Lista 3. Wyznaczanie równań liniowych modelu ekonometrycznego za pomocą metody najmniejszych kwadratów.
Zad 1. Badano zależność między wielkością produkcji X pewnego wyrobu, a zużyciem Y surowca, z którego ten wyrób się wytwarza. Dla losowo pobranej próby n = 7 obserwacji otrzymano następujące wyniki (xi - w tys. Sztuk, yi - w tonach):
xi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
yi |
8 |
13 |
14 |
17 |
18 |
20 |
22 |
Na podstawie tych obserwacji KMNK znaleźć:
a). równanie liniowe regresji;
b). obliczyć błędy standardowe dla współczynników strukturalnych;
c). znaleźć błąd (standardowy) modelu;
d). przetestować statystyczną istotność parametrów strukturalnych modelu;
e). obliczyć współczynniki stochastyczne modelu (współczynnik zmienności losowej, współczynnik zbieżności, współczynnik determinacji oraz zbadać koincydencję).
Ponadto na podstawie otrzymanych wyników ocenić model, czyli stopień jego zgodności z rzeczywistością, którą on opisuje.
Zad. 2. Badając w poradni psychotechnicznej zmęczenie pracowników po pewnej pracy trwającej bez przerwy od 1 do 5 godzin otrzymano następujące dane dotyczące średniej liczby błędów popełnionych w teście na zmęczenie, jakim badano tych pracowników (X - czas nieprzerwanej pracy liczony w godzinach, Y - średnia liczba błędów w teście zmęczenia):
xi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
yi |
2 |
3 |
6 |
11 |
20 |
Na podstawie tych wyników należy oszacować parametry strukturalne krzywej regresji liczby błędów względem czasu nieprzerwanej pracy.
Zad. 3. Wysunięto przypuszczenie, że istnieje liniowa zależność między wytrzymałością pewnego materiału budowlanego Y, a ilością składników X1 i X2 w tym materiale. Przeprowadzono 5 pomiarów wytrzymałości tego materiału dla różnych ilości składników i otrzymano następujące wyniki (x1i i x2i w dziesiątkach procent. A yi w setkach kG/cm2):
X1 |
X2 |
Y |
0 |
0 |
5 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
6 |
1 |
1 |
4 |
2 |
1 |
5 |
Przyjmując α = 0,05 oszacować i przetestować statystyczną istotność parametrów strukturalnych regresji wielorakiej wytrzymałości materiału względem ilości badanych dwu składników.
Zad.4. W pewnym przedsiębiorstwie przemysłowym stwierdzono w toku długotrwałych doświadczeń, że funkcja regresji wielkości jednostkowych kosztów produkcji Y pewnego wyrobu względem wielkości produkcji X tego wyrobu może być dobrze aproksymowana funkcją kwadratową
g(x) = αx2 + βx + g.
Próba prosta 5 - elementowa dała następujące wyniki (xi - w tys. sztuk, yi - w tys. złotych):
xi |
1 |
2 |
4 |
6 |
7 |
yi |
5 |
2 |
1 |
3 |
4 |
W oparciu o te wyniki należy wyznaczyć prognozę wielkości jednostkowych kosztów produkcji dla x = 5 tys. sztuk produkcji danego wyrobu.
Zad.5. Dla poniższych danych zbadaj możliwość wyznaczenia równań regresji:
a).
Y |
X1 |
X2 |
X3 |
2 |
1 |
1 |
1 |
4 |
2 |
4 |
3 |
8 |
4 |
8 |
5 |
6 |
6 |
12 |
7 |
7 |
8 |
16 |
9 |
b).
Y |
X1 |
X2 |
X3 |
X4 |
X5 |
3 |
1 |
0 |
3 |
0 |
7 |
5 |
2 |
3 |
5 |
1 |
9 |
7 |
3 |
4 |
7 |
0 |
8 |
4 |
4 |
5 |
6 |
1 |
12 |
Odpowiedź uzasadnij.
Zad.6. Badając zależność wielkości produkcji od stopnia zużycia surowców na tę produkcję zdecydowano znaleźć równanie regresji dwiema różnymi metodami. Następnie obliczono reszty dla obu modeli. Otrzymano następujące ciągi reszt:
a). 1, 2, -1, -1, 0, -1, 3, -2, -1, 2, -2
b). 1, 2, 1, 1, 0, -1, -3, 2, -2, 2, 2
Jedną z reguł budowy modelu stanowiła metoda najmniejszych kwadratów. Który ciąg reszt odpowiada tej metodzie? Odpowiedź uzasadnij.
Uwaga. Oba równania zawierają wyraz wolny.