1. Wyznaczenie linii wpływu reakcji i sił przekrojowych w układzie statycznie wyznaczalnym.

• Siła znajduje się w przedziale <A-1> ; 0 < x ≤ 4

Belka <A-1> ΣM_A^L = 0 M_A − P(4−x) = 0

M_A = 4 − x

Belka <2-D> ΣM₂^P = 0 −R_D × 4 = 0

R_D = 0

Belka <A-2> ΣM_B = 0 M_A − P(7−x) − 8R_C − 15R_D = 0

8R_c = 4 − x − (7−x) − 15 × 0

$R_{C} = - \frac{3}{8}$

Belka <A-2> ΣM_c = 0 M_A − P(15−x) + 8R_B − 7R_D = 0

8R_B = −(4−x) + (15−x) + 7 × 0

$R_{B} = \frac{11}{8}$

gdy:

$$\left\{ x = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ M_{A} = 4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \right.\ R_{D} = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R_{C} = - \frac{3}{8}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }R_{B} = \frac{11}{8}$$

$$\left\{ x = 4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ M_{A} = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \right.\ R_{D} = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R_{C} = - \frac{3}{8}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }R_{B} = \frac{11}{8}$$

• Siła znajduje się w przedziale <1-2> ; 4 < x ≤ 18

Belka <A-1> ΣM_A^L = 0 M_A = 0

Belka <2-D> ΣM₂^P = 0 R_D = 0

Belka <A-2> ΣM_B = 0 M_A − P(7−x) − 8R_C − 15R_D = 0

8R_c = 0 − (7−x) − 15 × 0

$R_{C} = - \frac{7}{8} + \frac{x}{8}$

Belka <A-2> ΣM_c = 0 M_A − P(15−x) + 8R_B − 7R_D = 0

8R_B = 0 + (15−x) + 7 × 0

$R_{B} = \frac{15}{8} - \frac{x}{8}$

gdy:

$$\left\{ x = 4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ M_{A} = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \right.\ R_{D} = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R_{C} = - \frac{3}{8}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }R_{B} = \frac{11}{8}$$

{x=7          M_A=0           R_D = 0          R_C = 0               R_B = 1   

{x=15       M_A=0           R_D = 0           R_C = 1               R_B = 0   

$$\left\{ x = 18\ \ \ \ \ \ \ M_{A} = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \right.\ R_{D} = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R_{C} = \frac{11}{8}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }R_{B} = - \frac{3}{8}$$

• Siła znajduje się w przedziale <2-D> ; 18 < x ≤ 22

Belka <A-1> ΣM_A^L = 0 M_A = 0

Belka <2-D> ΣM₂^P = 0 −4R_D + P(x−18) = 0

4R_D = x − 18

$R_{D} = \frac{x}{4} - \frac{9}{2}$

Belka <A-2> ΣM_B = 0 M_A + P(x−7) − 8R_C − 15R_D = 0

${8R}_{c} = 0 + \left( x - 7 \right) - 15\left( \frac{x}{4} - \frac{9}{2} \right)$

$R_{C} = - \frac{11}{32}x + \frac{242}{32}$

Belka <A-2> ΣM_c = 0 M_A + P(x−15) + 8R_B − 7R_D = 0

${8R}_{B} = 0 - \left( x - 15 \right) + 7\left( \frac{x}{4} - \frac{9}{2} \right)$

$R_{B} = \frac{3}{32}x - \frac{66}{32}$

gdy:

$$\left\{ x = 18\ \ \ \ \ \ \ \ \ M_{A} = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \right.\ R_{D} = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R_{C} = \frac{11}{8}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }R_{B} = - \frac{3}{8}$$

{x=22        M_A=0           R_D = 1          R_C = 0             R_B = 0     

Obliczenia w przekroju α − α :

