I c ) a_n=(-1)ⁿ*(n²-2n) => a3=? => a₃=(-1)³*(3²-2*3)= -1*(9-6)= -1*3= -3/III d) d_n+1=3(n+1)-7=3n+3-7=3n-4 => d_n+1-d_n=3n-4-(3n-7)=3n-4-3n+7=3 ciąg arytmetyczny!/V d) a₁=2;r= -3 => a_n=a₁+(n-1)r => a_n=2+(n-1)*(-3)=2-3n+3=-3n+5=5-3n/VII d)a_n=4n-1 => a_n=a₁+(n-1)r => a_n=a₁+nr-r => a_n=a₁+4n-r => a₁-r= -1 => r=4 bo 4n=nr =>a₁-4= -1 => a₁= -1+4=3 => a₅=a₁+4r => a₅=3+4*4 => a₅=3+16=19 => s₅=[(a₁+a₅)/2 ]*5 => s₅=[(3+19)/2]*5=(22/2)*5=11*5=55/IX)/XI) -2n²+8n+10>0 => Δ =b²-4ac => Δ =8²-4(-2)*10 => 64+80=144 => pierwiastek z Δ=12 => n₁= -8-12/-4= -20/-4=5 => n₂= -8+12/-4=4/-4= -1 => muszą to być liczby C⁺ wiec ODP: a₁,a₂,a₃,a₄,a₅/ XIII) a₄+a₆=4 => a₁+3r+a₁+5r=4 => 2a₁+8r=4 => a₅+a₇+a₈=16 =>a₁+4r+a₁+6r+a₁+7r=16 => 3a₁+17r=16 => układ równań 2a₁+8r=4 /*3 ; 3a₁+17r=16 /*(-2) => 6a₁+24r=12 ; -6a₁-34r= -32 => -10r= -20 /:(-10) => r=2 => 2*a₁+8*2=4 => 2*a₁=4-16 => 2a₁=-12 /:2 => a₁= -6 ODP: a₁= -6 ; r=2 ;a_n=2n-8/XV)Sn=((a1+an)/2)*n, stąd: Z treści zadania wynika, że: 10=((10-9)/2)*n, stąd obliczamy n: n=20 Korzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego: -9=10+(20-1)*r, stąd obliczamy r: r=-1 / XVII /XIX/a+b+c=24 => c=24−a−b ; b=a+2 ; c=b+2 => 24−a−b = b+2 => 22 − a = 2b => 22−a =2(a+2) => 22−a=2a+4 => 18=3a => a=6 ; b=6+2=8;c=24−6−8=10/XXI)a₁ = 10,3 ; r= -0,75 ; a = a₁+ (n-1)*r => 7,3 = 10,3 + (n-1) *(-0,75) => -3=(n-1)*3/4 :(-4/3) => n-1= 4 => n=5 => Sn=10,3+7,3/2 *5=17,6/2 *5= 8,8*5=44 ODP: 44 km

IIb)a_n=5-3n => a_n+1=5-3(n+1)=5-3n-3=2-3n =>a_n+1-a_n=2-3n-(5-3n)=2-3n-5+3n= -3 => a_n+1-a_n<0 czyli malejący/IVc) a₃=2 ; a₄=5 => a₁+2r=2 ; a₁+3r=5 => a₁=2-2r ; 2-2r+3r=5 => r=3 => a₁+2*3=2 => a₁=2-6= -4 => a₂=a₁+r= -4+3= -1/ VIc)a_n=4n-9 => a₁=? ; r=? => a1=4*1-9=4-9= -5=> a_n+1-a_n=4(n+1)-9-(4n-9)=4n+4-9-4n+9=4 => r=4/VIIIc)a₁=7 ; r=4 => a_n=a₁+(n-1)r => a_n=7+(n-1)*4=7+4n-4 => a_n=4n+3 => 35=4n+3 => 32=4n :4 => n=8/Xd)a1=3 ; q=4 => s=a₁*(1-qⁿ/1-q) => s=3*(1-4ⁿ/1-4) =>s=(1-4ⁿ/-1) => s=-1+4n=4n-1/XII) n⁴ −n³ −27n +27=0 => n³(n−1) −27( n−1)=0 => ( n−1)(n³−27)=0 => (n−1)( n−3)(n²+3n+9)=0 => n-1=0 ; n=1 => n-3=0 ; n=3 ODP: 1 i 3/XIV) 5,a₂,a₃,a₄,11 => a₁=5 ; a₁+4r=11 => 5+4r=11 => 4r=6 :4 => r=3/2 => a_n=a₁+3/2 ; a₂=5+3/2=6,5 ; a₃=a₂+r=6,5+3/2=8 ; a₄=a₃+r=8+3/2=9,5 ODP: 6,5 ; 8 i 9,5/XVI) 3,a₂,a₃,a₄,16/27 => a_n=a₁*q^n-1 => a₅=a₁*q⁴ => 16/27=3*q⁴ :3 =>q⁴=16/27*1/3=16/81=2/3 => a₂=a₁*q=3*2/3=6/3=2 => a₃=a₂*q=2*2/3=4/3 => a₄=a₃*q=4/3 *2/3 =8/9 ODP: 2 ; 4/3 ; 8,9/ XVIII) 11, 15, 19, 23, ..., 99 − ciąg arytmetyczny o a₁ = 11 i r= 4 => a_n = a₁ + (n−1)r = 11 + (n−1)*4 = 4n + 7 ; n należy N+ i n≥1 => 4n + 7 ≤ 99 => 4n ≤ 92 czyli n ≤ 23 => Sn=[(a₁*a_n)/2]*n => S₂₃=11+99/2 *23=110/2 * 23=55*23=1265 ODP: 1265/XX)Dla 1,3 i 5 wyrazu ciągu arytmetycznego mamy zależność : a3-a1=2r i a5-a3=2r , stąd: a3-a1=a5-a3 => 12-(3x+15)=27x-1-12 => 12-3x-15=27x-13 +> -3x-27x=-13-12+15 => -30x=-10 /:(-30) => x=1/3/XXII) a₁=2 ;b₁=9 => a1, a2, a3 ciąg arytmetyczny ; a₁=2 pierwsza półka ; a₂=a₁+r=2+r druga półka ; a₃=a₁+2r=2+2r trzecia półka => b₁=a₂=a₁+r=2+r ciąg geometryczny ; druga półka b₂=b₁*q=(r+2)*q=2+2r trzecia półka b₃=b₁*q²=(r+2)*q²=9 czwarta półka => (2+2r)²=9*(2+r) => 4+8r+4r²=18+9r => 4r²−r−14=0 => Δ=1+16*14=225 => √Δ=15 => r1=1+15/8= 16/8 =2 Czyli ODP :a1=2 , a2=4 ,a3=6 ,a4=9

I c ) a_n=(-1)ⁿ*(n²-2n) => a3=? => a₃=(-1)³*(3²-2*3)= -1*(9-6)= -1*3= -3/III d) d_n+1=3(n+1)-7=3n+3-7=3n-4 => d_n+1-d_n=3n-4-(3n-7)=3n-4-3n+7=3 ciąg arytmetyczny!/V d) a₁=2;r= -3 => a_n=a₁+(n-1)r => a_n=2+(n-1)*(-3)=2-3n+3=-3n+5=5-3n/VII d)a_n=4n-1 => a_n=a₁+(n-1)r => a_n=a₁+nr-r => a_n=a₁+4n-r => a₁-r= -1 => r=4 bo 4n=nr =>a₁-4= -1 => a₁= -1+4=3 => a₅=a₁+4r => a₅=3+4*4 => a₅=3+16=19 => s₅=[(a₁+a₅)/2 ]*5 => s₅=[(3+19)/2]*5=(22/2)*5=11*5=55/IX)/XI) -2n²+8n+10>0 => Δ =b²-4ac => Δ =8²-4(-2)*10 => 64+80=144 => pierwiastek z Δ=12 => n₁= -8-12/-4= -20/-4=5 => n₂= -8+12/-4=4/-4= -1 => muszą to być liczby C⁺ wiec ODP: a₁,a₂,a₃,a₄,a₅/ XIII) a₄+a₆=4 => a₁+3r+a₁+5r=4 => 2a₁+8r=4 => a₅+a₇+a₈=16 =>a₁+4r+a₁+6r+a₁+7r=16 => 3a₁+17r=16 => układ równań 2a₁+8r=4 /*3 ; 3a₁+17r=16 /*(-2) => 6a₁+24r=12 ; -6a₁-34r= -32 => -10r= -20 /:(-10) => r=2 => 2*a₁+8*2=4 => 2*a₁=4-16 => 2a₁=-12 /:2 => a₁= -6 ODP: a₁= -6 ; r=2 ;a_n=2n-8/XV)Sn=((a1+an)/2)*n, stąd: Z treści zadania wynika, że: 10=((10-9)/2)*n, stąd obliczamy n: n=20 Korzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego: -9=10+(20-1)*r, stąd obliczamy r: r=-1 / XVII /XIX/a+b+c=24 => c=24−a−b ; b=a+2 ; c=b+2 => 24−a−b = b+2 => 22 − a = 2b => 22−a =2(a+2) => 22−a=2a+4 => 18=3a => a=6 ; b=6+2=8;c=24−6−8=10/XXI)a₁ = 10,3 ; r= -0,75 ; a = a₁+ (n-1)*r => 7,3 = 10,3 + (n-1) *(-0,75) => -3=(n-1)*3/4 :(-4/3) => n-1= 4 => n=5 => Sn=10,3+7,3/2 *5=17,6/2 *5= 8,8*5=44 ODP: 44 km

IIb)a_n=5-3n => a_n+1=5-3(n+1)=5-3n-3=2-3n =>a_n+1-a_n=2-3n-(5-3n)=2-3n-5+3n= -3 => a_n+1-a_n<0 czyli malejący/IVc) a₃=2 ; a₄=5 => a₁+2r=2 ; a₁+3r=5 => a₁=2-2r ; 2-2r+3r=5 => r=3 => a₁+2*3=2 => a₁=2-6= -4 => a₂=a₁+r= -4+3= -1/ VIc)a_n=4n-9 => a₁=? ; r=? => a1=4*1-9=4-9= -5=> a_n+1-a_n=4(n+1)-9-(4n-9)=4n+4-9-4n+9=4 => r=4/VIIIc)a₁=7 ; r=4 => a_n=a₁+(n-1)r => a_n=7+(n-1)*4=7+4n-4 => a_n=4n+3 => 35=4n+3 => 32=4n :4 => n=8/Xd)a1=3 ; q=4 => s=a₁*(1-qⁿ/1-q) => s=3*(1-4ⁿ/1-4) =>s=(1-4ⁿ/-1) => s=-1+4n=4n-1/XII) n⁴ −n³ −27n +27=0 => n³(n−1) −27( n−1)=0 => ( n−1)(n³−27)=0 => (n−1)( n−3)(n²+3n+9)=0 => n-1=0 ; n=1 => n-3=0 ; n=3 ODP: 1 i 3/XIV) 5,a₂,a₃,a₄,11 => a₁=5 ; a₁+4r=11 => 5+4r=11 => 4r=6 :4 => r=3/2 => a_n=a₁+3/2 ; a₂=5+3/2=6,5 ; a₃=a₂+r=6,5+3/2=8 ; a₄=a₃+r=8+3/2=9,5 ODP: 6,5 ; 8 i 9,5/XVI) 3,a₂,a₃,a₄,16/27 => a_n=a₁*q^n-1 => a₅=a₁*q⁴ => 16/27=3*q⁴ :3 =>q⁴=16/27*1/3=16/81=2/3 => a₂=a₁*q=3*2/3=6/3=2 => a₃=a₂*q=2*2/3=4/3 => a₄=a₃*q=4/3 *2/3 =8/9 ODP: 2 ; 4/3 ; 8,9/ XVIII) 11, 15, 19, 23, ..., 99 − ciąg arytmetyczny o a₁ = 11 i r= 4 => a_n = a₁ + (n−1)r = 11 + (n−1)*4 = 4n + 7 ; n należy N+ i n≥1 => 4n + 7 ≤ 99 => 4n ≤ 92 czyli n ≤ 23 => Sn=[(a₁*a_n)/2]*n => S₂₃=11+99/2 *23=110/2 * 23=55*23=1265 ODP: 1265/XX)Dla 1,3 i 5 wyrazu ciągu arytmetycznego mamy zależność : a3-a1=2r i a5-a3=2r , stąd: a3-a1=a5-a3 => 12-(3x+15)=27x-1-12 => 12-3x-15=27x-13 +> -3x-27x=-13-12+15 => -30x=-10 /:(-30) => x=1/3/XXII) a₁=2 ;b₁=9 => a1, a2, a3 ciąg arytmetyczny ; a₁=2 pierwsza półka ; a₂=a₁+r=2+r druga półka ; a₃=a₁+2r=2+2r trzecia półka => b₁=a₂=a₁+r=2+r ciąg geometryczny ; druga półka b₂=b₁*q=(r+2)*q=2+2r trzecia półka b₃=b₁*q²=(r+2)*q²=9 czwarta półka => (2+2r)²=9*(2+r) => 4+8r+4r²=18+9r => 4r²−r−14=0 => Δ=1+16*14=225 => √Δ=15 => r1=1+15/8= 16/8 =2 Czyli ODP :a1=2 , a2=4 ,a3=6 ,a4=9

I c ) a_n=(-1)ⁿ*(n²-2n) => a3=? => a₃=(-1)³*(3²-2*3)= -1*(9-6)= -1*3= -3/III d) d_n+1=3(n+1)-7=3n+3-7=3n-4 => d_n+1-d_n=3n-4-(3n-7)=3n-4-3n+7=3 ciąg arytmetyczny!/V d) a₁=2;r= -3 => a_n=a₁+(n-1)r => a_n=2+(n-1)*(-3)=2-3n+3=-3n+5=5-3n/VII d)a_n=4n-1 => a_n=a₁+(n-1)r => a_n=a₁+nr-r => a_n=a₁+4n-r => a₁-r= -1 => r=4 bo 4n=nr =>a₁-4= -1 => a₁= -1+4=3 => a₅=a₁+4r => a₅=3+4*4 => a₅=3+16=19 => s₅=[(a₁+a₅)/2 ]*5 => s₅=[(3+19)/2]*5=(22/2)*5=11*5=55/IX)/XI) -2n²+8n+10>0 => Δ =b²-4ac => Δ =8²-4(-2)*10 => 64+80=144 => pierwiastek z Δ=12 => n₁= -8-12/-4= -20/-4=5 => n₂= -8+12/-4=4/-4= -1 => muszą to być liczby C⁺ wiec ODP: a₁,a₂,a₃,a₄,a₅/ XIII) a₄+a₆=4 => a₁+3r+a₁+5r=4 => 2a₁+8r=4 => a₅+a₇+a₈=16 =>a₁+4r+a₁+6r+a₁+7r=16 => 3a₁+17r=16 => układ równań 2a₁+8r=4 /*3 ; 3a₁+17r=16 /*(-2) => 6a₁+24r=12 ; -6a₁-34r= -32 => -10r= -20 /:(-10) => r=2 => 2*a₁+8*2=4 => 2*a₁=4-16 => 2a₁=-12 /:2 => a₁= -6 ODP: a₁= -6 ; r=2 ;a_n=2n-8/XV)Sn=((a1+an)/2)*n, stąd: Z treści zadania wynika, że: 10=((10-9)/2)*n, stąd obliczamy n: n=20 Korzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego: -9=10+(20-1)*r, stąd obliczamy r: r=-1 / XVII /XIX/a+b+c=24 => c=24−a−b ; b=a+2 ; c=b+2 => 24−a−b = b+2 => 22 − a = 2b => 22−a =2(a+2) => 22−a=2a+4 => 18=3a => a=6 ; b=6+2=8;c=24−6−8=10/XXI)a₁ = 10,3 ; r= -0,75 ; a = a₁+ (n-1)*r => 7,3 = 10,3 + (n-1) *(-0,75) => -3=(n-1)*3/4 :(-4/3) => n-1= 4 => n=5 => Sn=10,3+7,3/2 *5=17,6/2 *5= 8,8*5=44 ODP: 44 km

