Belka drewniana i słup drewniany.

• Dane wejściowe:

Przeznaczenie obiektu: Biblioteka

• L rozpiętość belki 10,5 m

• H wysokość słupa 4 m

• a rozstaw słupów 3,5m

• Rodzaj drewna użytego- drewno klejone

• Warstwy:

WARSTWY STROPU DREWNIANEGO
Wykładzina dywanowa – 10mm
Pianka – 5mm
Wylewka cementowa – 50mm
Folia paro przepuszczalna – 1mm
Styropian – 50mm
Poszycie z desek – 30mm
Folia paroszczelna – 1mm
Płyta gipsowo kartonowa x2 – 12,5mm

Wylewka cementowa, folia paro przepuszczalna, oraz styropian znajdują się między legarami z drewna sosnowego 100mm, na podkładkach z papy o grubości 5mm.

• γ_m – częściowy współczynnik bezpieczeństwa dla materiału:

γ_m = 1,25 sytuacja zwykła

γ_m = 1 sytuacja wyjątkowa

• Częściowy współczynnik modyfikacyjny:

	kmod	Kdef
Klasa użytkowania	1	1
Klasa trwania obciążenia:		0,5
Stałe	0,6
Długotrwałe	0,7

• Belka elementy zginane:

Rodzaj warstwy:	Grubość [m]	Obciążenia stałe [kN/m^3]	Obliczenia:	Wynik [kN/m^2]
Wykładzina dywanowa	0,01	0,07	0,01m*0,07 kN /m^3	0,0007
Pianka	0,005	0,45	0,005m* 0,45kN /m^3	0,00225
Wylewka cementowa	0,05	21	0,05 m*21 kN /m^3	1,05
Folia paro przepuszczalna	0,001	6,4	0,001 m*6,4 kN /m^3	0,0064
Styropian	0,05	0,7	0,05 m*0,7 kN /m^3	0,035
Poszycie z desek sosnowych	0,03	0,21	0,03 m*0,21 kN /m^3	0,0063
Folia paroszczelna	0,001	6,4	0,001 m*6,4 kN /m^3	0,0064
Płyta gipsowo-kartonowa x2	0,0125	12	0,0125 m * 2* 12 kN /m^3	0,3
Legar drewniany sosnowy	0,1	5,5	0,1 m*5,5 kN /m^3* 0,1m/1m	0,055
Warstwa papy	0,005	11	0,005 m*11 kN /m^3* 0,12m/1m	0,0066
	Gk = ∑	1,469

• Q_k – kategoria E1: 7,5 kN /m²

γ_Q =1,5 γ_G = 1,35

• Obliczenia:

G = G_k * γ_G = 1,5 kN/m² * 1,35 = 2 kN/m²

Q = Q_k * γ_Q = 7,5 kN/m² * 1,5 = 11,25 kN/m²

Q_SGN = G + Q = 2 kN/m² + 11,25 kN/m² = 13,25 kN/m²

Q_SGU = G_{k +}+Q_k = 1,5 kN/m² + 7,5 kN/m² = 9kN/m²

q_1N = Q_SGN * a = 13,25 kN/m² * 3,5m = 46,3 kN/m

q_1U = Q_SGU * a = 9 kN/m² * 3,5m = 31,4 kN/m

• Drewno klejone – klasy wytrzymałości i wartości charakterystyczne:

	Drewno klejone warstwowo-jednorodne
Klasa drewna
Zginanie [N /mm^2]	fmk
5% kwantylu modułu sprężystości wzdłuż włókien [kN /mm^2]	E0,05
Gęstość charakterystyczna [kg/m^3]	ρk

• Obliczenia:

f_md= k_h $\mathbf{\times}\frac{\mathbf{k}\mathbf{\text{mod}}\mathbf{\ }\mathbf{\times \ }\mathbf{f}\mathbf{\text{mk}}}{\mathbf{\gamma}\mathbf{m}}$ ,[$\mathbf{\ }\frac{\mathbf{N}}{\mathbf{\text{mm}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{\rbrack}$

k_h – bez uwzględniania wymiarów poprzecznych elementu = 1

f_md= 1 $\times \frac{0,7\ \times \ 24\ \frac{N}{\text{mm}^{2}}}{1,25} = \mathbf{13,44}\frac{\mathbf{N}}{\mathbf{\text{mm}}^{\mathbf{2}}}$

α = 0,5

M_gw = $\frac{\mathbf{q}_{\mathbf{1N}}\mathbf{\ }\mathbf{\times \ }\mathbf{L}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{8}}\mathbf{=}$ $\frac{46,3\ kN/m\mathbf{\ }\mathbf{\times \ }{\mathbf{10}\mathbf{,5}\mathbf{m}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{8}}\mathbf{=}\mathbf{638,3}\mathbf{\text{\ kNm}}$

$\mathbf{h = \ }\sqrt[\mathbf{3}]{\frac{\mathbf{6\ \times \ M}\mathbf{\text{gw}}\mathbf{\ }}{\mathbf{f}\mathbf{md\ \times \ }\mathbf{\text{α\ }}}}$ = $\sqrt[\mathbf{3}]{\frac{\mathbf{6\ \times}\mathbf{638,3}\mathbf{\text{\ kNm\ \ }}}{\mathbf{13,44}\frac{\mathbf{N}}{\mathbf{\text{mm}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{\ \times \ }\mathbf{0,5}}}$ = 0,83 m= 83cm

b = α ×h = 0,5 × 83 cm = 41 cm

q_1NC = q_1N + b * h * ρ_k * γ_G *g = 46,3 kN/m + 0,41 m *0,83 m*380 kg/m³*1,35 * 9,81 m/s² = 46,3 kN/m + 1712,56 N/m = 48,05 kN/m

q_1UC = q_1U + b * h * ρ_k *g = 31,4 kN/m + 0,41 m *0,83 m*380 kg/m³ * 9,81 m/s² = 31,4kN/m + 1268,57 N/m = 32,67 kN/m

l_ef =k₁ * l + k₂ * h= 0,9 * 10,5m = 9,45m k₁= 0,9

k₂= 0

σ_m.crit = $\frac{0,78 \times b^{2}\text{\ \ }}{h\ \times l\text{ef}\ \ } \times E_{0,05} = \ \frac{0,78 \times {(410mm)}^{2}\text{\ \ }}{830mm \times 9450\text{mm\ }\ } \times 9,4\ kN\ /mm2$= 157,14 MPa

Moment zginający:

Mg = $\frac{q1NC \times {l\text{ef}}^{2}\text{\ \ }}{8}\ $= $\frac{48,05\frac{\text{kN}}{m} \times ({10,5m)}^{2}\text{\ \ }}{8}$ = 536,32 kNm

λ_ref.m =$\sqrt{\frac{f\text{md}}{\sigma\text{m.crit}}}$ = $\sqrt{\frac{13,44\frac{N}{\text{mm}^{2}}}{157,14\text{\ MPa}}}$ = 0,39

Moment bezwładności:

I_y = $\frac{b \times h^{3}\text{\ \ }}{12}$ = $\frac{41\text{cm} \times {(83cm)}^{3}\text{\ \ }}{12}$ = 19,69* 10⁵ cm⁴

W_y =$\frac{\text{\ \ }Iy}{0,5 \times h}$= $\frac{\ 19,69\ *\ 10^{5}\ \text{cm}^{4}}{0,5 \times 83cm}$ =47,49* 10³ cm³

Naprężenia obliczeniowe od zginania:

σ_md =$\frac{\text{\ \ }\text{Mg}}{Wy}$ = $\frac{536,32\ \text{kNm}\ }{47,49*\ 10^{3}\ \text{cm}^{3}}$ = 11,29 MPa

k_h = ($\frac{\mathbf{600}}{\mathbf{h}}\mathbf{)}$^0,1 =($\frac{\mathbf{600}}{\mathbf{8}\mathbf{30}}\mathbf{)}$^0,1 = 0,99

dla innych przypadków k_h = 1

σ_md ≤ k_crit * f_md

f_md= 0,99 $\times \frac{0,7\ \times \ 24\ \frac{N}{\text{mm}^{2}}}{1,25} = \mathbf{13,}\mathbf{31}\frac{\mathbf{N}}{\mathbf{\text{mm}}^{\mathbf{2}}}$