• Siła znajduje się w przedziale <A-1> ; 0 < x ≤ 4

ΣY^P = 0 R_D + R_C + T_α = 0

$T_{\alpha} = 0 + \frac{3}{8} = \frac{3}{8}$

ΣM_{α − α}^P = 0 M_α − 3R_C − 10R_D = 0

$M_{\alpha} = 3\left( - \frac{3}{8} \right) + 10 \times 0 = - \frac{9}{8}$

gdy:

$$\left\{ x = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ T_{\alpha} = \frac{3}{8}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ } \right.\ M_{\alpha} = - \frac{9}{8}\ $$

$$\left\{ x = 4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ T_{\alpha} = \frac{3}{8}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ } \right.\ M_{\alpha} = - \frac{9}{8}\ $$

• Siła znajduje się w przedziale <1-(α − α)> ; 4 < x ≤ 12

ΣY^P = 0 R_D + R_C + T_α = 0

$T_{\alpha} = 0 - \left( - \frac{7}{8} + \frac{x}{8} \right) = \frac{7}{8} - \frac{x}{8}$

ΣM_{α − α}^P = 0 M_α − 3R_C − 10R_D = 0

$M_{\alpha} = 3\left( - \frac{7}{8} + \frac{x}{8} \right) + 10 \times 0 = - \frac{21}{8} + \frac{3}{8}x$

gdy:

$$\left\{ x = 4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ T_{\alpha} = \frac{3}{8}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ } \right.\ M_{\alpha} = - \frac{9}{8}\ $$

{x=7           T_α=0           M_α = 0     

$$\left\{ x = 12\ \ \ \ \ \ \ \ T_{\alpha} = - \frac{5}{8}\text{\ \ \ \ \ } \right.\ M_{\alpha} = \frac{15}{8}\text{\ \ \ }$$

• Siła znajduje się w przedziale <(α − α)-2> ; 12 < x ≤ 18

ΣY^L = 0 −R_B + T_α = 0

$T_{\alpha} = \frac{15}{8} - \frac{x}{8}$

ΣM_{α − α}^L = 0 −M_α + 5R_B + M_A = 0

$M_{\alpha} = 5\left( \frac{15}{8} - \frac{x}{8} \right) + 0 = \frac{75}{8} - \frac{5}{8}x$

gdy:

$$\left\{ x = 12\ \ \ \ \ \ \ \ T_{\alpha} = \frac{3}{8}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ } \right.\ M_{\alpha} = \frac{15}{8}\text{\ \ \ }$$

{x=15         T_α=0          M_α = 0      

$$\left\{ x = 18\ \ \ \ \ \ \ T_{\alpha} = - \frac{3}{8}\text{\ \ \ \ \ } \right.\ M_{\alpha} = - \frac{15}{8}\ $$

• Siła znajduje się w przedziale <(α − α)-2> ; 12 < x ≤ 18

ΣY^L = 0 −R_B + T_α = 0

$T_{\alpha} = \frac{3}{32}x - \frac{66}{32}$

ΣM_{α − α}^L = 0 −M_α + 5R_B + M_A = 0

$M_{\alpha} = 5\left( \frac{3}{32}x - \frac{66}{32} \right) + 0 = \frac{15}{32}x - \frac{330}{32}$

gdy:

$$\left\{ x = 18\ \ \ \ \ \ \ T_{\alpha} = - \frac{3}{8}\text{\ \ \ \ \ } \right.\ M_{\alpha} = - \frac{15}{8}\ $$

{x=22         T_α=0          M_α = 0      

1. Wyznaczenie linii wpływu reakcji i sił przekrojowych w układzie statycznie niewyznaczalnym.

Belka jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalna. Przyjęto następujący schemat podstawowy.

Współrzędną położenia siły P przyjęto w układach lokalnych, dla każdej z belek oddzielnie. Układ równań kanonicznych metody sił ma postać:

{δ₁₁X₁(x_i)+δ_1P(x_i)=0 

Obliczenie δ₁₁ w oparciu o stan jednostkowy X₁ = 1.

