcji ciągłej w przedziale (a, b) jest także funkcją ciągłą w tym przedziale.

Własność Darboux

Funkcja ciągła w przedziale domkniętym *a, b*

osiąga swą wartość najmniejszą m i wartość największą M przy czym przyjmuje wszystkie wartości pośrednie między tymi wartościami tzn. dla każdej wartości m₀ spełniającej nierówność

m *m₀*M istnieje taki punkt c**a, b* , że

f ( c ) =m₀.

twierdzenie Cauchy*ego

Jeżeli funkcja y=f(x) ciągła w przedziale <a, b> spełnia warunek f(a)>0, f(b)<0 lub f(a)<0, f(b)>0, to istnieje przynajmniej jeden taki punkt c∈(a, b), że f(c)=0.

Różnowartościowość

Funkcję f(x) nazywamy różnowartościową wtedy i tylko wtedy, gdy

Funkcje monotoniczne

Są to funkcje rosnące, malejące (ściśle), niemalejące i nierosnące.

Funkcje nazywamy:

rosnącą

malejącą

niemalejącą

nierosnącą

Ekstrema funkcji

Funkcja f(x) określona na przedziale <a, b>

osiąga w punkcie wewnętrznym x₀ tego przedziału maksimum lokalne, jeżeli wartość funkcji w punkcie x₀ jest większa od wartości funkcji w pewnym otoczeniu tego punktu, tzn.

Największe z maksimów lokalnych nazywamy maksimum globalnym funkcji y=f(x) w przedziale <a, b>

Funkcja f(x) określona na przedziale <a, b>

osiąga w punkcie wewnętrznym x₀ tego przedziału maksimum lokalne, jeżeli wartość funkcji w punkcie x₀ jest większa od wartości funkcji w pewnym otoczeniu tego punktu, tzn.

Największe z maksimów lokalnych nazywamy maksimum globalnym funkcji y=f(x) w przedziale <a, b>

Funkcja f(x) określona na przedziale <a, b>

osiąga w punkcie wewnętrznym x₀ tego przedziału minimum lokalne, jeżeli wartość funkcji w punkcie x₀ jest mniejsza od wartości funkcji w pewnym otoczeniu tego punktu, tzn.

Najmniejsze z minimów lokalnych nazywamy minimum globalnym funkcji y=f(x) w przedziale

Funkcja y=f(x) osiąga w przedziale
wartość największą (najmniejszą), jeżeli istnieje
takie, że

Wartości ekstremalne funkcja przyjmuje w punktach wewnętrznych przedziału określoności, a wartość najmniejszą i największą może przyjmować również na krańcach przedziału

Funkcję f(x) określoną w D nazywamy w tym zbiorze

parzystą

nieparzystą

Funkcja parzysta jest symetryczna względem osi Y np. funkcja y=cosx,

y=x⁴-3x²+1

funkcja nieparzysta to np. y=sinx, y=x³-x

Krzywą, mającą tę własność, że wszystkie jej punkty leżą nad odpowiednimi punktami stycznych (z wyjątkiem punktów styczności) nazywamy krzywą wypukłą.

Krzywą, mającą tę własność, że wszystkie jej punkty leżą pod odpowiednimi punktami stycznych (z wyjątkiem punktów styczności) nazywamy krzywą wklęsłą.

Przy badaniu funkcji interesuje nas zachowanie się funkcji w punktach nieciągłości i w punktach niewłaściwych.

Badamy czy funkcja w tych punktach posiada granicę i jaką

(patrz: asymptoty funkcji)

POCHODNA FUNKCJI

Iloraz

(przyrostu funkcji do przyrostu h zmiennej niezależnej) nazywamy ilorazem różnicowym albo przyrostem przeciętnym funkcji w przedziale

Granicę ilorazu różnicowego (jeżeli istnieje) przy

nazywamy pochodną funkcji f(x) w punkcie x₀ i oznaczamy symbolem

f `(x₀).

Jeżeli funkcja f(x) ma w każdym punkcie x przedziału (w którym jest określona) pochodną

f `(x) to możemy powiedzieć, że w przedziale tym jest określona funkcja pochodna funkcji f(x) i oznaczamy symbolem f `(x). Z tych określeń wynika podwójne znaczenie symbolu pochodnej ( w punkcie (liczba) i funkcja)

Twierdzenia o pochodnych

Jeżeli funkcje f(x) i g(x) mają pochodne f `(x) i
g`(x) w punkcie x to w punkcie x ma również pochodną:

1. funkcja f(x)+g(x) [ f ` (x)+g`(x) ]

2. funkcja f(x)-g(x) [ f ` (x)-g`(x) ]

3. funkcja f(x)⋅g(x) [ f ` (x)·g(x)+f(x)·g`(x) ]

4. funkcja

g(x)≠0

5. funkcja z=φ(x) ma pochodną w punkcie x, a funkcja y=f(z) ma pochodną w punkcie z=φ(x), to funkcja złożona f(φ(x)) ma w punkcie x pochodną:

6.funkcja y=φ(x) jest funkcją odwrotną względem funkcji x=f(y) ciągłej, ściśle monotonicznej i mającej w punkcie x₀ pochodną f `(y<sub>0</sub>) , to funkcja φ(x) ma w punkcie x<sub>0</sub>=f(y<sub>0</sub>) pochodną φ `(x₀) :

Tabela pochodnych podstawowych funkcji

l.p.	f(x)	f `(x)
1	a	0
2	xn	nx^n-1
3	e^x	e^x
4	a^x	a^xlna
5	lnx
6	logpx
7	sinx	cosx
8	cosx	-sinx
9	tgx
10	ctgx

1

9

D. Miszczyńska, F. złożona, odwrotna, własności funkcji, pochodna, WSEH, Skierniewice 2005/06

---