1. Cel ćwiczenia

Zapoznanie się z działaniem wahadła sprężynowego.

Obserwacja ruchu harmonicznego ciężarka zawieszonego na sprężynie.

1. Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyny.

Poprzez obliczenie ciężaru trzech ciężarków i pomiar wydłużenia sprężyny obliczenie współczynnika sprężystości k (N/M). Zbadanie zależności wielkości współczynnika k od ciężaru zawieszonego odważnika i długości wydłużenia sprężyny.

2. Sprawdzanie prawa izochronizmu wahadła.

Ustawiając ciężarek w trzech różnych amplitudach dokonanie pomiaru okresu drgań dla poszczególnych wychyleń. Udowodnienie prawdziwości prawa izochronizmu wahadła.

3. Wyznaczanie masy ciężarka.

Wyznaczenie masy ciężarka o nieznanej masie za pomocą określenia okresu drgań tego ciężarka.

2. Wstęp teoretyczny

Ruch drgający harmoniczny jest ruchem w którym ciało porusza się tam i z powrotem po tej samej drodze. Takim ruchem poruszają się np. atomy w sieci krystalicznej, wahadło w zegarze lub struny instrumentów. Ruch drgający jest ruchem periodycznym.

Szczególnym przypadkiem ruchu harmonicznego jest ruch harmoniczny prosty. Jest to taki ruch, w którym siła F powodująca ruch, jest proporcjonalna do wychylenia x i przeciwnie do niego skierowana. (prawo Hooka)

F= -kx

Współczynnik k występujący we wzorze nazywamy współczynnikiem sprężystości. Mówi on nam jakiej siły należy użyć, by otrzymać jednostkowe odkształcenie sprężyny. Jednostką, jaką mierzymy współczynnik k, jest N/m.

Liczbę drgań w jednostce czasu nazywamy częstotliwością drgań. [Hz]

Okres drgań jest to czas, w którym wykonane jest jedno pełne drganie. [s]

Amplituda drgań to maksymalne wychylenie ciała drgającego od położenia równowagi.

[m]

Okres i częstotliwość są związane zależnością:

f * T = 1

Wykres przedstawia zależność wychylenia od czasu w ruchu harmonicznym.

Zależność prędkości od czasu w ruchu harmonicznym przedstawia wykres: 

Zależność przyspieszenia od czasu w ruchu harmonicznym przedstawia wykres:

Izochronizm - właściwość wszystkich harmonicznych układów drgających polegająca na niezależności okresu drgań od ich amplitudy. Rzeczywiste układy drgające wykonują z dobrym przybliżeniem drgania harmoniczne i pozostają izochroniczne wówczas, gdy amplituda drgań jest stosunkowo mała.

Prawo Hooka - prawo mechaniki określające zależność odkształcenia od naprężenia. Głosi ono, że odkształcenie ciała pod wpływem działającej na niego siły jest wprost proporcjonalne do tej siły. Współczynnik między siłą a odkształceniem jest często nazywany współczynnikiem (modułem) sprężystości.

Ta prawidłowość, sformułowana przez Roberta Hooka (1635-1703) w formie ut tensio sic vis (gdzie naprężenie, tam siła), pozostaje prawdziwa tylko dla niezbyt dużych odkształceń, nie przekraczających tzw. granicy Hooka (zwanej też granicą proporcjonalności), i tylko dla niektórych materiałów. Prawo Hooka zakłada też, że odkształcenia ciała, w reakcji na działanie sił, następują w sposób natychmiastowy i całkowicie znikają, gdy przyłożone siły przestają działać.

3. Obliczenia

1. Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyny.

• Obliczanie ciężaru ciężarka o danej masie

m- masa ciężarka

g- przyspieszenie ziemskie (9,81 m/s²)

Q- ciężar

m₁= 0,05 [kg]

g= 9,81 [m/s²]

Q= m*g

Q₁= 0,05 kg * 9,81 m/s²

Q₁= 0,4905 N

m₂= 0,10 [kg]

Q₂= 0,10 kg * 9,81 m/s²

Q₂= 0,981 N

m₃= 0,20 [kg]

Q₃= 0,20 * 9,81 m/s²

Q₃= 1,962 N

• Obliczenie wydłużenia sprężyny

x_0i - wydłużenie

l_0i- położenie wskaźnika bez obciążenia

l_i- położenie wskaźnika z obciążeniem

x_0i= l_i - l_0i [m]

l_0i1=0,262 [m]

l_0i2=0,262 [m]

l_0i3=0,262 [m]

l_i1=0,275 [m]

l_i2=0,287 [m]

l_i3=0,305 [m]

x_0i1=0,275m - 0,262m= 0,013m

x_0i2=0,278m - 0,262m= 0,025m

x_0i3=0,305m - 0,262m= 0,043m

• Obliczenie współczynnika k

k_i = Q/ x_0i [N/m]

k_i1= Q₁/ x_0i1

k_i1= 0,4905 N/ 0,013m= 37,731 N/m

k_i2= 0,981 N/ 0,025m= 39,240 N/m

k_i3= 1,962 N/ 0,043m= 45,628 N/m

• Obliczenie średniej wartości współczynnika sprężystości

k = (k₁ + k₂ + k₃) / 3

k = (37,731 N/m + 39,240 N/m + 45,628 N/m) /3

k = 40,866 N/m

2. Sprawdzanie prawa izochronizmu wahadła

1. Amplituda [m]

t- czas n drgań [s]

