Funkcja kwadratowa

1. Wprowadzenie do funkcji kwadratowej

Przed rozpoczęciem nauki o funkcji kwadratowej, warto dobrze zrozumieć samo pojęcie funkcji, a także pojęcia z nim związane, takie jak np. miejsca zerowe.
Przydatna będzie również umiejętność rozwiązywania równań kwadratowych.
Dokładne omówienie funkcji kwadratowej znajdziesz w rozdziałach poniższych.
W tym rozdziale pokażemy sobie jedynie kilka podstawowych cech funkcji kwadratowej.
Funkcją kwadratową nazywamy taką funkcję, we wzorze której:

• musi wystąpić x²,

• może wystąpić x,

• może wystąpić liczba stała.

Oto przykładowe funkcje kwadratowe:We wzorze każdej z powyższych funkcji występuje wyrażenie x², zatem są to funkcje kwadratowe.
Czasami wzór funkcji może być zapisany w taki sposób, że wyrażenie x² nie będzie widoczne na pierwszy rzut oka. Oto przykłady tak zapisanych funkcji kwadratowych:Po wymnożeniu nawiasów we wzorze pierwszej funkcji (oraz odpowiednio podniesieniu nawiasu do kwadratu we wzorze drugiej funkcji) otrzymamy już klasyczny wzór funkcji kwadratowej:

Wykres funkcji kwadratowej

Wzór ogólny funkcji kwadratowej jest postaci:

f(x)=ax2+bx+c

gdzie literki a, b oraz c są współczynnikami liczbowymi.
Wykres każdej funkcji kwadratowej jest nazywany parabolą.
Oto przykładowe wykresy:Obie funkcje, których wykresy widać na powyższym rysunku mają współczynniki b = 0 oraz c = 0.
Ramiona pierwszej paraboli skierowane są do góry, ponieważ jej współczynnik a jest dodatni (a = 1).
W sytuacji gdy a < 0, to ramiona paraboli skierowane są w dół (tak jak na drugim wykresie, gdzie a = -1).
Obie parabole na powyższym rysunku mają wierzchołek w punkcie (0, 0).
Pojęcie wierzchołka oraz ramion paraboli wyjaśnia poniższy rysunek:
Teraz omówimy własności przykładowej funkcji kwadratowej f(x) = x² - 2x - 8 (wykres funkcji powyżej).

• Dziedzina: D = R.

• Zbiór wartości: ZW = ⟨-9; +∞).

• Miejsca zerowe: funkcja ma dwa miejsca zerowe: x₁ = -2 oraz x₂ = 4.

• Funkcja przyjmuje wartości dodatnie, gdy x∈(-∞; -2) ∪ (4 +∞).

• Funkcja przyjmuje wartości ujemne, gdy x∈(-2; 4).

• Punkt przecięcia z osią y-ów ma współrzędne: (0, -8).

• Monotoniczność: funkcja jest niemonotoniczna (jest jedynie monotoniczna przedziałami).

• Różnowartościowość: funkcja nie jest różnowartościowa.

• Parzystość: funkcja nie jest parzysta.

• Nieparzystość: funkcja nie jest nieparzysta.

Aby narysować dokładny wykres funkcji kwadratowej (z którego będzie można potem odczytać wszystkie jej własności) należy wcześniej ustalić:

• W którą stronę skierowane są ramiona paraboli.
  Jeżeli a > 0 to do góry, a jeżeli a < 0 to do dołu.

• Miejsca zerowe funkcji.

W tym celu należy rozwiązać równanie:wzór funkcji = 0Jest to równanie kwadratowe, które rozwiązujemy metodami opisanymi tutaj.

• Wierzchołek paraboli.
  Współrzędne wierzchołka paraboli W=(p,q) można obliczyć ze wzorów:

pq=−b2a=−Δ4a

• Punkt przecięcia z osią y-ów.
  Punkt ten ma współrzędne: (0; f(0))

Wstęp do postaci funkcji kwadratowej

Wzór dowolnej funkcji kwadratowej można zapisać na wiele różnych sposobów. Oto przykładowa funkcja kwadratowa zapisana na kilka różnych sposobów:

Każdy z powyższych wzorów opisuje tą samą funkcję kwadratową. Tego typu wzorów dla jednej funkcji można teoretycznie wymyślać nieskończenie wiele. Nie opłaca się jednak tego robić, ponieważ kolejne wzory byłyby coraz bardziej skomplikowane. Warto zawsze przedstawiać funkcję w najprostszej możliwej postaci. 
Wzór funkcji kwadratowej najkorzystniej jest zapisywać w jednej z trzech postaci: ogólnej, kanonicznej lub iloczynowej. 

Postać ogólna funkcji kwadratowej

Funkcja kwadratowa zapisana w postaci ogólnej wygląda tak:

f(x)=ax2+bx+c

gdzie a, b, c są współczynnikami liczbowymi i a ≠ 0.
Ze wzoru funkcji kwadratowej danej w postaci ogólnej możemy od razu odczytać:

• czy ramiona paraboli są skierowane do góry (a > 0), czy do dołu (a < 0),

• punkt przecięcia paraboli z osią OY (0, c).

