Wykład 24

24. Drgania elektromagnetyczne

1. Wstęp

Przypomnienie: masa M na sprężynie, bez oporów. Równanie ruchu

Rozwiązania

x = Acosωt

v = dx/dt = Aωsinωt

a = d²x/dt² = -Aω²cosωt

przy warunku ω = (k/M)^1/2.

2. Obwód LC

Rozpatrzmy obwód złożony z szeregowo połączonych indukcyjności L i pojemności C. Opór omowy jest równy zeru (R = 0). Załóżmy, że w chwili początkowej na kondensatorze C jest nagromadzony ładunek q_m, a prąd przez cewkę jest równy zeru.

Energia zawarta w kondensatorze

WC = qm^2/(2C)

(24.1)

jest maksymalna, a energia w cewce

WL = LI^2/2

(24.2)

jest równa zeru.

Po zamknięciu obwodu, kondensator rozładowuje się przez cewkę. W obwodzie płynie prąd I = dq/dt. W miarę jak maleje ładunek na kondensatorze maleje też energia zawarta w polu elektrycznym kondensatora a rośnie energia pola magnetycznego, które pojawia się w cewce w miarę narastania w niej prądu.

Wreszcie gdy ładunek spadnie do zera cała energia jest przekazana do pola magnetycznego cewki. Prąd w cewce indukcyjnej ma maksymalną wartość. Ten prąd ładuje kondensator (przeciwnie) więc energia jest ponownie przekazywana do kondensatora. Stan końcowy jest taki jak początkowy tylko kondensator jest naładowany odwrotnie. Sytuacja powtarza się. Mamy więc do czynienia z oscylacjami ładunku (prądu).

Opis ilościowy

Z prawa Kirchoffa

V_L + V_C = 0

(24.3)

Ponieważ I = dq/dt więc

(24.4)

To jest równanie analogiczne do przypomnianego równania dla sprężyny, przy czym następujące wielkości są analogiczne

q ↔ x, L ↔ M, 1/C ↔ k

Tak więc możemy napisać rozwiązanie tego równania

q = q_mcosωt

I = dq/dt = q_mωsinωt = I_msinωt

ω = (1/LC)^1/2

(24.5)

gdzie I_m = q_mω

V_L = - LdI/dt = - LI_mωcosωt

V_C = q/c = (q_m/C)cosωt

Ponieważ

LI_mω = Lq_mω² = Lq_m(1/LC) = q_m/C

widać, że amplitudy napięć są takie same.

3. Obwód szeregowy RLC

Dotychczas rozważaliśmy obwód zwierający indukcyjność L oraz pojemność C. Tymczasem każdy obwód ma pewien opór R, przykładowo jest to opór drutu z którego nawinięto cewkę. Obecność oporu w obwodzie powoduje straty energii w postaci wydzielającego się ciepła. Energia zawarta w obwodzie maleje i otrzymujemy drgania tłumione analogiczne do drgań tłumionych sprężyny opisanych w wykładzie 12, przy czym współczynnik tłumienia 1/2 jest równy R/2L.

Drgania w obwodzie RLC można podtrzymać jeżeli obwód będziemy zasilać napięciem sinusoidalnie zmiennym

Prawo Kirchhoffa dla obwodu zawierającego elementy R, L, C oraz źródło SEM ma postać

(24.6)

różniczkując po dt

(24.7)

albo

(24.8)

To jest równanie analogiczne do omawianego dla oscylatora wymuszonego przy R/L ↔ 1/τ, 1/LC ↔ ω₀² oraz ωV₀/L ↔ α₀.

Rozwiązanie ma więc analogiczną postać
.

Amplituda wynosi więc

(24.9)

a między napięciem i natężeniem prądu istnieje różnica faz, dana równaniem

(24.10)

Wyrażenie (24.9) ma postać prawa Ohma przy czym stała proporcjonalności pomiędzy V₀ i I₀

(24.11)

pełni analogiczną rolę jak opór R w prawie Ohma. Wielkość Z nazywamy impedancją (zawadą) obwodu.

Rezonans (dla małego tłumienia czyli małego R) otrzymujemy gdy ω = ω₀ tzn. gdy ω² = 1/(LC) Wtedy

Gdy zmienne sinusoidalne napięcie przyłożymy do kondensatora to

Stąd

co dla V=V₀sinωt daje

Stąd

Widać, że prąd wyprzedza napięcie na kondensatorze o 90°.

Maksymalny prąd I₀ = V₀/(ωC) a stała proporcjonalności 1/ωC pełniąca rolę analogiczną do oporu w obwodzie prądu stałego nazywamy reaktancją pojemnościową.

XC = 1/ωC

(24.12)

Jeżeli generator prądu zmiennego podłączymy do cewki indukcyjnej to analogicznie można pokazać, że

Prąd pozostaje za napięciem o 90° a reaktancja indukcyjna ma wartość

XL = ωL

(24.12)

Zauważmy, że w obwodzie RLC, pomimo połączenia szeregowego oporów omowego, pojemnościowego i indukcyjnego ich opór zastępczy (zawada) nie jest prostą sumą tych oporów. Wynika to właśnie z przesunięć fazowych.

Trzeba je uwzględnić przy dodawaniu napięć.

V = V_R + V_C + V_L

czyli

V = I₀Rsinωt - X_CI₀cosωt + X_LI₀cosωt

(na kondensatorze U pozostaje za I, na cewce U wyprzedza I)

Stąd

Możemy teraz dodać sinus i cosinus graficznie tak jak na rysunku poniżej.

ϕ - jest tutaj kątem fazowym.

tgϕ = (X_L - X_C)/R

Ponownie zawada Z = (R² + (X_L - X_C)²)^1/2

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

23-14

24-5

---