ΣM_C^(BC) = 0 −6R_B⁽¹⁾ − 1 = 0

$R_{B}^{(1)} = - \frac{1}{6}$

ΣY^(BC) = 0 $R_{C}^{(1)} = \frac{1}{6}$

ΣM_A^(AB) = 0 −M_A⁽¹⁾ + 1 = 0

M_A⁽¹⁾ = 1

ΣY^(AB) = 0 R_B⁽¹⁾ = 0

Wykres funkcji momentu zginającego M₁ z zaznaczonymi wartościami reakcji podporowych.

$$\delta_{11} = \frac{1}{\text{EI}}\left\lbrack 1 \times 6 \times 1 + \frac{1}{2} \times 1 \times 6 \times \frac{2}{3} \times 1 \right\rbrack = \frac{8}{\text{EI}} = \frac{48}{6EI}\ \left\lbrack m^{3} \right\rbrack$$

Wyznaczenie funkcji ugięcia belki δ_1P(x_i) spowodowanego poruszającym się obciążeniem jednostkowym P=1 dla układu podstawowego metodą Mohra.

• Siła znajduje się na przedziale <A - B>

$$\delta_{1P} = \frac{1}{\text{EI}}\left\lbrack \left( 6 - x_{1} \right) \times x_{1} \times 1 + \frac{1}{2} \times \left( 6 - x_{1} \right)^{2} \times 1 \right\rbrack = \frac{1}{\text{EI}}\left\lbrack 18 - \frac{{x_{1}}^{2}}{2} \right\rbrack$$

$$\delta_{1P} = \frac{1}{\text{EI}}\left\lbrack 18 - \frac{\left( 6\xi \right)^{2}}{2} \right\rbrack = \frac{108}{6EI}\left\lbrack 1 - \xi^{2} \right\rbrack$$

• Siła znajduje się na przedziale <B - C>

$$\delta_{1P} = \frac{1}{\text{EI}}\left\lbrack \frac{1}{2} \times x_{2} \times \frac{6x_{2} - x_{2}^{2}}{6}\left( \frac{2}{3}\left( 1 - \frac{x_{2}}{6} \right) + \frac{1}{3} \times 1 \right) + \frac{1}{2}\left( 6 - x_{2} \right) \times \frac{6x_{2} - x_{2}^{2}}{6} \times \frac{2}{3}\left( 1 - \frac{x_{2}}{6} \right) \right\rbrack$$

$$\delta_{1P} = \frac{1}{\text{EI}}\left\lbrack 2x_{2} + \frac{x_{2}^{3}}{36} - \frac{x_{2}^{2}}{2} \right\rbrack$$

$$\delta_{1P} = \frac{1}{\text{EI}}\left\lbrack 2x_{2} + \frac{x_{2}^{3}}{36} - \frac{x_{2}^{2}}{2} \right\rbrack = \frac{36}{6EI}\left\lbrack 2\xi - 3\xi^{2} + \xi^{3} \right\rbrack$$

Wyznaczenie funkcji ugięcia belki δ_1P(x_i) spowodowanego poruszającym się obciążeniem jednostkowym P=1 dla układu podstawowego metodą Maxwella.

• Przedział <C – B>

$$\text{EI}\frac{d^{2}_{1P}\left( x_{i} \right)}{\text{dx}^{2}} = - M\left( x_{i} \right)$$

$$M = 1 - \frac{x_{2}}{6}$$

$$\text{EI}\frac{d^{2}_{1P}\left( x_{2} \right)}{\text{dx}^{2}} = \frac{x_{2}}{6} - 1$$

$$\text{EI}\frac{d_{1P}\left( x_{2} \right)}{\text{dx}} = \frac{x_{2}^{2}}{12} - x_{2} + c$$

$$\text{EI}_{1P}\left( x_{2} \right) = \frac{x_{2}^{3}}{36} - \frac{x_{2}^{2}}{2} + c \times x_{2} + d$$