Na przykład:Na powyższych wykresach zaznaczono również miejsca zerowe obu funkcji kwadratowych (oznaczone symbolami x₁ oraz x₂). Dysponując wzorem ogólnym funkcji kwadratowej możemy łatwo obliczyć miejsca zerowe x₁ i x₂. Wystarczy najpierw obliczyć deltę, korzystając ze wzoru:

Δ=b2−4ac

Jeżeli delta wyszła większa od zera, to miejsca zerowe istnieją i możemy je obliczyć korzystając ze wzorów:

x1x2=−b−Δ−−√2a=−b+Δ−−√2a

Chcąc policzyć współrzędne wierzchołka W funkcji kwadratowej danej w postaci ogólnej, skorzystamy ze wzorów:

W=(−b2a,−Δ4a)

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej

Funkcja kwadratowa zapisana w postaci kanonicznej wygląda tak:

f(x)=a(x−p)2+q

gdzie a, p, q są współczynnikami liczbowymi i a ≠ 0.
Współczynniki p i q są współrzędnymi wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji kwadratowej. Oznaczmy ten wierzchołek przez W = (p, q). Jeżeli znamy postać ogólną funkcji kwadratowej, to możemy obliczyć współrzędne p i q ze wzorów:

pq=−b2a=−Δ4a

Zaletą postaci kanonicznej jest to, że widać z niej od razu współrzędne wierzchołka paraboli.
Dodatkowo po współczynniku a możemy określić, czy ramiona paraboli są skierowane do góry (a > 0), czy do dołu (a < 0).

Postać iloczynowa funkcji kwadratowej

Funkcja kwadratowa zapisana w postaci iloczynowej wygląda tak:

f(x)=a(x−x1)(x−x2)

W powyższym wzorze a jest współczynnikiem liczbowym, takim, że a ≠ 0. Literki x₁ i x₂ są miejscami zerowymi funkcji f(x).
Uwaga! Jeżeli funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych, to postać iloczynowa nie istnieje.
Jeżeli znamy postać ogólną funkcji kwadratowej (i Δ > 0), to możemy obliczyć miejsca zerowe x₁ i x₂ korzystając ze wzorów:

x1=$\frac{- b - \sqrt{}}{2a}$

x₂₌$\frac{- b + \sqrt{}}{2a}$

Zaletą postaci iloczynowej jest to, że widać z niej od razu miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Po współczynniku a możemy określić również, czy ramiona paraboli są skierowane do góry (a > 0), czy do dołu (a < 0).

Zamiana postaci ogólnej na postać kanoniczną i iloczynową

Przyjmijmy, że mamy daną funkcję kwadratową w postaci ogólnej, czyli:

f(x)=ax2+bx+c

Aby zamienić wzór funkcji na postać kanoniczną, to wystarczy obliczyć p i q. Korzystamy ze wzorów:

pq=−b2a=−Δ4a

Po wyliczeniu p i q zapisujemy wzór funkcji w postaci kanonicznej korzystając ze wzoru:

f(x)=a(x−p)2+q

Aby zamienić wzór funkcji na postać iloczynową, to należy obliczyć x₁ i x₂. Wcześniej jednak liczymy deltę ze wzoru:

Δ=b2−4ac

Jeżeli Δ ≥ 0 to obliczamy x₁ i x₂ ze wzorów: Korzystamy ze wzorów:

x1x2=−b−Δ−−√2a=−b+Δ−−√2a

Po wyliczeniu x₁ i x₂ zapisujemy wzór funkcji w postaci iloczynowej korzystając ze wzoru:

f(x)=a(x−x1)(x−x2)

Uwaga! Jeżeli Δ = 0, to wystarczy policzyć x₁ ze wzoru:

x1=−b/2a

Postać iloczynową możemy wówczas zapisać krócej:

f(x)=a(x−x1)2

Przykład 1. Przekształć wzór funkcji f(x) = x² + 5x - 6 na postać kanoniczną i iloczynową.
Rozwiązanie

Zacznijmy od wypisania współczynników liczbowych a, b i c z danej postaci ogólnej:

a = 1
b = 5
c = -6

Teraz obliczymy deltę:

Δ = b² - 4ac = 5² - 4⋅1⋅(-6) = 25 + 24 = 49

Jako pierwszą wyznaczymy postać kanoniczną. Do tego celu musimy obliczyć p i q:

Teraz podstawiamy wyliczone wartości liczbowe współczynników do wzoru:

Ostatecznie otrzymujemy wzór funkcji w postaci kanonicznej:

Teraz wyznaczymy postać iloczynową. W tym celu musimy wyliczyć miejsca zerowe x₁ i x₂. Korzystamy z poznanych wzorów:

Wyliczone wartości podstawiamy do wzoru:

Zatem ostatecznie postać iloczynowa funkcji kwadratowej jest następująca: