Tabela 1

Wariant (k)	Wartość stopy zwrotu (rk) (w%)	Liczba ekspertów
1	6	1
2	7	2
3	8	4
4	9	5
5	10	3
6	11	2
7	12	1
8	13	1
9	14	1

Zadanie:

Na podstawie danych zawartych w tabeli 1 wyznacz średnią roczną stopę zwrotu z lokaty środków w akcje spółki X

$$\mathbf{E}\left( \mathbf{R} \right)\mathbf{=}\sum_{\mathbf{k = 1}}^{\mathbf{n}}{\mathbf{r}_{\mathbf{k}}\mathbf{P(R =}\mathbf{r}_{\mathbf{k}}\mathbf{)}}$$

E(R) – średnia oczekiwana stopa zwrotu

r_k- oznacza k-tą wartość (k-ty wariant) stopy zwrotu, k =1,2,….,n.

P(R = r_k)- prawdopodobieństwo tego, że zmienna losowa R przyjmie wartość r_k

E(R)= 6 x 1/20+7 x 2/20+ 8 x 4/20+9 x 5/20 +….= 9,4

średnia arytmetyczna $\overset{\overline{}}{r_{A}} = \frac{r_{1} + r_{2} + \ldots + r_{n}}{n}$

średnia geometryczna $\overset{\overline{}}{\mathbf{r}_{\mathbf{G}}} = \sqrt[n]{\left( 1 + r_{1} \right)\left( 1 + r_{3} \right)\ldots(1 + r_{n})} - 1$

Oblicz średnią arytmetyczną i geometryczną na podstawie danych. Okres r1= -10%, r2 = 20%, r3=5%

$\overset{\overline{}}{r_{A}} = 15\%\frac{}{3} = 5\%$

$\overset{\overline{}}{\mathbf{r}_{\mathbf{G}}} = \sqrt[3]{\left( 1 - 0,1 \right)\left( 1 + 0,2 \right)(1 + 0,05)} - 1 = 4,28\ $ najniższy odsetek

1000zł

-10%

1 okres) 900 zł +20%

2 okres) 1080 zł +5%

3 okres) 1134 zł – 1000 zł = 134 13,4%:3 = 4,47%

W oparciu o tabele 1 wyznacz wariancje i odchylenie standardowe stopy zwrotu

Wariancja$\ D^{2}\left( R \right) = \ \sum_{k = 1}^{n}{\left( r_{i} - e\left( R \right) \right)^{2}P(R = r_{i})}$ 

Odchylenie standardowe $D(R) = \sqrt{D^{2}\left( R \right)\ }$

$D^{2}\left( R \right) = {(6 - 9,4)}^{2}x\frac{1}{20} + \ {(7 - 9,4)}^{2\ }x\frac{2}{20} + \ {(8 - 9,4)}^{2}x\frac{4}{20} + {(9 - 9,4)}^{2}{x\frac{5}{20} + \ (10 - 9,4)}^{2\ }x\frac{3}{20} + \ {(11 - 9,4)}^{2}{\text{\ x}\frac{2}{20} + (12 - 9,4)}^{2}\text{\ x}\frac{1}{20}{+ (13 - 9,4)}^{2}\text{\ x}\frac{1}{20}{\ + (14 - 9,4)}^{2}\text{\ x}\frac{2}{20} = 3,94\ $ 

D(R) = 1, 985

Tabela 2 Stopa zwrotu z akcji spółki X

Tydzień	stopa zwrotu (rk) (w%)	$$r_{K} - {\overset{\overline{}}{r}}_{A}$$	$${(r_{K} - {\overset{\overline{}}{r}}_{A})}^{2}$$
1	-1,5	-2,0	4,0
2	1,0	0,5	0,25
3	0,5	0	0
4	3,5	3,0	9,0
5	-1,0	-1,5	2,25
6	0,0	-0,5	0,25
7	4,5	4,0	16,00
8	-3,0	-3,5	12,25
Suma	$${\overset{\overline{}}{r}}_{A} = 0,5$$		44,00

