Wojciech Pawlak 194773 03.03.12

Ćwiczenie 100A

Temat: Wyznaczanie gęstości ciał stałych

1. Wstęp.

Wyznaczenie gęstości ciała wymaga uzyskania wartości masy oraz objętości obiektu, którego wartość gęstości chcemy uzyskać. Obiektami mierzonymi były dwie monety o nominałach 1 zł. i 5 zł. Pomiarów średnic i szerokości monet dokonaliśmy przy pomocy suwmiarki VIS INOX o dokładności 0,05 cm. Drugim sposobem pomiaru było wrzucanie kolejno monet do menzurki z wodą. Pomiar ten okazał się mniej dokładny. Masę wyznaczyliśmy przy pomocy wagi WTE 2000 o dokładności 0,1 g.

2. Wyniki pomiarów.

Masa złotówki: m=5,00g

Masa pięciozłotówki: m=6,6g

Niepewność pomiarowa: m = ±0, 01 g 

   d = ±0, 05 mm

      h = ±0, 01 mm

Tabela 1

Numer pomiaru	Średnica d [mm] złotówki	Szerokość h [mm] złotówki	Średnica d [mm] pięciozłotówki	Szerokość h [mm] pięciozłotówki	Objętość V złotówki	Objętość V pięciozłotówki
1	22,90	1,65	24,00	2,00	679,242	904,320
2	22,85	1,70	23,95	1,95	696,772	878,042
3	22,95	1,65	23,95	1,95	682,211	878,042
4	22,70	1,70	24,00	1,95	687,655	881,712
5	22,80	1,70	23,95	2,00	693,726	900,556
6	22,85	1,65	24,00	1,95	676,279	881,712
7	22,90	1,75	24,00	1,95	720,408	881,712
8	22,85	1,70	24,00	2,00	696,772	904,320
9	22,80	1,70	24,00	2,00	693,726	904,320
10	22,90	1,70	24,05	1,95	699,825	885,390

2. Obliczenia.

Wzór na objętość walca: V = πr²h

Wzór na gęstość: $\rho = \frac{m}{V}$

Dla złotówki:

Średnia średnic: $\overset{\overline{}}{d} = 22,85\ \text{mm} = 2,285\ \text{cm}$

Średnia promieni: $\overset{\overline{}}{r} = \frac{1}{2}\ \overset{\overline{}}{d} = 11,425\ \text{mm} = 1,142\ \text{cm}$

Średnia szerokości: $\overset{\overline{}}{h} = 1,69\ \text{mm} = 0,169\ \text{cm}$

Średnia objętość złotówki: $\overset{\overline{}}{V} = 0,692\ cm^{3}$

Dla pięciozłotówki:

Średnia średnic: $\overset{\overline{}}{d} = 23,99\ \text{mm} = 2,399\ \text{cm}$

Średnia promieni: $\overset{\overline{}}{r} = \frac{1}{2}\ \overset{\overline{}}{d} = 11,995\ \text{mm} = 1,199\ \text{cm}$

Średnia szerokości: $\overset{\overline{}}{h} = 1,97\ \text{mm} = 0,197\ \text{cm}$

Średnia objętość: $\overset{\overline{}}{V} = 0,89\ cm^{3}$

Wyznaczanie niepewności pomiarowej:

• Obliczanie odchylenia standardowego dla złotówki.

$$S_{d} = \sqrt{\frac{\sum_{i}^{10}\left( d_{i} - \overset{\overline{}}{d} \right)^{2}}{n\left( n - 1 \right)}} = \sqrt{\frac{0,0025 + 0 + 0,01 + 0,0225 + 0,0025 + 0 + 0,0025 + 0 + 0,0025 + 0,0025}{10\left( 10 - 1 \right)}} \approx 0,022mm\ \ $$

$$S_{r} = \frac{1}{2}S_{d} = 0,011\ mm$$

$$S_{h} = \sqrt{\frac{\sum_{i}^{10}\left( h_{i} - h \right)^{2}}{n\left( n - 1 \right)}} = \sqrt{\frac{0,0016 + 0,0001 + 0,0016 + 0,0001 + 0,0001 + 0,0016 + 0,0036 + 0,0001 + 0,0001 + 0,0001}{10\left( 10 - 1 \right)}} = 0,01mm$$

• Obliczanie odchylenia standardowego dla pięciozłotówki.

$$S_{d} = \sqrt{\frac{\sum_{i}^{10}\left( d_{i} - \overset{\overline{}}{d} \right)^{2}}{n\left( n - 1 \right)}} = \sqrt{\frac{0,0001 + 0,0016 + 0,0016 + 0,0001 + 0,0016 + 0,0001 + 0,0001 + 0,0001 + 0,0001 + 0,0001}{10\left( 10 - 1 \right)}} = 0,01\text{mm}\ $$

$$S_{r} = \frac{1}{2}S_{d} = 0,005\ \text{mm}$$

$$S_{h} = \sqrt{\frac{\sum_{i}^{10}\left( h_{i} - h \right)^{2}}{n\left( n - 1 \right)}} = \sqrt{\frac{0,009 + 0,004 + 0,004 + 0,004 + 0,009 + 0,004 + 0,004 + 0,009 + 0,009 + 0,004}{10\left( 10 - 1 \right)}} = 0,01\text{mm}$$

