1. Zliczenie matematyczne

Charakterystyka i zastosowanie.

Możliwe jest obliczenie współrzędnych geograficznych okrętu lub jego kursu i drogi bez korzystania z mapy morskiej. Służą do tego metody zliczenia matematycznego.

Stosując wzory zliczenia matematycznego można rozwiązać dwa podstawowe zadania nawigacji:

• znając współrzędne pozycji początkowej, kąt drogi nad dnem oraz długość przebytej drogi, należy obliczyć współrzędne pozycji końcowej (jest to tzw. zadanie wprost);

• znając współrzędne pozycji początkowej i pozycji przeznaczenia, należy obliczyć kąt drogi nad dnem KDd i odległość między tymi pozycjami ( jest to tzw. zadanie odwrotne);

Zliczenie matematyczne stosuje się w czasie pływania z dala od wybrzeży, gdy wykorzystywane są mapy w małych skalach oraz przy bardzo częstych zmianach kursów i odcinków dróg okrętu. Ponadto wzory zliczenia matematycznego mają zastosowanie przy rozwiązywaniu szeregu innych zagadnień nawigacyjnych. Zliczenie matematyczne coraz częściej realizowane jest przez automatyczne nakreślacze drogi i komputery wchodzące w skład okrętowego systemu nawigacyjnego – zautomatyzowanego lub automatycznego. Zadania tego zliczenia rozwiązuje się za pomocą średniej szerokości lub powiększonej szerokości.

Rodzaje zliczenia matematycznego

Za pomocą szerokości średniej rozwiązuje się zagadnienia nawigacyjne, gdy odległości między pozycjami wyjścia i zakończenia są małe. Stosuje się w tym celu tzw. trójkąt nawigacyjny, zwany też trójkątem drogowym.

Za pomocą powiększonej szerokości rozwiązuje się zadania, gdy odległości między pozycjami są duże lub zadania odnoszą się do dużych szerokości geograficznych. W obu przypadkach zadania rozwiązuje się w oparciu o trójkąt utworzony przez łuk loksodromy, łuk południka i łuk równoleżnika.

Zliczenie matematyczne będziemy nazywali prostym, jeżeli do rozwiązania zadania wykorzystywać będziemy elementy jednego trójkąta, natomiast zliczeniem matematycznym złożonym nazywać będziemy zliczenie, w którym do uzyskania wyniku wykorzystywać będziemy elementy wielu trójkątów. Z tego rodzaju zliczeniem mam do czynienia przy częstych zmianach kursów, np. podczas pływania w lodach, manewrowaniu itp.

Obliczenia przeprowadza się sposobem rachunkowym lub z wykorzystaniem tablic nawigacyjnych.

Loksodroma i jej przebieg na pow. Ziemi

Loksodroma (gr. loksós - ukośny, droma - linia) jest linią krzywą na powierzchni kuli (np. Ziemi), przecinającą wszystkie południki pod tym samym kątem.

Jeżeli kąt ten będzie równy zeru to loksodroma pokrywać się będzie z jednym z południków geograficznych. Jeżeli kąt będzie równy 90° to loksodroma pokrywać się będzie z jednym z równoleżników geograficznych. Można więc powiedzieć, że loksodromami są wszystkie południki i równoleżniki geograficzne. W pozostałych przypadkach loksodroma tworzy spiralną linię, która stopniowo zmierza do bieguna.

Na mapie Merkatora (dokładniej na mapie w rzucie Merkatora) loksodroma odwzorowuje się w postaci linii prostej i jako taka jest powszechnie stosowana w nawigacji morskiej i lotniczej do wykreślania drogi (kursu). Statek płynący stałym kursem, np. korzystając z kompasu w rzeczywistości utrzymuje ten sam kąt względem kierunku północ-południe, a więc przecina wszystkie południki pod tym samym kątem - płynie po loksodromie.

Loksodroma nie jest najkrótszą drogą łączącą dwa punkty na powierzchni kuli, właściwość taką ma za to ortodroma.

2. Zliczenie matematyczne proste wg średniej szerokości

Załóżmy, że punkt P₁ jest pozycją wyjściową okrętu określoną znanymi współrzędnymi φ₁ i λ₁. Poszukiwane współrzędne pozycji przybycia P₂, tj. φ₂ i λ₂, można obliczyć ze wzorów:

,

.