Warunki brzegowe:

$$\left\{ \begin{matrix} x_{2} = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ _{1P}\left( x_{2} \right) = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{0^{3}}{36} - \frac{0^{2}}{2} + c \times 0 + d = 0\ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ d = 0 \\ x_{2} = 6\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ _{1P}\left( x_{2} \right) = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{6^{3}}{36} - \frac{6^{2}}{2} + c \times 6 + 0 = 0\ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ c = 2 \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\text{EI}_{1P}\left( x_{2} \right) = \frac{x_{2}^{3}}{36} - \frac{x_{2}^{2}}{2} + 2x_{2}$$

• Przedział <A – B>

$$\text{EI}\frac{d^{2}_{1P}\left( x_{i} \right)}{\text{dx}^{2}} = - M\left( x_{i} \right)$$

M = 1

$$\text{EI}\frac{d^{2}_{1P}\left( x_{1} \right)}{\text{dx}^{2}} = - 1$$

$$\text{EI}\frac{d_{1P}\left( x_{1} \right)}{\text{dx}} = - x_{1} + c$$

$$\text{EI}_{1P}\left( x_{1} \right) = - \frac{x_{1}^{2}}{2} + c \times x_{1} + d$$

Warunki brzegowe:

$$\left\{ \begin{matrix} x_{2} = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{d_{1P}\left( x_{1} \right)}{\text{dx}} = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ - x_{1} + c = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ \ \ c = 0\ \\ x_{2} = 6\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ _{1P}\left( x_{2} \right) = 0\ \ \ \ \ \ \ \ - \frac{6^{2}}{2} + 0 \times 6 + d = 0\ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ d = 18 \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\text{EI}_{1P}\left( x_{1} \right) = - \frac{x_{1}^{2}}{2} + 18$$

Układ równań kanonicznych ma postać:

{δ₁₁X₁(x_i)+δ_1P(x_i)=0 

• Przedział <A – B>

$$48X_{1} = - 6EI \times \frac{108}{6EI}\left\lbrack 1 - \xi^{2} \right\rbrack$$

X₁ = −2, 25[1−ξ²]

$$X_{1} = - 2,25\left\lbrack 1 - \frac{x_{1}^{2}}{36} \right\rbrack$$

• Przedział <B – C>

$$48X_{1} = - 6EI \times \frac{36}{6EI}\left\lbrack 2\xi - 3\xi^{2} + \xi^{3} \right\rbrack$$

$$X_{1} = - \frac{3}{4}\left\lbrack 2\xi - 3\xi^{2} + \xi^{3} \right\rbrack$$

$$X_{1} = - \frac{3}{4}\left\lbrack \frac{x_{2}}{3} - \frac{x_{2}^{2}}{12} + \frac{x_{2}^{3}}{216} \right\rbrack$$

	l.w.X1 [m]
x1	0 1 2 3 4 5 6
x2	0 1 2 3 4 5 6

Określenie funkcji linii wpływu reakcji R_B⁽ⁿ⁾oraz momentu M_A⁽ⁿ⁾:

l.w.R_B⁽ⁿ⁾ = l.w.R_B⁽⁰⁾ + R_B⁽¹⁾ × l.w.X₁

l.w.M_A⁽ⁿ⁾ = l.w.M_A⁽⁰⁾ + M_A⁽¹⁾ × l.w.X₁

• Siła w przedziale <A – B>

ΣM_B^(AB) = 0 −M_A + P(6−x₁) = 0

M_A = 6 − x₁

ΣM_C^(AC) = 0 −6R_B − M_A + P(12−x₁) = 0

R_B = 1

gdy:

$$\left\{ \begin{matrix} x_{1} = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ M_{A} = 6\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R_{B} = 1 \\ x_{1} = 3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ M_{A} = 3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R_{B} = 1 \\ x_{1} = 6\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ M_{A} = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R_{B} = 1 \\ \end{matrix} \right.\ $$

