Zajęcia nr 4 - matematyka, 10 kwietnia 2010
Funkcja
Funkcja ze zbioru X w zbiór Y jest to takie przyporządkowanie, w którym każdemu elementowi zbioru X jest przyporządkowany dokładnie jeden element zbioru Y.
Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji, a zbiór Y przeciwdziedziną.
Funkcję możemy określić za pomocą grafu, tabelki, diagramu, wzoru, wykresu.
Przykład dla funkcji f(x)=x(x-3) gdy D={-1,0,1,2,3,4,5}
Miejscem zerowym funkcji nazywamy każdy argument, któremu funkcja przyporządkowuje wartość 0.
Jeżeli mamy wykres funkcji f(x), to wykres funkcji g(x):
g(x)=f(x)+a - przesunięcie o a jednostek w górę,
g(x)=f(x)-a - przesunięcie o a jednostek w dół,
g(x)=f(x+a) - przesunięcie o a jednostek w lewo,
g(x)=f(x-a) - przesunięcie o a jednostek w prawo,
g(x)=-f(x) - symetria względem osi OX,
g(x)=f(-x) - symetria względem osi OY.
Badanie własności funkcji możemy przeprowadzić w 5 punktach:
wyznaczanie dziedziny i zbioru wartości,
wyznaczanie miejsc zerowych,
wyznaczenie największej i najmniejszej wartości funkcji i dla jakich argumentów te wartości zostają uzyskane,
wyznaczenie maksymalnych przedziałów w których funkcja jest dodatnia, nieujemna, ujemna, niedodatnia (dodatnia - wartości większe od zera, nieujemna - wartości większe lub równe zero),
wyznaczenie maksymalnych przedziałów w których funkcja jest rosnąca, stała lub malejąca.
Funkcja liniowa - funkcja postaci f(x)=ax+b.
Wykres - linia prosta, przecina oś OY w punkcie (0,b), a oś OX w punkcie
. Można powiedzieć, że wykres funkcji liniowej przechodzi przez te punkty (oczywiście dla
. Liczba
, gdzie
jest kątem nachylenia prostej do osi OX, nazywana jest współczynnikiem kierunkowym prostej. Proste równoległe mają ten sam współczynnik kierunkowy. Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do f(x)=ax+b jest równy
. Aby wyznaczyć wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez dane dwa punkty A=-(x1,y1) i B=(x2,y2), najlepiej utworzyć układ dwóch równań liniowych
.
Funkcja kwadratowa - funkcja postaci f(x)=ax2+bx+c, gdzie
. Wykres - parabola.
,
,
, gdzie p i q są współrzędnymi wierzchołka paraboli.
Jeśli
, to
oraz
Postać iloczynowa funkcji kwadratowej:
Postać kanoniczna funkcji kwadratowej:
lub
Funkcja wymierna
, gdzie V(x) nie jest wielomianem zerowym.
W szczególności funkcja
- proporcjonalność odwrotna (proporcjonalność prosta f(x)=ax).
Funkcja wykładnicza f(x)=ax, gdzie a>0 i
.
Ćwiczenia do zajęć:
Dana jest funkcja liniowa f(x)=2x-5 oraz punkty A=(-2,5) B=(5,-2). Napisz wzór funkcji liniowej :
a) równoległej do danej, której wykres przechodzi przez punkt A,
b) prostopadłej do danej, której wykres przechodzi przez punkt A,
c) której wykres przechodzi przez punkty A i B.
Naszkicuj wykres funkcji i określ jej własności:
Ośmiu robotników może pomalować ogrodzenie parku w ciągu 36 godzin. Ilu robotników trzeba, aby pomalować ogrodzenie w ciągu 16 godzin? Ile godzin potrzeba na tę pracę 6 robotnikom?
Kurs EURO obecnie wynosi 3,8 zł. Ile EURO można kupić z 2000 zł? Ile zł zapłacimy za 230 EURO?
Funkcję f(x)=- x2+2x+3 przedstaw w postaci kanonicznej i iloczynowej. Określ własności tej funkcji i na podstawie wykresu rozwiąż nierówność -x2+2x+3>-5.
Wykresem funkcji f jest parabola przechodząca przez punkty (0,5) i (-1,11) i mająca oś symetrii o równaniu x=1. Wyznacz wzór funkcji oraz jej zbiór wartości.
W jakim wielokącie liczba przekątnych jest o 12 większa od liczby boków?
W jakim wielokącie liczba przekątnych jest 5 razy większa od liczby boków?
Siatką długości 60 metrów należy ogrodzić prostokątny ogródek przylegający do budynku. Jakie powinny być wymiary ogródka, aby jego powierzchnia była możliwie największa?
Jacek jest o 25% starszy od Wacka. Za 3 lata będzie od niego tylko o 20% starszy. Oblicz wiek obu chłopców.