Ze względu na małe rozmiary elementarnego trójkąta sferycznego, przyjmujemy go jako trójkąt płaski. Możemy wówczas napisać:

.

Jeżeli w powyższym wzorze D (odległość pomiędzy P₁ i P₂) wyrazimy w milach morskich, to wartość różnicy szerokości geograficznej otrzymamy również w milach morskich, tzn. w minutach szerokościowych.

Znak algebraiczny Δφ określony jest przez pierwszą literę oznaczającą ćwiartkę horyzontu, gdyż kąt drogi KDd także powinien być wyrażony w systemie ćwiartkowym. Jeżeli KDd jest w ćwiartce NE lub NW, to Δφ jest dodatnia, jeżeli natomiast znajduje się w ćwiartce SE lub SW, to Δφ jest ujemna.

Określmy wielkość przemieszczenia okrętu wzdłuż równoleżnika, tj. obliczmy różnicę zboczenia nawigacyjnego Δl:

Znak algebraiczny zboczenia nawigacyjnego określa druga litera oznaczająca ćwiartkę horyzontu. Jeżeli KDd jest w ćwiartce NE lub SE, to Δl jest dodatnie; jeżeli natomiast w ćwiartce NW lub SW, to Δl jest ujemne. Wzory na Δφ i Δl są podstawowymi wzorami zliczenia matematycznego.

Mały trójką sferyczny na powierzchni Ziemi, uważany za trójkąt płaski, nazywa się trójkątem nawigacyjnym lub drogowym. Słuszne są dla niego wzory:

lub

lub

oraz

.

Według tych wzorów została obliczona odpowiednia tabela zamieszczona w TN-89 (tablice nawigacyjne), która umożliwia obliczenie parametrów różnicy szerokości geograficznej Δφ oraz zboczenia nawigacyjnego Δl dla argumentów drogi D oraz kąta drogi KDd wyrażonego w systemie ćwiartkowym.

Pierwszy typ zadania (dane φ₁, λ₁, D, KDd):

Drugi typ zadania (dane φ₁, λ₁, φ₂, λ₂):

Trójkąt loksodromiczny

Trójkąt loksodromiczny, trójkąt sferyczny na powierzchni kuli ziemskiej, którego bokami są: odległość (d) między punktami A i B, zboczenie nawigacyjne (a) między południkami, łuk południka odpowiadający różnicy szerokości geograficznej tych punktów (Δφ). Przy małych rozmiarach trójkąt loksodromiczny można uznać za płaski. Jest on wówczas zwany trójkątem drogowym.

Trójkąt nawigacyjny

Trójkąt loksodromiczny Trójkąt drogowy (nawigacyjny)

Jeżeli trójkąt loksodromiczny ABC jest mały (droga nie przekracza 600 Mm) wówczas możemy go uważać za trójkąt płaski prostokątny o kącie prostym (90°) przy C, o tych samych elementach, które ma trójkąt loksodromiczny na kuli; taki trójkąt nazywamy drogowym.

Trójkąt drogowy jest to trójkąt płaski o tych samych elementach co trójkąt loksodromiczny na kuli.

Trójkąt drogowy nie istnieje. Służy on nam tylko do obliczeń.

Ograniczenia stosowania sposobu

Ze wzorów odnoszących się do trójkąta nawigacyjnego można korzystać wtedy, gdy różnica szerokości Δφ nie przekracza 3-5^o i nie odnosi się do dużych szerokości lub wówczas, gdy D nie jest dłuższa niż 300-600 mil morskich. Jeżeli warunki te nie będą spełnione, otrzymane wyniki są obarczone błędem.

Ograniczenia w stosowaniu wzorów trójkąta nawigacyjnego wynikają głównie ze stosowania średniej szerokości geograficznej przy zamianie zboczenia nawigacyjnego Δl na różnicę długości geograficznej i odwrotnie. Ponadto przyrosty funkcji secφ i cosφ nie są proporcjonalne do szerokości φ. Z tego też względu, gdy Δφ > 3-5^o (D>300-600 Mm) przy rozwiązywaniu zagadnień zliczenia matematycznego prostego należy stosować wzory odnoszące się do trójkąta Merkatora.

3. Zliczenie matematyczne proste wg powiększonej szerokości

Trójkąt Merkatora

Trójkąt Merkatora jest to trójkąt, którego przyprostokątną równoleżnikową jest różnica długości Δλ, a przyprostokątną południkową różnica powiększonej szerokości ΔV (rV na rysunku poniżej). Trójkąt Merkatora jest odpowiednikiem trójkąta loksodromicznego na mapie Merkatora.

