Rozwinięcie Taylora

Rozwinięcie Taylora funkcji f w danym punkcie a to przedstawienie jej w postaci:

, gdzie ξ jest liczbą z otoczenia punktu a,

(x < ξ < a lub a < ξ < x).

Rozwinięcie to może być skończone (jeśli funkcja nie ma pochodnych w danym punkcie powyżej pewnej pochodnej), nieskończone, bądź wszystkie składniki rozwinięcia od pewnego mogą być oszacowane (zobacz twierdzenia Taylora).

Przykłady

Rozwinięcie w x₀ = 1

Rozwinięcie w x₀ = − 1

Rozwinięcie e^x (przybliżenie)

Rozwinięcie funkcji wielu zmiennych

Analogicznie rozwija się funkcje wielu zmiennych. Np. rozwinięcie funkcji f(x,y) = x² − y² + xy + 2y to:

Co w punkcie (1, − 1) wynosi:

f(x,y) = − 3 + (x − 1) + 5(y + 1) + (x − 1)² − (y + 1)² + (x − 1)(y + 1)