Zajęcia nr 5 - matematyka, 18 kwietnia 2010

Ciąg jest to funkcja, której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych dodatnich N₊ (ciąg nieskończony) lub pewien początkowy fragment zbioru N₊ (ciąg skończony).

Ciąg rosnący - gdy dla każdego
spełniony jest warunek
.

Ciąg malejący - gdy dla każdego
spełniony jest warunek
.

Ciąg stały - gdy dla każdego
spełniony jest warunek
.

Ciąg arytmetyczny - różnica między kolejnymi wyrazami jest stała.

Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

Jeżeli liczby a,b,c są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego to 2b=a+c.

Ciąg geometryczny - iloraz jego kolejnych wyrazów jest stały.

Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

Dla ciągu nieskończonego i 0<q<1 mamy:

Jeżeli liczby a,b,c są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego to

Ułamek okresowy - 0,372372372... = 0,(372)=a

Zauważmy, że 0,001a=0,000372372372...

a-0,001a=0,372, stąd 0,999a=0,372

Procent składany:

, gdzie K-kapitał początkowy, złożony na n lat w banku na p% w skali roku.

Zadania do zajęć:

1. Długości boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny. Dwa spośród nich są równe 8 cm i 10 cm. Wyznacz trzeci bok.

2. Suma trzech liczb tworzących ciąg geometryczny wynosi 65. Jeśli do środkowej liczby dodamy 10, to powstanie ciąg arytmetyczny. Znajdź te liczby.

3. Młodszy brat urodził się, gdy starszy miał 5 lat. Dwadzieścia kilka lat później starszy brat powie­dział do młodszego: „Jesteś już prawie w moim wieku". Uzasadnij te słowa, rysując wykresy dwóch ciągów: (a_n) wyrażającego w procentach stosunek wieku młodszego brata do wieku starszego oraz ciągu stałego (b_n) o wartości 1 (czyli 100%).

4. W pewnym biurze zbadano, ile błędów popełniają pracownicy przy wprowadzaniu danych do kom­putera. Badanie wykazało, że średnią liczbę błę­dów na jednego pracownika w n-tej godzinie pra­cy można w przybliżeniu wyrazić wzorem: b_n = 0,5n² - 3n + 8. Dzień pracy trwa 8 godzin.

1. Wyraź tę zależność za pomocą wykresu.

2. Oblicz, ile błędów średnio popełnia jeden pra­cownik w ciągu całego dnia.

5. W ciągu arytmetycznym suma drugiego i czwartego wyrazu wynosi 5, a szósty wyraz jest odwrotnością pierwszego. Wyznacz wzór tego ciągu.

6. Liczby -6,12, z tworzą ciąg geometryczny. Wyznacz z.

7. Dodajemy kolejne wielokrotności liczby 4 zaczynając od 12. Ile trzeba ich dodać, aby w sumie otrzymać 408?

8. Liczby x-3, x+3, 2x-3 tworzą ciąg geometryczny. Oblicz x.

---