Kąt KDd zawarty pomiędzy przyprostokątną południkową a przeciwprostokątną jest równy kątowi drogi okrętu. Z definicji tej wynika zależność:

Porównanie trójkąta drogowego z trójkątem Merkatora.

Wzory trójkąta Merkatora wykorzystujemy do rozwiązywania zadań zliczenia matematycznego prostego wtedy, kiedy Δφ > 3^o lub D > 300 mil morskich, zwłaszcza w większych szerokościach geograficznych. Ograniczenie ma miejsce, gdy kąt drogi KDd jest bliski 090^o lub 270^o

(tgKDd = ∞) - wówczas zaleca się stosować wzory trójkąta nawigacyjnego, ponieważ obliczenia są dokładniejsze.

Rozwiązywanie problemów zliczenia prostego:

Pierwszy typ zadania (dane φ₁, λ₁, D, KDd):

1.(KDd w systemie ćwiartkowym)

2.

3.

4.(KDd w systemie ćwiartkowym)

5.

Drugi typ zadania (dane φ₁, λ₁, φ₂, λ₂):

Powiększona szerokość

Powiększona szerokość jest to oddalenie na mapie Merkatora równoleżnika danej szerokości od równika wyrażona w minutach długościowych.

Podstawową miarą odległości na mapie Merkatora jest [1 Mm], czyli wielkość łuku na równiku odpowiadający 1' długości geograficznej [1'λ].

Należy pamiętać, że na równiku minuta długości geograficznej [1'λ], równa się jednej minucie szerokości geograficznej [1'φ]. Czym dalej na północ lub południe minuty szerokości geograficznej zmieniają swój wymiar liniowy (odwzorowanie na walec), rozciągają się, natomiast równik ma stałą długość i kształt koła, dlatego podstawą do obliczeń brana jest 1' długościowa.

Wiemy, że na mapie Merkatora, poczynając od równika każda następna minuta szerokości geograficznej jest większa w wymiarze liniowym, jest rozciągana.

Wartość wielkości "powiększonej szerokości" odczytujemy w tablicach nawigacyjnych (TN), lub możemy sami sobie obliczyć według wzoru.

4. Zliczenie matematyczne złożone

Zliczeniem matematycznym złożonym nazwano sposób obliczania współrzędnych pozycji zakończenia manewrowania przez okręt przy częstych zmianach kursu i drogi na podstawie znanych wartości tychże kursów i drogi lub prędkości. Polega ono na obliczaniu współrzędnych pozycji końcowej w oparciu o wzory trójkąta nawigacyjnego. Sposób ten jest stosowany w wypadkach, kiedy prowadzenie zliczenia graficznego drogi okrętu na mapie ze względu na czasochłonność wykonywanych czynności lub na skalę mapy jest nieprzydatne lub niemożliwe.

Zadanie nawigatora polega na obliczeniu współrzędnych pozycji zakończenia manewrowania kursami zmiennymi. W tym celu można zastosować rozwiązanie kolejnych trójkątów nawigacyjnych, ale jest to zbyt pracochłonne. Wobec tego obliczamy różnice szerokości i zboczeń nawigacyjnych dla każdej zmiany kursu i drogi, uzyskując sumę algebraiczną różnic szerokości Δφ_s oraz zboczeń Δl_s, a następnie różnicę szerokości geograficznej Δλ_s. Dodając do współrzędnych pozycji wyjścia φ₁, λ₁ otrzymane sumy algebraiczne Δφ_s i Δλ_s, otrzymamy współrzędne pozycji zakończenia manewrowania φ₂, λ₂. Sposób ten sprowadza się zatem do rozwiązywania trójkąta wypadkowego (na rysunku przerywana linia).

Karta manewrowa

Celem uproszczenia rozwiązań trójkąta nawigacyjnego można zastosować kartę manewrową. Załącza się ją do dziennika, a sam manewr zapisuje w postaci: czasu, OL, współrzędnych pozycji rozpoczęcia manewrowania i numeru karty manewrowej. Na zakończenie manewrowania w dzienniku zapisujemy: godzinę, OL i pozycję zakończenia manewrowania według współrzędnych, a w rubryce „Kursy” wypisujemy symbol „ZM” oraz sumaryczną drogę za czas trwania manewrowania.