11,29 MPa ≤ 1 * $\mathbf{13,}\mathbf{31}\frac{\mathbf{N}}{\mathbf{\text{mm}}^{\mathbf{2}}}$

warunek spełniony

Warunek ekonomiczny:

70% ≤ $\frac{\sigma\text{md}}{\text{\ k}\text{crit\ }*\ f\text{md}}$*100 ≤ 100%

70% ≤ $\frac{11,29\text{\ MPa}}{1\ *\ 13,31\frac{N}{\text{mm}^{2}}}$*100 ≤ 100%

70% ≤  84, 8% ≤ 100%

warunek spełniony

Wartości graniczne:

W_fin = $\frac{L}{\ 300}$ = $\frac{1050cm}{\ 300}$ = 3,5cm dla belki z częścią gipsowo-kartonową

Warunek :

$\frac{\mathbf{L}}{\mathbf{\text{\ h}}}$≤ 20

$\frac{10,5m}{\ 0,83m}$≤ 20

12,7≤ 20

q_ks = G_k *a+ b * h * ρ_k *g = 1,5 kN/m² * 3,5m + 0,41 m *0,83 m*380 kg/m³* 9,81 m/s² =

6,52 kN/m

q_kz = Q_k * a = 7,5 kN/m² * 3,5m = 26,25 kN/m

E_0.mean = 11,6 $\frac{\mathbf{\text{kN}}}{\mathbf{\text{mm}}^{\mathbf{2}}}$

dla obciążeń stałych:

u_{inst s} = u_ms * u_v = u_ms * [ 1+19,2 * ($\mathbf{\ }\frac{\mathbf{h}}{\mathbf{L}\mathbf{\ }}\mathbf{\ )}$² ]

u_ms = $\frac{5*\ q\text{ks\ }*L^{4}}{\ 384\ *\ E0.mean\ *\ Iy}$ = $\frac{5*\ 6,25\ kN/m\ *{(10,5m)}^{4}}{\ 384\ *11,6\ \frac{\text{kN}}{\text{mm}^{2}}\ *\ 19,69\ *\ 10^{5}\ \text{cm}^{4}}$ = 0,0043m

u_{inst s} = 0,0043m * [ 1+19,2 * ($\ \frac{0,83m}{10,5m}\ )$² ] = 0,0041m

u_{fin s} = u_{inst s} * ( 1 + K_def ) = 0,0041m*(1 + 0,5) = 0,0061m

dla obciążeń zmiennych:

u_{inst z} = u_mz * u_v = u_mz * [ 1+19,2 * ($\mathbf{\ }\frac{\mathbf{h}}{\mathbf{L}\mathbf{\ }}\mathbf{\ )}$² ]

u_mz = $\frac{5*\ q\text{kz\ }*L^{4}}{\ 384\ *\ E0.mean\ *\ Iy}$ = $\frac{5*\ 26,25\ kN/m\ *{(10,5m)}^{4}}{\ 384\ *11,6\ \frac{\text{kN}}{\text{mm}^{2}}\ *\ 19,69\ *\ 10^{5}\ \text{cm}^{4}}$ = 0,0181m

u_{inst z} = 0,0181m * [ 1+19,2 * ($\ \frac{0,83m}{10,5m}\ )$² ] = 0,0203m

u_{fin z} = u_{inst z} * ( 1 + ψ_{21 *} K_def ) = 0,0203m * ( 1 + 0,8 * 0,5) = 0,0285 m

u_fin = u_{fin s +} u_{fin z} = 0,0061m + 0,0285 m = 3,46cm

u_fin ≤ W_fin

3,46cm ≤ 3,5cm

warunek spełniony