Rozwiązywanie układów równań metodą operacji elementarnych (na wierszach)
(metoda Jordano-Gaussa).
Dokonując operacji elementarnych na układzie
Ax=b
możemy go przekształcić w układ równoważny
Cx=d,
gdzie macierz C jest macierzą bazową (wierszowo zredukowaną macierzy A)
Układ Cx=d nazywamy postacią bazową układu Ax=b.
Postać bazowa Cx=d jest jednoznacznie wyznaczoną przez macierz blokową E=[ Cd ], którą otrzymujemy dokonując operacji elementarnych na wierszach macierzy uzupełnionej AU (=[ Ab]). Z postaci bazowej układu można natychmiast odczytać rozwiązanie układu lub stwierdzić, że układ jest sprzeczny.
Jeżeli układ równań jest nieoznaczony (tzn. rz(A) < n), to wśród rozwiązań wyróżniamy tzw. rozwiązanie bazowe.
Rozwiązaniem bazowym układu równań liniowych nazywamy takie rozwiązanie, w którym wszystkie zmienne swobodne (niebazowe) są równe zeru.
Przykładowe zadanie:
Rozwiązanie układu równań metodą operacji elementarnych
Jordano-Gaussa
Przekształcamy związaną z układem macierz współczynników
W2' = W2 + (-3)W1 ; W3' = W3 + (-2)W1
=>
W2' =W2+(-6)W3
=>
W1' = W1 + (-2)W2 ; W3' = W3 +W2
=>
W3' =W3:18
=>
W1' = W1 + 43W3 ; W2' = W2 +(-23)W3
=>
=>