• Siła w przedziale <B – C>

ΣM_B^(AB) = 0 M_A = 0

ΣM_C^(BC) = 0 −6R_B + P(6−x₂) = 0

$R_{B} = 1 - \frac{x_{2}}{6}$

gdy:

$$\left\{ \begin{matrix} x_{2} = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ M_{A} = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R_{B} = 1 \\ x_{2} = 3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ M_{A} = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R_{B} = \frac{1}{2} \\ x_{2} = 6\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ M_{A} = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R_{B} = 0 \\ \end{matrix} \right.\ $$

Położenie siły	l.w.
	RB^(0)
A - B	1
B - C	$$1 - \frac{x_{2}}{6}$$

Wartości reakcji oraz momentu od X₁ = 1:

$$R_{B}^{(1)} = - \frac{1}{6}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }M_{A}^{(1)} = 1$$

Obliczenia pomocnicze :

$$R_{B}^{(1)} \times l.w.X_{1} = - \frac{1}{6}\left\lbrack - 2,25\left( 1 - \frac{x_{1}^{2}}{36} \right) \right\rbrack = 0,375\left\lbrack 1 - \frac{x_{1}^{2}}{36} \right\rbrack\ \ \ \ \ \ \ \ \ < A - B >$$

$$R_{B}^{(1)} \times l.w.X_{1} = - \frac{1}{6}\left\lbrack - \frac{3}{4}\left( \frac{x_{2}}{3} - \frac{x_{2}^{2}}{12} + \frac{x_{2}^{3}}{216} \right) \right\rbrack = \frac{1}{8}\left\lbrack \frac{x_{2}}{3} - \frac{x_{2}^{2}}{12} + \frac{x_{2}^{3}}{216} \right\rbrack\ \ \ \ \ \ \ \ \ < B - C >$$

$$M_{A}^{(1)} \times l.w.X_{1} = - 2,25\left\lbrack 1 - \frac{x_{1}^{2}}{36} \right\rbrack\ \ \ \ \ \ \ \ \ < A - B >$$

$$M_{A}^{(1)} \times l.w.X_{1} = - \frac{3}{4}\left\lbrack \frac{x_{2}}{3} - \frac{x_{2}^{2}}{12} + \frac{x_{2}^{3}}{216} \right\rbrack\ \ \ \ \ \ \ \ \ < B - C >$$

$$\text{l.w.}R_{B}^{(n)} = 1 + 0,375\left\lbrack 1 - \frac{x_{1}^{2}}{36} \right\rbrack\ \ \ \ \ \ \ \ \ < A - B >$$

$$\text{l.w.}R_{B}^{(n)} = \left( 1 - \frac{x_{2}}{6} \right) + \frac{1}{8}\left\lbrack \frac{x_{2}}{3} - \frac{x_{2}^{2}}{12} + \frac{x_{2}^{3}}{216} \right\rbrack\ \ \ \ \ \ \ \ \ < B - C >$$

$$\text{l.w.}M_{A}^{(n)} = \left( 6 - x_{1} \right) - 2,25\left\lbrack 1 - \frac{x_{1}^{2}}{36} \right\rbrack\ \ \ \ \ \ \ \ \ < A - B >$$

$$\text{l.w.}M_{A}^{(n)} = - \frac{3}{4}\left\lbrack \frac{x_{2}}{3} - \frac{x_{2}^{2}}{12} + \frac{x_{2}^{3}}{216} \right\rbrack\ \ \ \ \ \ \ \ \ < B - C >$$

	l.w.RB^(n) [m]	l.w.MA^(n) [m]
x1	0 1 2 3 4 5 6	1,37500 1,36458 1,33333 1,28125 1,20833 1,11458 1,00000
x2	0 1 2 3 4 5 6	1,00000 0,86516 0,71296 0,54688 0,37037 0,18692 0,00000