IIb)a_n=5-3n => a_n+1=5-3(n+1)=5-3n-3=2-3n =>a_n+1-a_n=2-3n-(5-3n)=2-3n-5+3n= -3 => a_n+1-a_n<0 czyli malejący/IVc) a₃=2 ; a₄=5 => a₁+2r=2 ; a₁+3r=5 => a₁=2-2r ; 2-2r+3r=5 => r=3 => a₁+2*3=2 => a₁=2-6= -4 => a₂=a₁+r= -4+3= -1/ VIc)a_n=4n-9 => a₁=? ; r=? => a1=4*1-9=4-9= -5=> a_n+1-a_n=4(n+1)-9-(4n-9)=4n+4-9-4n+9=4 => r=4/VIIIc)a₁=7 ; r=4 => a_n=a₁+(n-1)r => a_n=7+(n-1)*4=7+4n-4 => a_n=4n+3 => 35=4n+3 => 32=4n :4 => n=8/Xd)a1=3 ; q=4 => s=a₁*(1-qⁿ/1-q) => s=3*(1-4ⁿ/1-4) =>s=(1-4ⁿ/-1) => s=-1+4n=4n-1/XII) n⁴ −n³ −27n +27=0 => n³(n−1) −27( n−1)=0 => ( n−1)(n³−27)=0 => (n−1)( n−3)(n²+3n+9)=0 => n-1=0 ; n=1 => n-3=0 ; n=3 ODP: 1 i 3/XIV) 5,a₂,a₃,a₄,11 => a₁=5 ; a₁+4r=11 => 5+4r=11 => 4r=6 :4 => r=3/2 => a_n=a₁+3/2 ; a₂=5+3/2=6,5 ; a₃=a₂+r=6,5+3/2=8 ; a₄=a₃+r=8+3/2=9,5 ODP: 6,5 ; 8 i 9,5/XVI) 3,a₂,a₃,a₄,16/27 => a_n=a₁*q^n-1 => a₅=a₁*q⁴ => 16/27=3*q⁴ :3 =>q⁴=16/27*1/3=16/81=2/3 => a₂=a₁*q=3*2/3=6/3=2 => a₃=a₂*q=2*2/3=4/3 => a₄=a₃*q=4/3 *2/3 =8/9 ODP: 2 ; 4/3 ; 8,9/ XVIII) 11, 15, 19, 23, ..., 99 − ciąg arytmetyczny o a₁ = 11 i r= 4 => a_n = a₁ + (n−1)r = 11 + (n−1)*4 = 4n + 7 ; n należy N+ i n≥1 => 4n + 7 ≤ 99 => 4n ≤ 92 czyli n ≤ 23 => Sn=[(a₁*a_n)/2]*n => S₂₃=11+99/2 *23=110/2 * 23=55*23=1265 ODP: 1265/XX)Dla 1,3 i 5 wyrazu ciągu arytmetycznego mamy zależność : a3-a1=2r i a5-a3=2r , stąd: a3-a1=a5-a3 => 12-(3x+15)=27x-1-12 => 12-3x-15=27x-13 +> -3x-27x=-13-12+15 => -30x=-10 /:(-30) => x=1/3/XXII) a₁=2 ;b₁=9 => a1, a2, a3 ciąg arytmetyczny ; a₁=2 pierwsza półka ; a₂=a₁+r=2+r druga półka ; a₃=a₁+2r=2+2r trzecia półka => b₁=a₂=a₁+r=2+r ciąg geometryczny ; druga półka b₂=b₁*q=(r+2)*q=2+2r trzecia półka b₃=b₁*q²=(r+2)*q²=9 czwarta półka => (2+2r)²=9*(2+r) => 4+8r+4r²=18+9r => 4r²−r−14=0 => Δ=1+16*14=225 => √Δ=15 => r1=1+15/8= 16/8 =2 Czyli ODP :a1=2 , a2=4 ,a3=6 ,a4=9