Akademia Górniczo-Hutnicza

Im. Stanisława Staszica w Krakowie

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Teoria mechanizmów i maszyn

Laboratorium

Zadanie domowe. Temat: 6B

Wykonał:

Bartosz Nowak

Gr. 5b rok IIA IMiR

Synteza strukturalna i geometryczna mechanizmu

Schemat kinematyczny mechanizmu:

Dane mechanizmu:

A=(80; 0)

B=(80; 500)

C=(746,79; 679,18)

D=(919,65; 779,78)

E=(1138,92; 0)

Ruchliwość i klasa mechanizmu:

Ruchliwość mechanizmu płaskiego obliczamy ze wzoru:

w=3⋅n – 2⋅p_V−p_IV

n - liczba członów ruchomych mechanizmu

W tym przypadku: n=3 p_V=4 p_IV=0

w=3⋅3 – 2⋅4 – 0=1

Ruchliwość tego mechanizmu wynosi 1.

Podział mechanizmu na grupy strukturalne:

• Człon napędzający:

• Grupa strukturalna:

n=2 p_V=3 w_gr=3⋅2 – 2⋅3=0

Ruchome człony mechanizmu ( 2 i 3 ) tworzą grupę strukturalną klasy II

Analiza kinematyczna mechanizmu

• Dla tego mechanizmu założyłem przyspieszenie członu napędzającego a=10 [mm/s²]

• W związku z tym prędkość będzie się zmieniać w funkcji czasu zgodnie ze wzorem v=a⋅t=10⋅t [mm/ s]

• Przemieszczenie członu napędzającego wyniesie $x = \frac{a \cdot t^{2}}{2} = \frac{10 \cdot t^{2}}{2} = 5 \cdot t^{2}$ [mm]

• Podczas analizy mechanizmu metodą grafo-analityczną badam parametry członów oraz

punktów charakterystycznych mechanizmu w chwili t=4 [s].

• Dla tej chwili czasu:

a=10 [mm/s²];

v=40 [mm/s];

x=80 [mm];

gdzie x jest odległością punktu A od początku przyjętego układu współrzędnych, natomiast początkowa prędkość członu napędzającego jest równa zero.

Plan prędkości w mechanizmie:

V _A – znany kierunek, znana wartość

V_B2B1 -znany kierunek, nieznana wartość

V_B – znany kierunek, nieznana wartość

V_C= V_B

V_D= V_C= V_B

Plan prędkości został wykreślony za pomocą programu AutoCAD na podstawie następującego równania wektorowego:

Dzięki użyciu tego programu wprowadzanie podziałki było zbędne.

Plan przyspieszeń w mechanizmie:

Plan przyspieszeń przedstawia się analogicznie do planu prędkości ponieważ nie występuje tu żaden ruch obrotowy.

a _A – znany kierunek, znana wartość

a_B2B1 -znany kierunek, nieznana wartość

a_B – znany kierunek, nieznana wartość

a_C= a_B

a_D= a_C= a_B

Plan przyspieszeń został wykreślony na podstawie następującego równania wektorowego:

Wyznaczenie prędkości i przyspieszeń metodą analityczną.

Metoda analityczna pozwala na wyznaczenie prędkości w dowolnej chwili czasu, a nie tylko w danym położeniu mechanizmu. Wrysowując w mechanizm zamknięty wielobok wektorowy otrzymuję równania rzutów poszczególnych wektorów na osie przyjętego układu współrzędnych.

Długości poszczególnych odcinków:

l₁(t)=5*t²

l₂(t)=?

l₃(t)= const=500 [mm]

l₄(t)=?

l₅(t) =const =1138,92 [mm]

Wartości kątów:

φ ₁=0° φ₂=90° φ₃=21° φ₄=300° φ₅=120°

Dwa równania rzutów wektorów na osie pozwolą na wyznaczenie niewiadomych l₂ oraz l₄ , ponieważ jest to układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi.

$${\overrightarrow{l}}_{1} + {\overrightarrow{l}}_{2} + {\overrightarrow{l}}_{3} + {\overrightarrow{l}}_{4} + {\overrightarrow{l}}_{5} = 0$$

• Rzut na oś OX

$${\overrightarrow{l}}_{1} + {\overrightarrow{l}}_{3}*\cos\varphi_{3} + {\overrightarrow{l}}_{4}*\cos\varphi_{4} + {\overrightarrow{l}}_{5} = 0$$

• Rzut na oś OY

$${\overrightarrow{l}}_{2} + {\overrightarrow{l}}_{3}*\sin\varphi_{3} + {\overrightarrow{l}}_{4}*\sin\varphi_{4} = 0$$

Z pierwszego równania wyliczam l₄

$${\overrightarrow{l}}_{4} = \frac{l_{5} - l_{1}\left( t \right) - l_{3}*\cos\varphi_{3}}{\cos\varphi_{4}}$$

Z drugiego równania wyliczam l₂

$${\overrightarrow{l}}_{2} = - {\overrightarrow{l}}_{3}*\sin\varphi_{3} - {\overrightarrow{l}}_{4}*\sin\varphi_{4}$$

Prędkości oraz przyspieszenia obliczam ze wzorów:

$$V_{B} = \frac{dl_{4}}{\text{dt}} = - \frac{dl_{1}}{\text{dt}}*\frac{1}{cos\varphi_{4}}$$

$$V_{B2B1} = \frac{dl_{1}}{\text{dt}}*\frac{\sin\varphi_{4}}{cos\varphi_{4}}$$

$$a_{B} = \frac{d^{2}l_{4}}{dt^{2}} = - \frac{d^{2}l_{1}}{dt^{2}}*\frac{1}{cos\varphi_{4}}$$

$$a_{B2B1} = \frac{d^{2}l_{2}}{dt^{2}} = - \frac{d^{2}l_{1}}{dt^{2}}*\frac{\sin\varphi_{4}}{cos\varphi_{4}}$$

Po wstawieniu odpowiednich wartości dla chwili czasu t=4 [s] otrzymuję następujące wyniki:

V_B=-80 [mm/s]

V_B2B1=-69,28 [mm/s]

a_B=-20 [mm/s²]

a_B2B1=-17,32 [mm/s²]

Otrzymane wyniki metodą grafo-analityczną i analityczną są po przybliżeniach takie same. Dla potwierdzenia wyników przeprowadzam symulację mechanizmu w programie SAM 4.2.

