Ruch harmoniczny prosty

Jest to ruch zachodzący wokół stałego położenia równowagi, który można opisać równaniem :

x = Acos(ωt+ϕ)

gdzie :

x - wychylenie od położenia równowagi

A - amplituda

(ωt+ϕ) - faza drgania harmonicznego

ω - pulsacja (częstotliwość kątowa)

ϕ - przesunięcie fazowe

t - czas od rozpoczęcia drgań

W ruchu harmonicznym prostym siła działająca na punkt jest proporcjonalna do przemieszczenia ( ale ma przeciwny kierunek). Granice wychyleń w tym ruchu są jednakowe po obydwu stronach położenia równowagi.

Prędkość ruchu harmonicznego można wyliczyć ze wzoru :

V = -Aωsin(ωt+ϕ)

Przyspieszenie obliczamy ze wzoru :

a = -Aω*cos(ωt+ϕ) = -ω*x

Drgania torsyjne bryły sztywnej

Są to drgania powstałe w układach sprężystych, gdy poszczególne elementy tych układów poddane są odkształceniu skrętnemu. Najczęstszym przypadkiem drgań torsyjnych są drgania wału korbowego ze związanymi z nim masami.

Moment bezwładności punktu i bryły sztywnej

Każde ciało można podzielić na dowolnie małe elementy , które możemy uważać za punkty materialne. Rozpatrzmy ciało i zawarty w nim jeden jego elementów o masie dm. Jego położenie względem osi układu współrzędnych określają współrzędne x,y,z.

Moment bezwładności ciała o masie m względem płaszczyzn XY,YZ,ZX, nazywamy granice, do których dążą sumy iloczynów mas elementów ciała dm przez kwadraty ich odległości od płaszczyzn, gdy liczba elementów rośnie nieograniczenie, zaś ich wymiary dążą do zera.

Moment bezwładności ciała względem danej osi:

I_x=

I_x=

I_x=

Z zależności tych wynika, że moment bezwładności ciała względem dowolnej osi jest równy sumie momentów bezwładności tego ciała względem dwóch prostopadłych płaszczyzn, którą krawędzią przecięcia jest dana oś.

Momentem odśrodkowym (dewiacyjnym) ciała względem dwóch prostopadłych do siebie płaszczyzn następuje wyrażenie:

I_xy=

I_yz=

I_zx=

Z definicji momentu wynika ich wymiar. Jest nim iloczyn masy i kwadratu długości , a więc jednostką główną jest [kg*m²] .

Jeżeli momenty odśrodkowe dowolnego ciała względem trzech par płaszczyzn układu są równe zeru, to osie współrzędnych są głównymi osiami bezwładności tego ciała. Jeżeli początek tych osi znajduje się w środku masy ciała, to osie nazywa się głównymi centralnymi osiami bezwładności ciała.

Moment bezwładności:

gdzie :

• 
  okres drgań ustalony dla danej osi obrotu

• okres drgań ramki wahadła = 0.992 s

• okres drgań bryły o znanym momencie bezwładności = 1.25 s

• moment bezwładności znanej bryły

Natomiast moment bezwładności obliczony należało wyliczyć ze wzoru :

gdzie :

• 
  główne momenty bezwładności

• kąty jakie tworzy oś obrotu z kierunkami głównymi tj.

osiami a, b, c

główne momenty bezwładności oblicza się ze wzorów :

natomiast moment bezwładności prostopadłościanu względem głównej przekątnej można obliczyć ze wzoru :

Tensor momentu bezwładności bryły sztywnej

Tensor momentu bezwładności (tensor bezwładności) możemy zapisać w postaci macierzy kwadratowej:

I
=

Wielkości I_{xx ,} I_xy,..... nazywamy składowymi tensora. Składowe I_xx ,I_yy ,I_zz leżące na przekątnej tablicy nazywamy diagonalnymi. Wartości składowych zależą od wyboru układu współrzędnych. Tensor ten charakteryzuje bezwładne własności bryły w ruchu obrotowym.

W wyniku szeregu operacji dochodzimy do możliwości wypisania wzorów na składowe tensora I w postaci tablicy:

I =

Diagonalne składowe tensora są momentami bezwładności względem odpowiednich osi układu współrzędnych . Składowe nie diagonalne nazywamy dewiacyjnymi momentami bezwładności .

Jeżeli osie układu współrzędnych są osiami głównymi bezwładności, to tensor bezwładności ma postać :

I=

Wielkości I_x I_y I_z nazywamy głównymi momentami bezwładności bryły. Głównymi momentami bezwładności nazywamy momenty osiowe, obliczone nie dla dowolnych osi, lecz osi głównych bryły.

WNIOSKI.

Okazało się, że zastosowana metoda pomiaru momentu bezwładności jest niezwykle dokładna. Stwierdzamy to po obliczonych w tabeli błędach różniczki zupełnej i procentowym, które były znacznie mniejszego rzędu niż obliczony moment bezwładności. Po zaokrągleniu do 5 miejsc po przecinku okazało się, że moment bezwładności obliczony i eksperymentalny w ogóle nie różnią się od siebie.

Za pomocą metody drgań skrętnych wyznaczania momentu bezwładności możemy wyznaczyć moment bezwładności dowolnej bryły, jeżeli tylko uda nam się obliczyć kąty pomiędzy osią obrotu, a osiami x,y,z oraz uda nam się uchwycić daną bryłę w ramce przyrządu.

Jeżeli wielkości takie jak masa brył i ich rozmiary potraktujemy jako nie obarczone błędem pomiaru; ponadto przyjmiemy iż bryły miały doskonały kształt, symetryczność, że kąt nachylenia brył względem osi był prawidłowy,

to możemy mówić jedynie o błędzie wynikającym z niedokładności urządzenia pomiarowego (niedokładny pomiar czasu).

Tabela pomiarowa

RODZAJ OBCIĄŻNIKA	MASA OBCIĄŻNIKA	WYMIARY OBCIĄŻNIKA k1 x k2 x k3	OŚ OBROTU	LICZBA DRGAŃ n	CZAS DRGAŃ t	OKRES DRGAŃ T	MOMENT BEZWŁADNOŚCI WYZNACZONY Ieksp.	MOMENT BEZWŁADNOŚCI OBLICZONY Iobl.
Ramka	----------	--------	----	10	9,896	0,9896
Bryła I	0,980 kg	0,05 x 0,05 x 0,05 m	a b c d	10 10 10 10	12,478 12,478 12,459 12,482	1,2478 1,2478 1,2459 1,2482		4,0833333*10^-4 4,0833333*10^-4 4,0833333*10^-4 4,1511226*10^-4
Bryła II	1,884 kg	0,04 x 0,06 x 0,1 m	a b c d	10 10 10 10	15,429 19,850 15,405 16,697	1,5429 1,9850 1,5405 1,6697		8,164*10^-4 0,0018212 9,6010372*10^-4 0,00125188
Bryła III	1,962 kg	0,05 x 0,05 x 0,1 m	a b c d	10 10 10 10	14,623 19,604 15,743 16,439	1,4623 1,9604 1,5743 1,6439		8,175*10^-4 0,00204375 0,001049761 0,001230153

---