1. OPRACOWANIE TEORETYCZNA

Prawo grawitacji

Każde dwa ciała przyciągają się z siłą grawitacji , której wartość jest wprost proporcjonalna do iloczynu mas tych ciał m₁, m₂, a odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości pomiędzy nimi:

gdzie G jest współczynnikiem proporcjonalności zwanym stałą grawitacji i wynosi 6.67 *10^-11N m²/kg². Kierunek siły pokrywa się z linią łączącą środki mas m₁ i m₂.

Jeśli rozpatrzymy układ obejmujący Ziemię (M) oraz badane ciało (m) znajdujące się na powierzchni Ziemi, to siłę grawitacji możemy zapisać wzorem:

gdzie R jest promieniem Ziemi. Wzór ten można zapisać w innej postaci:

gdzie g_gr jest wielkością stałą w danym punkcie Ziemi, i nosi nazwę przyśpieszenia grawitacyjnego. Wartość przyśpieszenia grawitacyjnego na powierzchni Ziemi nie jest stała, gdyż Ziemia jest nieco spłaszczona na biegunach i ma kształt zbliżony do elipsoidy.

Przyśpieszenie ziemskie

Na każde ciało znajdujące się w polu ciężkości Ziemi działa siła ciężkości (inaczej zwana ciężarem ciała), która nadaje ciału przyśpieszenie zwane przyśpieszeniem ziemskim:

Przyśpieszenie ziemskie jest to zatem takie przyśpieszenie, z którym poruszają się wszystkie ciała swobodnie spadające na powierzchnię Ziemi, bez względu na swoją masę.

Siła ciężkości jest wypadkową kilku sił, wśród których dominuje siła grawitacji. Niewielki udział mają również siła odśrodkowa i siła wyporu powietrza. Siła odśrodkowa Fo, działająca na ciała znajdujące się na powierzchni Ziemi, jest skutkiem ruchu obrotowego Ziemi wokół własnej osi. Wartość siły odśrodkowej działającej na ciało o masie m zależy od prędkości kątowej ω (która jest stała we wszystkich punktach Ziemi) oraz odległości r danego ciała od osi obrotu Ziemi. Kierunek siły odśrodkowej jest zawsze prostopadły do osi obrotu Ziemi, a jej wartość rośnie w miarę przesuwania się od bieguna, gdzie wynosi zero, do równika, gdzie przyjmuje wartość maksymalną.

Siła odśrodkowa jest mała w porównaniu z siłą grawitacji Ziemi. Nawet na równiku stosunek tych dwóch sił wynosi zaledwie 1:288. Przyśpieszenie ziemskie dla Krakowa wynosi 9.981 m/s².

Wartość siły ciężkości związana jest również z budową wewnętrzną Ziemi, a w szczególności z budową skorupy ziemskiej. Nauka, która bada związek siły ciężkości (i przyśpieszenia ziemskiego) z figurą i budową wewnętrzną Ziemi nazywa się grawimetrią. Precyzyjny pomiar siły ciężkości w różnych punktach Ziemi dostarcza informacji o rozkładzie gęstości ośrodka w rejonie obserwacji, umożliwiając badania struktur geologicznych i poszukiwanie złóż kopalin. Podstawową wielkością mierzoną w grawimetrii jest przyśpieszenie ziemskie. Jego wartość można zmierzyć m.in. przy pomocy wahadła matematycznego, fizycznego czy bardziej skomplikowanych przyrządów zwanych grawimetrami.

Wahadło rewersyjne

Dla wahadła fizycznego stosuje się wzór na określenie wahań takich samych ,jak dla wahadła matematycznego :

T=$2\pi\sqrt{}\frac{l}{g}$

gdzie:

l – długość wahadła, tj. odległość środka ciężkości ciała zawieszonego od osi obrotu,

g – przyspieszenie ziemskie.