Dane historyczne:

Estymacja wariancji i odchylenia standardowego stopy zwrotu

Wariancja$\ S^{2}\left( R \right) = \ \frac{1}{n}{\sum_{k = 1}^{n}{(r_{k} - \overset{\overline{}}{r_{A})}}}^{2}$ 

Odchylenie standardowe $D(R) = \sqrt{S^{2}\left( R \right)\ }$

Wariancja$\ S^{2}\left( R \right) = \frac{1}{8}x\ 44 = 5,5$

Odchylenie standardowe $D\left( R \right) = \sqrt{5,5} = 2,35$

zakres <1,85;0,5;2,85>

Współzmienność stopy zwrotu z dwóch papierów wartościowych

Kowariancja cov(R₁R₂)=E[(R₁ − E(R₁))(R₂ − E(R₂))

Korelacja ₁₂ = $\frac{cov(R_{1}R_{2})}{\mathbf{D}\left( \mathbf{R}_{\mathbf{1}} \right)\mathbf{D(}\mathbf{R}_{\mathbf{2}}}$

Skośność

Na podstawie danych zawartych w tabeli 1 wyznaczyć skośność stopy zwrotu

Skośność $M_{3} = \frac{E{\lbrack R - (E\left( R \right)\rbrack}^{3}}{D^{3}(R)}$

Na podstawie danych zawartych w tabeli 1 wyznaczyć spłaszczenie stopy zwrotu

Spłaszczenie $M_{4} = \frac{E{\lbrack R - (E\left( R \right)\rbrack}^{4}}{D^{4}(R)} - 3$

 

Stopa zwrotu z akcji spółek U oraz W

Ru Rw	6%	7%	8%	9%
8%	4
9%		6	4
10%			4	2
Suma	4	6	8	2

E(Ru) = 6 x 4/20 + 7 x 6/20 + 8 x 8/20 + 9 x 2/20 = 7,4

E(Rw) = 8 x 4/20 + 9 x 10/20 + 10 x 6/20 =9,1

D²(Ru)= (6-7,4)²*0,2+(7-7,4)² x 0,3 +(8-7,4)² x 0,4 + (9-7,4)² x 0,01 = 0,84

D(Ru)=0,92

D²(Rw)= (-1,1)²*0,2+(-0,1)² x 0,5 +(0,9)² x 0,3=0,49

D(Rw)=0,7

	odchylenie od średniej 6-7,4=-1,4	-0,4	0,6	1,6
8-9,1 = -1,1	1,54 0,24/20
-0,1		0,04 0,3=6/20	-0,06 0,24/20
0,9			0,54 0,24/20	1,44 0,12/20

cov_UW= 1,54*0,2+0,04x 0,3+(-0,06)x0,2+0,54x 0,2 + 1,44 x 0,1 = 0,56

korelacja _UW = 0,56/0,92 x 0,7=0,87 korelacja dodatia

zakres korelacji <-1,1>

korelacja pełna -1 lub 1 wraz ze wzrostem wart. spółki A wzrasta spółka B (/spada)

0 – brak korelacji

Na podstawie danych zawartych w tabeli 2 oszacuj skośność rozkładu stopy zwrotu

 $\hat{M_{4}} = \frac{\frac{1}{n}\sum_{k = 1}^{n}{(r_{k} - \overset{\overline{}}{r_{A})}}^{3}}{S^{3}(R)}$

Na podstawie danych zawartych w tabeli 2 oszacuj spłaszczenie rozkładu stopy zwrotu

$\hat{M_{4}} = \frac{\frac{1}{n}\sum_{k = 1}^{n}{(r_{k} - \overset{\overline{}}{r_{A})}}^{4}}{S^{4}(R)} - 3$ 

Na postawie tabeli 3 oblicz kowariancję i korelację

Forma historyczna

Kowariancja $cov(R_{1}R_{2}) = \frac{1}{n}\sum_{k = 1}^{n}{(r_{k1} - \overset{\overline{}}{r_{A1})}}^{}(r_{k2} - \overset{\overline{}}{r_{A2})}$