• Obliczanie niepewności pomiarowej dla złotówki.

$$\delta_{d} = \sqrt{{S_{d}}^{2} + \frac{1}{3}\left( d \right)^{2}} = \sqrt{{0,022}^{2} + \frac{1}{3}\left( 0,05 \right)^{2}} \approx 0,036\text{mm}$$

$\delta_{r} = \frac{1}{2}\delta_{d} = 0,018\ \text{mm}$

$\delta_{h} = \sqrt{{S_{h}}^{2} + \frac{1}{3}\left( h \right)^{2}} = \sqrt{{0,01}^{2} + \frac{1}{3}\left( 0,05 \right)^{2}} \approx 0,03\ \text{mm}$

$$\delta_{V} = \frac{\partial V}{\partial r} \times \delta_{r} + \frac{\partial V}{\partial h} \times \delta_{h} = 2\pi rh \times \delta_{r} + \pi r^{2} \times \delta_{h} = 2 \times 3,14 \times 11,425 \times 1,69 \times 0,018 + 3,14 \times {11,425}^{2} \times 0,03 \approx 14,479\text{\ m}m^{3} \approx 0,014cm^{3}$$

V = (0, 692  ± 0, 014) cm³

• Obliczanie niepewności pomiarowej dla pięciozłotówki.

$$\delta_{d} = \sqrt{{S_{d}}^{2} + \frac{1}{3}\left( d \right)^{2}} = \sqrt{{0,01}^{2} + \frac{1}{3}\left( 0,036 \right)^{2}} \approx 0,023\text{mm}$$

$\delta_{r} = \frac{1}{2}\delta_{d} = 0,012\ \text{mm}$

$$\delta_{h} = \sqrt{{S_{h}}^{2} + \frac{1}{3}\left( h \right)^{2}} = \sqrt{{0,01}^{2} + \frac{1}{3}\left( 0,03 \right)^{2}} = 0,02\text{mm}$$

$$\delta_{V} = \frac{\partial V}{\partial r} \times \delta_{r} + \frac{\partial V}{\partial h} \times \delta_{h} = 2\pi rh \times \delta_{r} + \pi r^{2} \times \delta_{h} = 2 \times 3,14 \times 11,995 \times 1,97 \times 0,011 + 3,14 \times {11,995}^{2} \times 0,02 \approx 10,668\text{\ m}m^{3} \approx 0,011cm^{3}$$

V = (0,89 ±0,011)cm³

• Wyznaczanie gęstości złotówki.

$$\rho = \frac{m}{V} = \frac{5}{0,692\ } = 7,225g/(cm^{3}\ ) = 7225kg/m^{3}$$

$$\delta_{\rho} = \frac{\partial\rho}{\partial m} \times \delta_{m} + \frac{\partial\rho}{\partial V} \times \delta_{V} = \left| \frac{1}{V} \right|\delta_{m} + \left| \frac{- 1m}{V^{2}} \right| \times \delta_{V} = \left| \frac{1}{0,692} \right| \times 0,01 + \left| \frac{- 1 \times 5}{{0,692}^{2}} \right| \times 0,014 = 0,1606\ \approx 0,161g/(cm^{3}\ ) = 161\ kg/m^{3}\ $$

• Wynik.

ρ = (7225±161)kg/m³

• Wyznaczanie gęstości pięciozłotówki.

$$\rho = \frac{m}{V} = \frac{6,6}{0,89\ } = 7,416g/(cm^{3}\ ) = 7416kg/m^{3}$$

$$\delta_{\rho} = \frac{\partial\rho}{\partial m} \times \delta_{m} + \frac{\partial\rho}{\partial V} \times \delta_{V} = \left| \frac{1}{V} \right|\delta_{m} + \left| \frac{- 1m}{V^{2}} \right| \times \delta_{V} = \left| \frac{1}{0,89} \right| \times 0,01 + \left| \frac{- 1 \times 6,6}{{0,89}^{2}} \right| \times 0,011 = 0,1029\ \approx 0,103g/(cm^{3}\ ) = 103\ kg/m^{3}\ $$

• Wynik.

ρ = (7416±103)kg/m³

2. Wnioski.

Pomiary okazały się być niewystarczająco dokładne, gdyż miedzionikiel, czyli materiał z jakiego wykonana jest złotówka posiada gęstość określaną w przedziale: 7500–9300 kg/m³. W pomiarach nie udało się uzyskać takiej wartości.