POLITECHNIKA LUBELSKA

WYDZIAŁ PODSTAW TECHNIKI

Grupa dziekańska: Wykonał:

ETI 3.2 Gorzkowski Adam

Prowadzący:

Dr Jarosław Borc

Spis treści

1. Podbudowa teoretyczna: 3

2. Opis wykonania ćwiczenia: 5

3. Przykłady obliczeń: 5

4. Dyskusja błędów: 6

5. Metoda różniczkowa: 6

6. Wnoski 6

Gorzkowski Adam	Semestr: II	Grupa: ETI 3.2
Temat: Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła prostego.	Data oddania: 6.12.2010

Podbudowa teoretyczna:

Wahadłem prostym (matematycznym) nazywamy niewielką kulkę (punkt materialny) zawieszoną na nieważkiej i nierozciągliwej nici. Jeśli wahadło odchylimy od położenia równowagi jak na rys., a następnie puścimy je swobodnie to zacznie się wahać. Uwzględniając kierunki sił możemy wyprowadzić podstawowe wzory dla wahadła matematycznego.

l - długość nici (drutu)

T - siła napięcia nici (drutu)

Q - siła ciężkości rozłożona na składowe F_r oraz F_s

F_r - siła radialna równoważąca siłe napięcia T

F_s - siła styczna do toru kulki, odpowiedzialna za ruch

,gdy to możemy zapisać

z II zasady dynamiki Newtona wynika:

lub ,obie strony dzielimy przez mase

,gdzie

Izochronizm wahadła pozwala na dokładne wyznaczenie okresu drgań. Wyznaczjąc eksperymentalnie długość l drutu oraz okres, wahadło proste posłuży nam do wyznaczenia przyspieszenia ziemskiego.

Wahadło matematyczne to ciało punktowe o masie m, zawieszone na cienkiej, nic nie ważącej nici o długości l. Wahadło matematyczne to model teoretyczny - nie ma ani idealnie punktowych ciał ani idealnie nieważkich nici. Jednak bardzo dobrym przybliżeniem wahadła matematycznego jest metalowa kulka zawieszona na bardzo cienkiej, nierozciągliwej nici.

Wahadło matematyczne w położeniu równowagi wisi pionowo w dół. Po wychyleniu go z tego położenia, wahadło zaczyna drgać pod wpływem składowej siły ciężkości.. Drgania wahadła atematycznego to drgania z okresem T. Okres drgań wahadła jest to czas, jaki upływa pomiędzy znalezieniem się wahadła w danym punkcie a ponownym dotarciem do tego punktu, czyli czas potrzebny na wykonanie jednego pełnego wahnięcia.

Dla małych wychyleń wahadła, jego ruch można określić jako drgania harmoniczne. Można to udowodnić, wyznaczając siłę (lub przyspieszenie), jakie działa na wahadło.

W każdym punkcie na kulkę wahadła działa siła ciężkości

F = mg,

gdzie g to wartość przyspieszenia ziemskiego. Tak jak pokazałem na rysunku, siłę tę w dowolnym punkcie można rozłożyć na dwie składowe: w kierunku prostopadłym i równoległym do kierunku wyznaczanego przez nić wahadła. Siła działająca w kierunku równoległym do ułożenia nici odpowiada za jej naprężenie. Za ruch odpowiada siła skierowana prostopadle do nici (F_^). Wartość siły F_^ można wyznaczyć z zależności trygonometrycznych trójkąta prostokątnego:

F_^ = mg sina

Jeżeli założyć, że wychylenie wahadła jest małe, to można dodatkowo zapisać:

sina = x/l,

gdzie x to wychylenie wahadła. Na końcu otrzymujemy wzór na siłę powodującą ruch wahadła:

F_^ = mg x/l.

Siła ta jest wprost proporcjonalna do wychylenia x i, jak widać z rysunku, jest zawsze skierowana do środka drgań. Dlatego możemy uznać ruch wahadła matematycznego dla małych wychyleń jako ruch harmoniczny.

Siła w ruchu harmonicznym wyraża się ogólnie wzorem

F = mw²x,

gdzie w to częstość kołowa:

w = 2p/T.

Przez porównanie wzorów F_^ = mg x/l oraz F = mw²x, możemy wyznaczyć częstość kołową wahadła matematycznego:

w² = g/l Þ g/l = 4p²/T²

Czyli

T = 2pÖ(l/g).

Z otrzymanego wzoru można wyciągnąć następujące wnioski:

• okres drgań wahadła nie zależy ani od masy kulki, ani od kąta wychylenia wahadła. Zależy tylko od tego, jak długa jest nić wahadła. Trzeba pamiętać, że jest to prawdziwe tylko dla małych wychyleń wahadła.

• okres drgań nie jest wprost proporcjonalny do długości wahadła, tylko do pierwiastka z długości. Wahadło 4 razy dłuższe ma okres drgań tylko 2 razy dłuższy.

• okres zależy też od wartości przyspieszenia ziemskiego. Inną wartość ma ono w pobliżu równika, a inną na biegunach. Wahadło będzie miało różny okres drgań w zależności od tego, gdzie się znajduje.

Niezależność okresu drgań wahadła od wartości wychylenia (amplitudy drgań) jest nazywana izochronizmem drgań. To zjawisko zostało odkryte przez Galileusza, który obserwował wahania żyrandola w katedrze.

Opis wykonania ćwiczenia:

- mierzymy suwmiarką średnicę d kulki.

- zawieszamy ją na cienkim druciku i mierzymy długość drucika wraz z kulką (długość l₁).

- obliczamy długość wahadła l (l = l₁ - d/2).

- odchylamy wahadło z położenia równowagi i sekudomierzem określamy czas pełnych drgań.

- okres będzie ilorazem czasu przez liczbe pełnych wachnięć (T=t/n).

- znalezione wartości podstawiamy do wzoru i obliczamy przyspieszenie g.

- pomiary wykonujemy dla trzech długości l₁.

lp	d	l1	l	t	n	tśr	T	g	gśr
	mm	m	m	s		s	s	m/s^2	m/s^2
1				55,01	30
2	14,58	0,085	0, 923	56,02	30	55,34	1,845	10,7
3				55,01	30
4				57,00	30
5	14,58	0,090	0, 973	57,01	30	56,67	1,89	10,95	10,8
6				56,00	30
7				54,02	30
8	14,58	0,083	0,903	54,40	30	54,14	1,80	10,99
9				54,00	30

Przykłady obliczeń:

l = l₁-d/2= 0,085[m] + 0,0729[m] = 0,0923[m]

T = t_śr/n = 55,34[s] / 30 = 1,845[s]

1. Dyskusja błędów:

2. Metoda różniczkowa:

3. Wnoski

Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła matematycznego jest możliwe, ponieważ jak wynika ze wzoru na okres drgań (T) wahadła matematycznego nie zależy on od masy, ani amplitudy, a jedynie od długości wahadła.