Korelacja ₁₂ = $\frac{cov(R_{1}R_{2})}{\mathbf{S}\left( \mathbf{R}_{\mathbf{1}} \right)\mathbf{S(}\mathbf{R}_{\mathbf{2}}\mathbf{)}}$

Tydzień	r1(w%)	r2(w%)	$$r_{k1} - \overset{\overline{}}{r_{A1})}$$	$$(r_{k2} - \overset{\overline{}}{r_{A2})}$$	$$(r_{k1} - \overset{\overline{}}{r_{A1})}(r_{k2} - \overset{\overline{}}{r_{A2})}$$
1	-1,5	-0,5	-2,0	-0,5	1,0
2	1,0	2,0	0,5	2,0	1,0
3	0,5	1,0	0,0	1,0	0,0
4	3,5	1,0	3,0	1,0	3,0
5	-1,0	-1,0	-1,5	-1,0	1,5
6	0,0	-1,0	-0,5	-1,0	0,5
7	4,5	0,5	4,0	0,5	2,0
8	-3,0	-2,0	-3,5	-2,0	7,0
					16

 cov1,2 = 16/8 = 2

p1,2 = 2/ pierw 5,5x1,56 = 0,68

Oczekiwana stopa zwrotu z portfela

$$\mathbf{E}\left( \mathbf{\text{Rp}} \right)\mathbf{=}\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}{\mathbf{x}_{\mathbf{i}}\mathbf{(R}_{\mathbf{i}}\mathbf{)}}$$

 

Wariancja i odchylenie standardowe

 

Od jakiej kwoty otrzymano 15 zł odsetek za okres 2 miesięcy przy stopie procentowej 18% w skali roku.

$$O = K_{o}\text{x\ r\ x\ }\frac{t}{T}$$

18:6 = 3%

100 zł 3 zł

15=Ko*,18*1/6 Ko=500 zł

Przy jakiej stopie procentowej przypada 4 zł odsetek od kwoty 200 zł za 30 dni

4=200 x r x 1/12

r = 24 %

1 okres

2%=4 zł

2 x 12 = 24 zł

Wzór na kapitał końcowy: $K_{n} = K_{o}\text{x\ r\ x\ }\frac{t}{T}$

Wzór na kapitał końcowy, gdy odnosimy się do okresów rocznych: K_n = K_ox r x n

Wpłacono do banku kwotę 850 zł wkład ten jest oprocentowany wg stopy procentowej 14% w skali roku. Jaki będzie stan konta po dwóch latach

K_n = 850 x (1 + 0, 14) x 1 = 969

Po ilu latach kapitał początkowy w wysokości 750 zł złożony na 11% podwoi się

Wzór na odsetki przy regularnych kwotach wpłat

$$\mathbf{O =}\frac{\text{K\ x\ r\ x\ n\ }}{m} + \frac{K\ x\ r\ x\ (n - 1)\ }{m} + \ldots + \frac{K\ x\ r\ x\ 1\ }{m} = \ \frac{\text{K\ x\ r\ \ }}{m}x\ \lbrack n + \left( n - 1 \right) + \ldots + 1 = \frac{\text{K\ x\ r\ \ }}{m}\text{\ x\ }\frac{n(n + 1)}{2}$$

K – kwota wpłaty

r – stopa procentowa

n – ilość wpłat

m – częstotliwość wpłat

Wzór na kapitał końcowy K_n = Ox K x n

Jaką wielkość należy wpłacać przez 3 kwartały, aby zgromadzić wraz z odsetkami kwotę 1500 zł, roczna stopa procentowa wnosi 10%

Wyznaczyć wartość lokaty 10000 zł po upływie roku, jeżeli w pierwszych 5 miesiącach stopa procentowa wynosiła 12% a w kolejnych siedmiu 10%

$$r_{S} = \frac{\sum_{}^{}{t_{i}\text{\ x\ }r_{i}}}{\sum_{}^{}t_{i}}$$

Kupujesz urządzenie za 10000 zł zapłatę odroczono o 45 dni przy stopie procentowej, 27% jaką kwotę zapłacisz regulując zobowiązanie

