Ekonometria (listy zadań)

Lista 1. (Analiza wariancji - ANOVA)

Zad.1. Przeprowadzono próby dla porównania czterech rodzajów benzyny. Trzy próbne jazdy z jednym galonem benzyny każdego rodzaju dały następujące wyniki (w milach):

Benzyna 1: 20, 23, 23

Benzyna 2: 17, 20, 20

Benzyna 3: 16, 17, 24

Benzyna 4: 21, 26, 25.

Chcemy rozstrzygnąć, czy różnice między tymi liczbami są istotne, czy też można je przypisać przypadkowi?

Przeprowadzone obliczenia dały następujące wyniki, które podaje poniższa tabela:

Źródło zmienności	Stopnie swobody	Suma kwadratów	Wariancja (średnia kwadratów)	Test F
Postępowanie (między rodzajami benzyny)	54	3	18
Błąd	64	8	8
Razem	118	11

Rozstrzygnąć dla α = 0,05, czy można przyjąć hipotezę H₀, że średnie m₁, m₂, m₃ i m₄ (spalanie benzyny) są równe, czy też należy przyjąć hipotezę alternatywną H₁.

Zad.2. Ceny detaliczne jednego kilograma pewnego rodzaju jarzyny w trzech miastach w poszczególnych kwartałach mają rozkład zbliżony do normalnego o jednakowej wariancji. W jednym roku w losowo wybranych targowiskach ceny (w zł) kształtowały się następująco:

Miasta	Kwartały
1	20	15	7	18
2	18	10	9	15
3	19	12	14	15

Na poziomie istotności 0,05 zweryfikować hipotezę o braku wpływu regionu i pory roku na cenę detaliczną tej jarzyny (np. marchwi) na podstawie obliczeń zawartych w poniższej tabeli:

Źródło zmienności	Suma kwadratów	Stopnie swobody	Wariancja	Test F
Czynnik A (miasta)	10, 65	2	5, 34	FA = 0,9 FB = 8,0
Czynnik B (kwartały)	142, 41	3	47, 47
Błąd losowy	35, 59	6	5, 93

Zad.3. Badano wyniki wydajności pracy ze względu na cztery różne metody szkolenia u 40 losowo wybranych pracowników oraz ze względu na płeć. Wyniki wydajności ujmuje poniższa tabela (wydajność jest liczona w pewnych jednostkach):

		Metody szkolenia Czynnik B
				M1	M2	M3	M4
Płeć Czynnik A	Mężczyźni	4,76 4,78 4,79 5,25 5,12	3,78 3,69 3,63 3,90 4,02	3,91 3,92 4,06 4,27 4,14	3,55 3,64 3,69 3,58 3,66
		Kobiety	4,37 4,26 4,22 4,73 4,85	4,02 4,18 4,75 4,45 4,10	3,61 3,42 3,52 3,69 3,26	4,66 4,23 3,78 4,01 3,75

Dla przetestowania odpowiednich hipotez o równości średnich zastosowano model z interakcją. Wyniki obliczeń podaje poniższa tabela:

Źródło zmienności	Liczba stopni swobody	Suma kwadratów	Średni kwadrat	Wartość statystyki F
Czynnik A (płeć)	1	0,0098	0,0098	0,18 32, 37 16,35
Czynnik B (metody szkolenia)	3	5,3598	1,7866
Interakcja Płeć x Metody szkolenia	3	2,7080	0,9026
Błąd	32	1,7669	0,0552

Dla powyższych wyników sformułować właściwe hipotezy i dla α = 0,05 zweryfikować je oraz jeśli wystąpi interakcja zilustrować ją graficznie postępując w sposób następujący:

Obliczamy średnie grup szkoleniowych i porządkujemy je według wielkości od najmniejszej do największej. Na osi odciętych odkładamy w równych odległościach punkty, które oznaczamy numerami grup w takiej kolejności, w jakiej uporządkowały się średnie. Na osi rzędnych odkładamy wartości średnich grup. Na płaszczyźnie otrzymamy cztery punkty, gdy połączymy je linią (łamaną), otrzymamy tzw. efekt główny dla metod szkolenia. Następnie dla każdej płci oddzielnie wykreślamy podobne łamane, przyjmując dla ich punktów uprzednio ustaloną kolejność. Ewentualne przecinanie się łamanych świadczyć będzie o istnieniu interakcji. Jeśli będą przynajmniej w przybliżeniu równoległe, wówczas świadczyć to będzie o braku interakcji.

Tabela średnich - dla wyznaczenia wykresu.

		Metody szkolenia				Średnie płci
				M1	M2		M3	M4
	Płeć	M	4,94	3,80	4,06	3,62	4,11
		K	4,49	4,40	3,50	4,09	4,12
		Średnie metod szkolenia	4,71	4,10	3,78	3,85
		Różnica średnich w podgrupach	4,94 - 4,49 = 0,45	- 0,60	0,56	- 0,47

---