Z ta różnica ,ze l w tym wzorze oznacza długość takiego wahadła matematycznego ,które jest zsynchronizowane czasie z wahadłem fizycznym ;jest to tzw. Długość zredukowana .pomiar przyspieszenia g sprowadza się do wykorzystania wzoru

Wahadło rewersyjne jest to specjalnie skonstruowane wahadło fizyczne ,które pozwala na bardzo dokładny pomiar l

Można udowodnić ze jeżeli w wahadle fizycznym środek wahań A uczynimy osia obrotu ,to punkt O ,czyli poprzednia os obrotu ,stanie się obecnie środkiem wahań ,to znaczy okresy drgań w oibu przypadkach będą jednakowe . By dowód ten przeprowadzić , szukamy na drodze rozwiązań teoretycznych okresu drgań wahadła względem punktu O (T_o)oraz okresu względem punktu A(T_A) niech C będzie środkiem masy układu leżącym na prostej OA.

Na podstawie twierdzenia Steinera moment bezwładności względem osi O określa wyrażenie

B_o=B_c+ma²

Gdzie B_c oznacza moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy.

Okres wahań względem osi O można napisać w postaci

T_o=2$\pi\sqrt{}$ $\frac{B_{C} + \text{ma}^{2}}{\text{mga}}$

Gdzie a jest odległością od środka masy C od osi obrotu Jeśli zawiesimy wahadło na osi przechodzącej przez punkt A ,to okres wahań względem osi będzie

T_A 2$\pi\sqrt{}$ $\frac{B_{C}{+ mb}^{2}}{\text{mgb}}$

gdzie b –odległość środka masy od punktu zawieszenia

Przypusty ze niesiemy ze punkt A jest Środkiem wahań wahadła fizycznego natomiast znana jest na podstawie przeprowadzonych pomiarów równość okresów T_o=T_A Przyjmujemy wtedy siebie stronami równania i otrzymujemy

B_C(a-b)=mab(a-b)

Równanie to wyznacza takie położenie środka wahadła , które zapewnia omawianą równość okresów . Jeśli to możliwe gdy:

1. a=b , środek masy znajduje się w połowie długości odcinka OA prawdopodobieństwo tego przypadku jest bardzo małe i dlatego nie bierzemy go pod uwagę

2. a-b≠0, wtedy obie strony równania skracamy przez a-b i otrzymujemy

B_C=mab

Podstawiając otrzymana wartość do wzoru otrzymujemy

T_A=T_o=2$\pi\sqrt{}\frac{a + b}{g}$

Zależność ta stwierdza ,że okres wahań wahadła fizycznego jes taki sam ,jak okres wahań wahadła zredukowanego o długość

l=a+b

Uzasadniona jest wiec podaną wyżej właściwość punktów O i A wahadła fizycznego , na której opera się budowa wahadła rewersyjnego .

Wahadło rewersyjne jest to ciało sztywne , mające takie dwie osie obrotu I i II że okresy wahań względem nich są jednakowe . Znajdując doświadczalnie wzajemną odległość tych osi oraz okres wahań wahadła względem każdej z nich , wyznaczamy przyspieszenie ziemskie według wzoru

g = $\frac{{\mathbf{4}\mathbf{\pi}}^{\mathbf{2}}\mathbf{(a + b)}}{\mathbf{T}^{\mathbf{2}}}$

gdzie l =a+b jest długością wahadła zredukowanego

Najczęściej spotykaną formom wahadła rewersyjnego jest sztaba stalowa ,na której znajdują się trzy metalowe ciężarki w kształcie soczewek . Dwie z nich A i B są nieruchome ,trzecią C możemy przesuwać wzdłuż sztaby i odczytywać jej położenie na skali wykreślonej na pręcie . Przez przesuniecie tej soczewki zmieniamy położenie środka masy wahadła a przez to i okres wahadła . Osie obrotu I i II maja postać nieruchomo przymocowanych pryzmatów i znajdują się stałej od siebie odległości , która można zmierzyć z bardzo dużą dokładnościom .Zwykle ta odległość jest dla danego wahadła podobna ,przesuwając soczewkę C znajdujemy takie jej położenie ,przy którym okresy wahań względem osi są jednakowe .