Ulokowałeś 100 zł na 6 lat, stopa oprocentowania zmieniała się, co 2 lata i wynosiła odpowiednio 17%, 15%, 13% jaką kwotę dysponujesz powyżej wymienionym okresie utrzymywania lokaty

Ulokowano w banku kwotę 600 zł w dniu 5 marca nominalna stopa procentowa 36%, jaką kwotę pobierze lokato dawca w dniu 9 maja tego samego maja, jeśli odsetki nie są kapitalizowane

Ile powinno się trzymać kapitał, aby wzrósł on, co najmniej 2,5 raz, ale nie więcej niż 3 razy przy rocznej stopie procentowej 14%

Pod koniec każdego z 5 kolejnych miesięcy wpłacamy na rachunek bankowy 500 zł przy oprocentowaniu, 10% jaką kwotę będziemy dysponować na koniec 5 miesiąca.

Ulokowałeś 100 zł na 6 lat, stopa oprocentowania zmniejszała się, co 2 lata i wynosiła odpowiednio 17,15,13. Jaką kwotą dysponujesz po wyżej wymienionym okresie lokaty w przypadku?

a) kapitalizacji rocznej

b) oprocentowania ciągłego

K_n = K_ox e^n * r

Chcesz ulokować 1000 zł na 2 lata, cztery banki oferują poniższe warunki dla lokat

Bank A – oprocentowanie proste, r = 20%, kapitalizacja na koniec okresu

Bank B – oprocentowanie nominalne 19%, kapitalizacja kwartalna

Bank C – oprocentowanie efektywne 20,5%

Bank D – oprocentowanie nominalne 18,5%, kapitalizacja ciągła

ref < r przy zastosowaniu rachunku odsetek prostych

ref > r przy zastosowaniu kapitalizacji m-razy (dziennej, miesięcznej lub kwartalnej)

ref > r przy zastosowaniu kapitalizacji ciągłej

Wpłacasz pewną kwotę na rachunek o stopie oprocentowania nominalnego 18% i kapitalizacji półrocznej. Po jakim czasie kwota na rachunku będzie dwukrotnie większa

Ilość pieniędzy złożonych na rachunku wzrasta po półtora roku o 50% przy kapitalizacji miesięcznej. Jaka była by stopa nominalna i efektywna

Wpłacasz 100 zł na 5 lat. Jaka stopa efektywnego oprocentowania zapewni podwojenie oszczędności przy kapitalizacji kwartalnej

Pewien kapitał złożono na procent składany, kapitalizacja odsetek następuje, co kwartał a efektywna roczna stopa procentowa jest równa 33%. Ile wynosi zgodna stopa procentowa a ile nominalna stopa

Na rachunku umieszczasz 100 zł, kapitalizacja kwartalna, stopa oprocentowania efektywnego 15%. Pieniądze wycofujesz po 8 miesiącach. Jaką kwotę otrzymasz

Po 3 latach na rachunku jest 1000 zł. Jaką kwotę wpłacono przy nominalnej stopie procentowej, 16% jeżeli kapitalizacja była?

a) roczna

b) ciągła

Wyznaczyć nominalną stopę procentową dla kapitału w wysokości 2000 zł, który po dwóch latach przyniósł 500 zł odsetek przy rocznej stopie kapitalizacji.

Wpłacasz 500 zł na 5 lat, jaka stopa oprocentowania efektywnego zapewni podwojenie Twoich oszczędności przy kapitalizacji tygodniowej.

Bank zmienił oprocentowanie z 20% na 22%. Równocześnie wydłużył kapitalizacje z kwartału na pół roku. Czy prawdziwa jest informacja banku, że zmiana ta nie pogorszy sytuacji jego klientów.

Stopa efektywna w drugim przypadku przy stopie nominalnej 22% i kapitalizacji półrocznej jest wyższa niż w przypadku pierwszym, tak więc sytuacja klienta nie została pogorszona.