Model mechanizmu w programie SAM 4.2:

Porównanie wyników:

	m. grafo-analityczna	m. analityczna	SAM 4.2
VB [mm/s]	80	80	79,999
VB2B1 [mm/s]	69,28	69,28	69,281
aB [mm/s]	20	20	-
aB2B1 [mm/s]	17,32	17,32	-

Analiza kinetostatyczna mechanizmu

Przyjmuję masę m₃ i wartość sił P₂ i P₃ działające na mechanizm:

• m₃=2,5 [kg]

• P₂=100 [N]

• P₃=200 [kN]

Wyznaczam siłę bezwładności i ciężkości działające na człon 3:

B=m₃*a_c=2,5*20=50 [mN]=0,05 [N]

G=m₃*g=2,5*9,81=24,525 [N]

Siły przyłożone do grupy strukturalnej 2-3 i siła równoważąca.

$$\sum_{}^{}{P_{i3} = \overrightarrow{R_{23}}} + \overrightarrow{R_{03}} + \overrightarrow{P_{3}} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{G} = 0$$

$$\sum_{}^{}{P_{i2} = \overrightarrow{R_{32}}} + \overrightarrow{R_{12}} + \overrightarrow{P_{2}} = 0$$

Dodając powyższe równania stronami otrzymuję:

$$\sum_{}^{}{P_{i23} = \overrightarrow{G} +}\overrightarrow{R_{12}} + \overrightarrow{R_{03}} + \overrightarrow{P_{3}} + \overrightarrow{P_{2}} = 0$$

ponieważ $\overrightarrow{R_{32}} = - \overrightarrow{R_{23}}$ , a siła bezwładności $\overrightarrow{B}$ ma zaniedbywalnie małą wartość.

Obliczenie sił reakcji metodą wykreślną:

Zwroty reakcji okazały się być przeciwne do tych założonych na początku.

$${\sum_{}^{}{M_{C} = 0 = > \ - P_{2}*BC*\cos\left( 21 \right) - R_{12}*BC*\sin\left( 21 \right)} + M_{12} = 0\backslash n}{M_{12} = 100*466,79 + 213,97*179,18 = 84,84\ \lbrack Nm\rbrack\backslash n}$$

Powyższe wyniki w stopniu zadowalającym pokrywają się z wynikami z programu SAM 4.2

Model wraz z wyświetloną wartością siły R₁₂:

Analiza członu napędzającego:

Z wiadomych powodów siła R₀₁ działająca na człon napędzający jest równa 0.

Suma rzutów sił działających na człon napędzający pozwala wyznaczyć siłę P_r , której kierunek jest taki sam jak kierunek siły R₂₁ natomiast zwrot jest przeciwny:

$$\sum_{}^{}{P_{i1} = - R_{21} + P_{r} = 0 = > P_{r} = R_{21} = 213,97\ \lbrack N\rbrack}$$

(na podstawie poprzednich obliczeń metodą grafo-analityczną)

W celu wyznaczenia momentu działającego na suwak można skorzystać z warunku zerowania się momentów w punkcie A:

$$\sum_{}^{}{M_{A} = 0\ }\ = > \ R_{21}*AB - M_{01} = 0$$

M₀₁ = R₂₁ * AB = 213, 97 * 0, 5 = 106, 99 [Nm]

Sprawdzenie poprawności obliczeń siły równowa+żącej metodą mocy chwilowych:

$$\overset{\rightarrow}{P_{r}} \bullet \overset{\rightarrow}{v_{A}} + \overset{\rightarrow}{P_{2}} \bullet \overset{\rightarrow}{v_{B}} + \overset{\rightarrow}{B} \bullet \overset{\rightarrow}{v_{C}} + \overset{\rightarrow}{G} \bullet \overset{\rightarrow}{v_{C}} + \overset{\rightarrow}{P_{3}} \bullet \overset{\rightarrow}{v_{D}} = 0$$

P_r * v_A * cos0 + P₂ * v_B * cos30 + B * v_C * cos180 + G * v_C * cos30 + P₃ * v_D * cos90 = 0

Ponieważ siła bezwładności jest zaniedbywalnie mała, a cos90°=0 pomijam człony z siła P₃ oraz B. W takim razie końcowe równanie na siłę równoważącą wygląda następująco:

$$P_{r} = \frac{{- P}_{2}*v_{B}*cos30 - G*v_{C}*cos30}{v_{A}*cos0} = \frac{- 100*80*\frac{\sqrt{3}}{2} - 24,525*80*\frac{\sqrt{3}}{2}}{40} - 215,68\ \lbrack N\rbrack$$

Zestawienie wyników obliczeń siły równoważącej:

Metoda analityczna	Metoda mocy chwilowych
213,97 [N]	-215,68 [N]