Ćwiczenia 1

Funkcja poznawcza - racjonalna, prawdziwościowa

• pewne wypowiedzi służą do stwierdzania stanu rzeczy

Interesują nas 2 wartości:

• prawda (1),

• fałsz (2);

to jest logika dwuwartościowa.

Zdanie - wypowiedź, która posiada wartość „prawda” lub „fałsz”.

Formalna struktura zdań (budowa)

• nie: co, tylko jak.

SYMBOLE W LOGICE

1 - prawda

0 - fałsz

~ - funktor negacji

- funktor negacji

^ - koniunkcja

v - alternatywa

↔ - równoważność

p, q, r, s - zdania

zmienne zdaniowe

( ) - kontekst

Nie interesuje nas treść zdania, tylko jego forma, budowa.

Najpierw - równoważność.

• Jeśli najpierw ma być np. koniunkcja nawias.

Rachunek predykatu - struktura zdań prostych.

Klasyczny rachunek zdań - struktura zdań złożonych.

Zdania złożone zawsze złożone ze zdań prostych.

FUNKTORY ZDANIOTWÓRCZE (od argumentów zdaniowych) - spójniki

• jednoargumentowy - wytwarza 1 zdanie, stosuje się do 1 zdania prostego

• funktor negacji - „nieprawda, że”

• dwuargumentowe - łączą 2 zdania proste

• funktor „i” - koniunkcja

• funktor „lub” - alternatywa

• funktor „jeżeli, to” - implikacja

• funktor równoważności „wtedy i tylko wtedy”

Przykłady

1. Jeżeli pada śnieg, to nie pada deszcz.

p ~q

2. Jeżeli pada deszcz i pada śnieg, to jest jesień.

(p ^ q) r

3. Ala lubi koty i nieprawda, że Ala lubi psy.

p ^ ~ q

4. Ala ma kota lub Ala ma psa.

p v q

5. Pojadę na wakacje wtedy, i tylko wtedy, kiedy będę miał pieniądze.

p ↔ q

6. Będę miał pieniądze wtedy, i tylko wtedy, gdy zarobię lub pożyczę lub ukradnę.

p ↔ (q v r v s)

7. Pojadę na wakacje, gdy ukradnę pieniądze, ale mnie nie złapią.

p ↔ (q ^ ~ r)

WARTOŚĆ LOGICZNA ZDAŃ

v (p) = 1

v (~ p) = 0

p ^ q

p ^ q

1 1 1

0 0 0

1 0 0

0 0 1

p v q

p v q

1 1 1

0 1 1

1 1 0

0 0 0

p q

p q

1 1 1

1 0 0

0 1 1

0 1 0

p ↔ q

p ↔ q

1 1 1

1 0 0

0 0 1

0 1 0

Ćwiczenia 2

p - teoria Freuda ma prawo do miana nauki

q - teoria Freuda może być potwierdzona przez eksperymenty

r - teoria Freuda może być obalona przez eksperymenty

1. p (~ p r)

2. ~ q (p r)

3. (~ q ^ ~ r) ~ p

4. ~ [~ p (~ q ^ r)]

1. Jeżeli teoria Freuda ma prawo do miana nauki, to jeżeli nieprawda, że teoria Freuda może być potwierdzona przez eksperymenty, to teoria Freuda może być obalona przez eksperymenty.

2. Jeżeli nieprawda, że teoria Freuda może być potwierdzona przez eksperymenty, to jeżeli teoria Freuda ma prawo do nauki, to teoria Freuda może być obalona przez eksperymenty.

3. Jeżeli teoria Freuda nie może być potwierdzony przez eksperymenty i nie może być obalona przez eksperymenty, to nie ma prawa do miana nauki.

4. Nieprawda, że jeżeli teoria Freuda nie ma prawa do miana nauki, to nie może być potwierdzona przez eksperymenty i nie może być obalona przez eksperymenty.

~ (p ^ ~ p), p = 1

~ (1 ^ ~ 1)

~ (1 ^ 0)

~ 0 = 1

TAUTOLOGIE

Tautologia - wyrażenie, które przy dowolnym podstawieniu 1 lub 0, dają zawsze prawdę.

Ćwiczenia 3

(p ^ q) p p = 0

(0 ^ ) 0

0 0

1

(p q) (q p) p = 1, q = 0

1 0

1 0

0

To nie jest tautologia

			(~ p		~ q)		( q		p )
p	q
1	1		0 1	1	0 1	1	1	1	1
1	0		0 1	1	1 0	1	0	1	1
0	1		1 0	0	0 1	1	1	0	0
0	0		1 0	1	1 0	1	0	1	0

Ćwiczenia 4

KONTRTAUTOLOGIE

Kontrtautologia - schemat zdania, które zawsze jest fałszywe.

~(p q) (p q)

q = 1

~(p 1) ↔ (p 1)

~1 1

0 1

1 to nie jest kontrtautologia

~(p q) ↔ (p q)

~r ↔ r

0 to jest kontrtautologia

 

 

 

(~ p

~ q)

~(q

p)

p

q

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

0 1

1

0 1

0

0 1

1

1

1

0

 

0 1

1

1 0

0

0 0

1

1

0

1

 

1 0

0

0 1

0

1 1

0

0

0

0

 

1 0

1

1 0

0

0 0

1

0

Ćwiczenia 5

S₁ (system I) + RO, RP, RZ (reguła zastępowania)

(A₁) (pq)](qr)(pr)]

(A₂) (~pp)p

(A₃) p(~pq)

W - wyrażenie

(D₁) (W₁ v W₂) = (~W₁ W₂)

(D₂) (W₁ ^ W₂) = ~(W₁ ~W₂)

(D₃) (W₁ ≡ W₂) ≡ [(~W₁W₂)~(W₂W₁)]

S₂ (system II) + RO, RP

(A'''1) (pq)[(qr)(p)]

(A'''2) [p(pqq)](pq)

(A'''3) [p(qp)

(A'''4) (p^q)p

(A'''5) (p^q)q

…

Przy pomocy takich systemów można wyprowadzić każde wyrażenie.

p p - tożsamość

p ~~p - podwójna negacja

Ćwiczenia 6

(p↔q) [(pq)^(qp)]

(pq)[(qp)(pr)] A1

[p(~pq){[(~pq)r](pr)} RP1

p(~pq) A3

{[(~pq)r](pr)} RO2

[(~pp)p](pp) RP4

(~pp)p A2

pp RO5

prawo tożsamości jako prawo systemu

Ćwiczenia 7, 8

RACHUNEK KWANTYFIKATORÓW

Odnosi się do zdań prostych.

- duży - dla każdego, wszystkie

odnoszą się do przedmiotów

- mały EGZYSTENCJALNY

- istnieje, jest...

P, R - własności

P(x) - x posiada własność P

Ćwiczenia 9

RACHUNEK ZBIORÓW I RELACJI

a A {a}

element zbiór zbiór 1-elementowy,

którego elementem jest a

a należy do A

a nie należy do A

Elementem zbioru może być zbiór.

Ćwiczenia 10

A c B - wszystkie elementy zbioru A należą do zbioru B

A = {1, 2}

B = { {1,2} 3}

A należy do B

A
B

A = {1, 2}

B = {1, 2, 3}

A c B

---