1. Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest zapoznanie się ze zjawiskiem drgań mechanicznych układu o jednym stopniu swobody przy pomijalnie małym tłumieniu oraz zbadanie wpływu kierunku siły ciężkości na częstość drgań własnych układu

1. Przebieg ćwiczenia

1. Zanotowanie masy m obciążnika

2. Trzykrotnie zmierzyć i zanotować wymiar długości sprężyny l

3. W trzech równomiernie od siebie oddalonych miejscach trzykrotnie zmierzyć i zanotować wymiary b oraz h sprężyny.

4. Obliczyć współczynnik k sztywności sprężyny

5. Na podstawie zależności obliczyć teoretyczne wartości częstości drgań własnych badanego układu odpowiadające konfiguracjom przedstawionym na rysunkach

6. Przeprowadzić trzykrotny pomiar czasu trwania 10ciu wahnięć masy m w każdym z rozpatrywanych położeń. Maksymalne wychylenie od położenia równowagi nie powinno przekroczyć 30 stopni

7. Obliczyć okresy drgań układu występujące w każdym z rozpatrywanych położeń

8. Na podstawie średnich wartośći okresu drgań wyznaczyć doświadczalne wartości częstości drgań własnych badanego układu odpowiadające konfiguracjom przedstawionym na rysunku

9. Porównać otrzymane wyniki doświadczalne z wynikami teoretycznymi

1. Schemat stanowiska laboratoryjnego

Badany układ drgający o jednym stopniu swobody składa się z:

• Podstawy ( masywny metalowy bloczek )

• Płaska sprężyna o wymiarach b x h i wysokości l

• Obciążnik o masie m ( metalowy walec )

Rysunki przedstawiają trzy różne położenia układu drgającego:

1. Dane wejściowe

Masa obciążnika

m = 203g = 0,203kg

wymiar l:

1. l₁ = 213, 5mm = 0, 2135m

2. l₂ = 211, 6mm = 0, 2116m

3. l₃ = 214, 4mm = 0, 2144m

Średnia arytmetyczna l = 213, 16mm = 0, 21316m

wymiar h:

1. h₁ = 18, 0mm = 0, 018m

2. h₂ = 17, 9mm = 0, 0179m

3. h₃ = 18, 1mm = 0, 0181m

Średnia arytmetyczna h = 18mm = 0, 018m

wymiar b:

1. b₁ = 0, 75mm = 0, 00075m

2. b₂ = 0, 50mm = 0, 0005m

3. b₃ = 0, 76mm = 0, 00076m

Średnia arytmetyczna b = 0, 00067m

1. Zestawienie wyników pomiarów

1. Czas trwania 10ciu wahnięć ( pozycja pionowa )

   • t₁ = 9, 01 [s]

   • t₂ = 8, 00 [s]

   • t₃ = 9, 20 [s]

2. Czas trwania 10ciu wahnięć ( pozycja leżąca )

   • t₁ = 5, 8 [s]

   • t₂ = 6, 00 [s]

   • t₃ = 5, 80 [s]

3. Czas trwania 10ciu wahnięć ( pozycja wisząca )

   • t₁ = 4, 60 [s]

   • t₂ = 5, 80 [s]

   • t₃ = 5, 60 [s]

1. Wyprowadzenie zależności obliczeniowych odpowiadających konfiguracjom układu

Obliczenie częstotliwości oraz okresu drgań

$$f = \frac{n}{t}$$

$$T = \frac{1}{f}$$

f – częstotliwość,

n – liczba drgań,

t – czas, w którym te drgania zostały wykonane.

Sztywność sprężyny

$$k = \frac{3EI}{l^{3}}$$

Gdzie:

E = 2, 1 × 10¹¹[Pa]

$$I = \frac{bh^{3}}{12}\ \lbrack m^{4}\rbrack$$

b –szerokość sprężyny

h - wysokość sprężyny

Korzystając z II prawa Newtona można napisać:

$$J\ddot{\bullet \varphi} = - k \bullet \varphi \bullet l^{2} + mglsin\varphi \approx = - k \bullet \varphi \bullet l^{2} + mgl\varphi$$

Gdzie:

J = m • l²- masowy moment bezwładności

m – masa obciążnika

l- długość sprężyny

po przekształceniu:

$$J\ddot{\bullet \varphi} + k \bullet \varphi \bullet l^{2} - mgl\varphi = 0$$

Po podzieleniu przez masowy moment bezwładności:

$$\ddot{\varphi} + \varphi\frac{k \bullet l^{2} - mgl}{J} = 0$$

Częstość drgań własnych układu w pozycji jak na rys a jest określona poprzez współczynnik zgodnie z zależnością

$$\alpha_{\text{It}} = \sqrt{\frac{k \bullet l^{2} - mgl}{J}}$$

Dla przypadku b:

$$\alpha_{\text{IIt}} = \sqrt{\frac{k \bullet l^{2}}{J}}$$

Dla przypadku c:

$$\alpha_{\text{IIIt}} = \sqrt{\frac{k \bullet l^{2} + mgl}{J}}$$

1. Przykładowe obliczenia z podaniem wzorów oraz podstawień do wzorów,

Obliczenie częstotliwości oraz okresu drgań

1. Pozycja pionowa

Częstotliwość:

$$f_{1} = \frac{n}{t_{1}} = \frac{10}{9,01} = 1,11$$

f₂ = 1, 25

f₃ = 1, 09

Okres:

$${T_{1} = \frac{1}{f}}_{1} = \frac{1}{1,11} = 0,901\left\lbrack s \right\rbrack$$

T₂ = 0, 800[s]