Uwzględnienie wiatru i prądu

Jeżeli w rejonie manewrowania występuje prąd morski, to okręt przemieszcza się wzdłuż linii drogi nad dnem KDd. Zadanie zliczenia matematycznego złożonego można by rozwiązać w ten sposób, aby dla każdego kąta drogi po wodzie Kdw, znając v_w, Kp oraz v_p, obliczyć KDd i v_d. Skomplikowałoby to jednak bardzo obliczenia, czyniąc je mało przydatnymi w praktyce nawigacyjnej.

Obliczenie współrzędnych przy tego rodzaju zliczeniu bardzo się upraszcza, jeżeli przyjmujemy, że okręt zostaje zniesiony przez prąd zgodnie z kierunkiem prądu K_p i na odległość D_p, równą prędkości prądu v_p pomnożonej przez czas trwania manewrowania okrętu w tym rejonie i na zliczeniu. Wystarczy tylko obliczyć, o ile mil morskich wzdłuż południka Δφ i równoleżnika Δl okręt będzie zniesiony przez prąd.

W karcie manewrowej po wpisach manewrów okrętu należy zanotować kierunek prądu K_p, jego prędkość v_p, czas działania prądu T, a także drogę D_p = T * v_p. Jeżeli elementy prądu w czasie manewrowania uległy zmianie, to w karcie manewrowej należy wpisać nowe wartości, a następnie obliczyć Δφ oraz Δl. W kracie tej należy dokonać tyle zapisów i obliczeń odnośnie prądu, ile razy zmieniały się jego elementy.

Uwzględnianie wiatru polega tylko na dodaniu poprawki na wiatr (z odpowiednim znakiem) do wartości kursu kompasowego KK.

7.Wykorzystanie mapy gnomonicznej

Mapa gnomoniczna powstaje przez rzut powierzchni kuli ziemskiej na powierzchnię styczną do tej kuli w określonym punkcie. Rozróżnia się trzy rzuty gnomoniczne:

* Biegunowy, gdzie punktem styczności jest biegun ziemski (normalne)

* Równikowy, gdzie punktem styczności jest równik (poprzeczne)

* Zwykły, punktem styczności jest dowolny punkt pomiędzy biegunem a równikiem (ukośne)

W przypadku map gnomonicznych wszystkie wielkie koła (południki, ortodromy) są prostymi, wszystkie równoleżniki są krzywymi (kołami w rzucie biegunowym, albo elipsami i parabolami w zależności od szerokości równoleżnika i punktu styczności), wszystkie kąty (z wyjątkiem prostych i tych których wierzchołki leżą w punkcie styczności) są zniekształcone. Pomiar odległości wykonuje się za pomocą podanych na mapie podziałek.

Mapy gnomoniczne służą do graficznego rozwiązywania problemów żeglugi po ortodromie. Kiedyś były też wykorzystywane do określania pozycji przy pomocy radionamiarów.

Ponadto bardzo często w rzucie gnomonicznym wykonywane są plany w bardzo dużej skali.
Na mapach sporządzonych w rzucie gnomonicznym w dużej skali naturalnej (tzn. na planach w skali 1:50 000 lub większej) znajduje się specjalna skala szerokości i odległości służąca do dokładnego odmierzenia szerokości geograficznej i odległości. Skala ta zazwyczaj jest potrójna. Oprócz skali w milach morskich (lub w minutach szerokościowych) znajdują się skale w stopach i metrach lub kilometrach.

Dzięki temu, że ortodroma na takiej mapie jest linią prostą może łatwo odczytać i przenieść współrzędne punktów zwrotu do tabeli, a także dzięki liniom jednakowych namiarów (nie na każdej mapie gnomonicznej są) ustalić kąty kursowe w tych punktach.

8.Żegluga mieszana

Z żeglugą mieszaną mamy do czynienia, gdy wierzchołek ortodromy znajduje się w niebezpiecznych rejonach dla nawigacji. Warunki tam panujące mogą tak spowolnić szybkość statku, że nie warto tam w ogóle nawigować.

Wzory:

1 ortodroma zastępcza:

(długość geograficzna wierzchołka pierwszej ortodromy)

(droga)

2 ortodroma zastępcza:

(długość geograficzna wierzchołka drugiej ortodromy)

(droga)

→ szerokość geograficzna granicy żółtego akwenu na powyższym rysunku.