2. błędy losowe

- wzory na wyznaczanie wartości średniej, wariancji i odchylenia standardowego.

Wart. Średnia

$\mu = \sum_{i = 1}^{n}{P_{i}x_{i}}$

Wariancja

$$\sigma^{2} = \sum_{i = 1}^{n}P_{i}\left( x_{i} - \ \mu \right)^{2}$$

Odchylenie standardowe – pierwiastek z wariancji

-Wartość średnia i odchylenie standardowe dla rozkładu jednostajnego w zadanym przedziale (a;b).

$$\mu = \frac{1}{b - a}\frac{b^{2} - a^{2}}{2} = \frac{b + a}{2}\ $$

$$\sigma = \frac{b - a}{\sqrt{12}}$$

- rozkład normalny i jego postać standardowa.

Inaczej rozkład Gaussa

-poziom ufności, poziom istotności, przedział ufności. Poziomy ufności dla rozkładu normalnego

Poziom ufności (C )– dla przedziału (-z;z) jest to prawdopodobieństwo, że zmienna losowa o rozkładzie normalnym, standardowym przyjmie wartość z tego przedziału.

Poziom istotności – α = 1 − C maksymalne dopuszczalne prawdopodobieństwo popełnienia błędu I rodzaju)

Przedział ufności - to przedział, który z zadanym z góry prawdopodobieństwem , zwanym współczynnikiem ufności, pokrywa nieznaną wartość szacowanego parametru. (Wiki)

+/- σ – 68,3%

+/- 2σ – 95%

+/- 3σ – 99,7%

-rozkład Gaussa i t-Stuednta

Gauss- dla liczby pomiarów ≥30

$$\overline{x} - \ Z_{c}\frac{S}{\sqrt{N}} \leq \mu \leq \overline{x} + \ Z_{c}\frac{S}{\sqrt{N}}$$

T-Studenta – dla liczby pomiarów ≤30

$$\overline{x} - \ t_{\text{αν}}\frac{S}{\sqrt{N}} \leq \mu \leq \overline{x} + t_{\text{αν}}\ \frac{S}{\sqrt{N}}$$

t_αν −  odczytywane z tabel

Przykład 1. Określić przedział ufności dla 100 pomiarów. Przyjąć C=99%

Ciśnienie [MPa]	Ilość wyników
3,970	1
3,980	3
3,990	12
4,000	25
4,010	33
4,020	17
4,030	6
4,040	2
4,050	1

$$\overline{P} = \frac{1}{100}\sum_{i = 1}^{100}{p_{i} = 4,008MPa}$$

$$S = \frac{1}{N - 1}\sum_{i = 1}^{100}(p_{i} - \ \overline{p})\hat{}2 = 0,014\ MPa$$

Z_0, 99 = 2, 575

$$\overline{P} - Z_{0,99}\frac{S}{\sqrt{100}} \leq \mu \leq \overline{P} + Z_{0,99}\frac{S}{\sqrt{100}}\ $$

μ = 4, 008 ± 0, 0036

Przykład 2. Wyznaczono następujące napięcia: (C=98%)

7.5, 8.2, 7.5, 8.6, 8.6, 8.7, 7.4, 8.2, 7.3, 7.8

$$\overline{u} = 7,98 - wartosc\ srednia$$

S_u = 0, 545

C = 0, 98

α = 1 − C = 0, 02

ν = N − 1 = 9

Z tablic t_9; 0, 02 = 2, 821

$$\overline{u} - \ t_{9;0,02}\frac{S_{u}}{\sqrt{10}} \leq \mu \leq \overline{u} + t_{9;0,02}\ \frac{S_{u}}{\sqrt{10}}$$