T₃ = 0, 917[s]

$$T_{sr} = \frac{T_{1} + T_{2} + T_{3}}{3} = \frac{0,901 + 0,800 + 0,917}{3} = 0,873\left\lbrack s \right\rbrack$$

Częstość drgań własnych układu:

$$\alpha_{1} = \frac{2\pi}{T_{1}} = \frac{2\pi}{0,873} = 7,2\ \left\lbrack \frac{1}{s} \right\rbrack$$

1. Pozycja leżąca

Częstotliwość:

$$f_{1} = \frac{n}{t_{1}} = \frac{10}{5,8} = 1,72$$

f₂ = 1, 67

f₃ = 1, 72

Okres:

$${T_{1} = \frac{1}{f}}_{1} = \frac{1}{1,72} = 0,581\left\lbrack s \right\rbrack$$

T₂ = 0, 599[s]

T₃ = 0, 581[s]

$$T_{sr} = \frac{T_{1} + T_{2} + T_{3}}{3} = \frac{0,581 + 0,599 + 0,581}{3} = 0,587\left\lbrack s \right\rbrack$$

Częstość drgań własnych układu:

$$\alpha_{2} = \frac{2\pi}{T_{2}} = \frac{2\pi}{0,587} = 10,7\left\lbrack \frac{1}{s} \right\rbrack$$

1. Pozycja wisząca

Częstotliwość:

$$f_{1} = \frac{n}{t_{1}} = \frac{10}{4,60} = 2,17$$

f₂ = 1, 72

f₃ = 1, 79

Okres:

$${T_{1} = \frac{1}{f}}_{1} = \frac{1}{2,17} = 0,461\left\lbrack s \right\rbrack$$

T₂ = 0, 581[s]

T₃ = 0, 559[s]

T_sr = 0, 534[s]

Częstość drgań własnych układu:

$$\alpha_{3} = \frac{2\pi}{T_{3}} = \frac{2\pi}{0,534} = 11,76\ \left\lbrack \frac{1}{s} \right\rbrack$$

Sztywność sprężyny k:

$$k = \frac{3EI}{l^{3}}$$

E = 2, 1 × 10¹¹[Pa]

$$I = \frac{bh^{3}}{12} = \frac{0,018{*\ 0,00067}^{3}}{12} = 4,511*10^{- 13}\ \lbrack m^{4}\rbrack$$

$$k = \frac{3*2,1 \times 10^{11}*4,511*10^{- 10}}{{0,21316}^{3}} = 29,32$$

Masowy moment bezwładnośći:

J = m • l² = 0, 203 • 0, 21316² = 0, 0092

Częstość drgań własnych

Przypadek a)

$$\alpha_{\text{It}} = \sqrt{\frac{k \bullet l^{2} - mgl}{J}} = \sqrt{\frac{29,32 \bullet {0,21316}^{2} - 0,203*9,81*0,20316}{0,0092}} = 9,922\left\lbrack \frac{1}{s} \right\rbrack$$

Przypadek b)

$$\alpha_{\text{IIt}} = \sqrt{\frac{k \bullet l^{2}}{J}} = \sqrt{\frac{29,32 \bullet {0,21316}^{2}}{0,0092}} = 12,03\left\lbrack \frac{1}{s} \right\rbrack$$

Przypadek c)

$$\alpha_{\text{IIIt}} = \sqrt{\frac{k \bullet l^{2} + mgl}{J}} = \sqrt{\frac{29,32 \bullet {0,21316}^{2} + 0,203*9,81*0,203}{0,0092}} = 13,81\left\lbrack \frac{1}{s} \right\rbrack$$

1. Zestawienie wyników obliczeń

Pozycja układu	Średnia okresu T	Częstość drgań własnych – zbadana $$\left\lbrack \frac{1}{s} \right\rbrack$$	Częstość drgań własnych – teoretyczna $$\left\lbrack \frac{1}{s} \right\rbrack$$	$$\frac{Doswiadczalne}{\text{Teoretyczne}} \bullet 100\%$$
a- pionowa w górę	0,873	7,2	9,92	72,58%
b- leżąca	0,581	10,7	12,03	88,94%
c- pionowa w dół	0,534	11,76	13,81	85,15%

1. Wnioski

Przeprowadzone ćwiczenie pozwoliło nam zapoznać się ze zjawiskiem drgań mechanicznych układu o jednym stopniu swobody przy pomijalnie małym tłumieniu oraz zbadanie wpływu kierunku siły ciężkości na częstość drgań własnych układu.

Zauważyliśmy że kierunek działania siły ciężkości na układ wpływa dosyć znacząco na okres drgań, największą wartość okresu ma na układ a gdzie ciężarek jest w górze i siła ciężkości obciąża sprężynę a dla układu c gdzie ciężarek jest w dole siła ciężkości działa odciążając sprężynę co skraca okres T.

Wyznaczone przez nas doświadczalnie częstości drgań własnych różnią się nie co od wartości wyliczonych teoretycznie. Różnica prawdopodobnie wynikać będzie z ustawienia początkowego naprężenia sprężyny. Jej odchylenie od pionu powinno wynosić około 30stopni, podczas ćwiczenia staraliśmy się dostosować lecz na pewno nie udało się nam zrobić tego idealnie, drugim czynnikiem wpływającym na niezgodność wyników mogło być zmierzenie dokładne czasu 10ciu wahnięć. Pomiar zależał w dużym stopniu od refleksu osoby dokonującej pomiaru i odczytującej wartość.

Mimo to uważam iż metoda doświadczalna przy zachowaniu odpowiedniej dokładności jest miarodajna lecz ( w naszym zbadanym przypadku) przy projektowaniu konstrukcji lub maszyn powinno się uwzględniać wartości teoretyczne ponieważ przewidują większe wartości