WYKONANIE ĆWICZENIA

położenie soczewki	okres wahańT1	okres wahańT2
5	56,28	54,73
10	54,32	54,58
15	53,62	54,39
20	53,07	54,25
25	52,65	54,12
30	52,33	54,04
35	52,18	53,96
40	52,09	53,98
45	52,12	54
50	52,25	54,14
55	52,34	54,25
60	52,79	54,41
65	53,17	54,59
70	53,55	54,77
75	54,03	55,04
80	54,56

Zawieszamy wahadło rewersyjne na jednej osi ,np. osi I . ruchoma soczewkę C przesuwamy do tej soczewki nieruchomej , przy której znajduje się początek skali nakreślonej na wahadle . Wprawiamy wahadło w ruch i wyznaczamy Za pomocą sekundomierza czas pełnych 30 okresów poczym obliczamy wartość okresu T_I,1. Następnie obtracamy wahadło i zawieszamy je na osi II sposobem wyżej podanym wyznaczamy znowu wartość okresu T_II,1 . Przesuwamy ruchomą soczewkę w stronę rosnących podziałek skali o 5cm i wyznaczamy wartości okresów T_I,2. Przesuwamy znów ruchomą soczewkowe C o 5cm i wyznaczamy wartości okresów T_I,3 i T_II,3.Postepując w ten sposób znajdziemy dwa szeregi wartości okresów T_I,1 , T_I,2, …, T_In i T_II,1T_II,2 , … , T_Iin dla wszystkich położę soczewki Miedzy zawieszeniami I i II w odstępach co 5cm

T = $\frac{\mathbf{t}}{\mathbf{n}}$

Gdzie:

T – okres wahnięć wahadła zawieszonego

n – ilość wahnięć w tym przypadku liczyliśmy okres dla 30 wahnięć.

t_’ – średni czas wahnięć

T =$\mathbf{\ }\frac{\mathbf{54,6}}{\mathbf{30}}\mathbf{\ }$= 1,82s

Przystępujemy do obliczenia przyśpieszenia ziemskiego ze wzoru

g = $\frac{{\mathbf{4}\mathbf{\pi}}^{\mathbf{2}}\mathbf{l}}{\mathbf{T}^{\mathbf{2}}}\mathbf{\ }$= $\frac{\mathbf{\ 4*}\mathbf{3,1415}^{\mathbf{2}}\mathbf{*0,9}}{\mathbf{1,85}^{\mathbf{2}}}$ =9,56 [$\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}^{\mathbf{2}}}$]

Moje obliczone g różni się od wielkości podanej w tablicach o 0,24 $\frac{m}{s^{2}}$

UNIWERSYTET ZIELONOGÓRSKI

WYDZIAŁ INŻYNIERII LĄDOWEJ I BUDOWNICTWA

INSTYTUT BUDOWNICTWA

FIZYKA

Ćwiczenia laboratoryjne

Ćwiczenie nr 5

Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego

Grupa laboratoryjna 11

Podgrupa B

Krystian Walukiewicz

ROK AKADEMICKI 2010/2011

Obliczanie błędu

$\frac{\mathbf{}\mathbf{g}_{\mathbf{\text{ob}}}}{\mathbf{g}_{\mathbf{\text{tab}}}}$ *100% =$\frac{\mathbf{0,24}}{\mathbf{9,8}}$*100%=0,024%

Δg_ob- różnica miedzy g obliczeniowym a g przyjętym z tablic

g_tab- przyspieszenie ziemskie przyjęte z tablic

Błąd obliczeniowy wynosi 0,024 %