T- okres drgań [s]

n- liczba drgań

T = t/n [s]

n = 21

A₁= 0,03 m

t₁= (6,88s +6,45s +6,40s)/3= 19,73s/3= 6,576s

T₁= 6,576s/21= 0,31 s

A₂= 0,05 m

t₂= (6,85s +6,92s +6,87s)/3= 20,64s/3= 6,88s

T₂= 6,88s/21= 0,33 s

A₃= 0,07 m

t₃= (7,00s +6,87s +6,89s)/3= 20,76s/3= 6,92s

T₃= 6,92s/21= 0,33 s

3.Wyznaczanie masy ciężarka

m- masa obciążająca sprężynę [kg]

m_s- masa sprężyny [kg]

k- współczynnik sprężystości sprężyny [N/m}

T_i- okres drgań [s]

T- średni okres drgań ciężarka [s]

t_i- czas n drgań ciężarka [s]

t_i1= 6,84 s

t_i2= 6,71 s

t_i3= 6,92 s

Ti= ti/n

n= 21

T_i1= 6,84s/21= 0,3257 s

T_i2= 6,71s/21= 0,3195 s

T_i3= 6,92s/21= 0,3295 s

T= (0,3257s + 0,3195s + 0,3295s)/3= 0,9747s/3= 0,3249s

m= k* (T²/4Π²) - 1/3m_s

m_s= 0,02745 kg

1/3 m_s= 0,02745kg/3= 0,00915 kg

k= 40,866N/m

T= 0,3249 s

Π= 3,14

m= 40,866N/m * (0,1056s²/4*9,8596)- 0,00915 kg

m= 40,866N/m * 0,0027 s² - 0,00915 kg

m= 0,1103382 kg - 0,00915 kg

m = 0,1012

4. Wnioski i spostrzeżenia

Doświadczenie miało na celu obserwację ruchu harmonicznego ciężarka zawieszonego na sprężynie.

Obliczenie współczynnika k, czyli współczynnika sprężystości sprężyny ukazało, że jest to wielkość charakteryzująca dane ciało ( w tym przypadku sprężynę wykorzystaną w doświadczeniu). Współczynnik ten według dokonanych pomiarów i obliczeń wzrasta wraz ze wzrostem masy zawieszanego ciężarka a tak naprawdę przecież nie zależy on od ciężaru odważnika. Analizując wyniki z tabeli pomiaru, nie potwierdzają one tej zasady. Wpływ na wartość k ma również rodzaj sprężyny.

Poprzez obliczenie okresu drgań dla trzech różnych amplitud udowodniona została prawdziwość prawa izochronizmu wahadła- po porównaniu wyników okazało się, że zgodnie z założoną hipotezą, okres drgań wahadła nie zależy od amplitudy. Zależy on jedynie od masy ciężarka i stałej k sprężyny. Aby potwierdzić to prawo należało z dużą dokładnością dokonać pomiaru czasu 21 drgań, co nie było łatwym zadaniem. Szczególna uwagę należało zwrócić na wagę odważników. Nie mogła ona być zbyt duża, gdyż drgania nie byłyby wtedy harmoniczne.

Niewielka rozbieżność między otrzymanymi wynikami w tej części doświadczenia może być spowodowana błędem pomiaru, który można przypisać dużej niepewności pomiaru czasu (czas reakcji obserwatora, niedoskonała korelacja działań między obserwatorem mierzącym czas a obserwatorem odliczającym okresy). Niewielki swój udział w tym mogło mieć również zaokrąglanie wyników.

Wyznaczanie masy ciężarka za pomocą drgań udowodniło, że tym sposobem można określić rzeczywistą masę ciężarka. Wynik z obliczeń różni się od pomiaru wagowego o jedyne 0,0012 kg. Niewielką różnicę przypisuję, tak jak powyżej, niepewności pomiaru czasu.

W dokonywanych pomiarach okresu drgań nie został uwzględniony opór powietrza, który powoduje zmniejszanie się amplitudy drgań i wpływa na ich okres.

5. Literatura

• Tablice fizyczno- astronomiczne, Wydawnictwo Adamantan

• Fizyka od A do Z repetytorium; Andrzej Wasiak, Wydawnictwo Kram

• http://www.iwiedza.net/wiedza/114.html- „Ruch drgający”

• Fizyka, tom 1.; Robert Resnick, David Halliday

Ewelina Najdyhor, Leśnictwo, studia niestacjonarne, semestr I, grupa 3

Badanie drgań wahadła sprężynowego.

1

---