47. Równanie Clapeyrona, równanie stanu gazu doskonałego to równanie stanu opisujące związek pomiędzy temperaturą, ciśnieniem i objętością gazu doskonałego, a w sposób przybliżony opisujący gazy rzeczywiste.

gdzie:

• p - ciśnienie,

• V - objętość,

• n - liczba moli gazu (będąca miarą liczby cząsteczek (ilości) rozważanego gazu),

• T - temperatura (bezwzględna), T [K] = t [°C] + 273,15

• R - uniwersalna stała gazowa: R=N_Ak, gdzie: N_A - stała Avogadra (liczba Avogadra), k - stała Boltzmanna, R=8,314 J/(mol*K).

Równanie to jest wyprowadzane na podstawie założeń:

1. gaz składa się z poruszających się cząsteczek;

2. cząsteczki zderzają się ze sobą oraz ze ściankami naczynia w którym się znajdują;

3. brak oddziaływań międzycząsteczkowych w gazie, z wyjątkiem odpychania w momencie zderzeń cząsteczek;

4. objętość (rozmiary) cząsteczek jest pomijana;

5. zderzenia cząsteczek są doskonale sprężyste;

Równanie to, mimo że wyprowadzone na podstawie założeń, które nigdy nie są spełnione, dobrze opisuje większość substancji gazowych w obszarze ciśnień do ok. 100 atmosfer i temperatury do 300-400 °C, oraz w temperaturze trochę większej od temperatury skraplania gazu.

Z równania tego wynika fundamentalny związek między ciśnieniem, temperaturą i liczbą cząstek gazu, z którego wynikają trzy wnioski:

• n moli (taka sama liczba cząstek) gazu, przy danej temperaturze i ciśnieniu panującym w naczyniu zajmuje zawsze taką samą objętość, niezależnie od budowy chemicznej tego gazu (V=nRT/p).

• w danej objętości, przy danym ciśnieniu i temperaturze, znajduje się zawsze taka sama liczba moli cząsteczek gazu, niezależnie od jego budowy chemicznej (n=pV/RT)

• n moli gazu zamkniętych w naczyniu o określonej objętości, przy określonej temperaturze, będzie wywierał na jego ścianki zawsze jednakowe ciśnienie, niezależnie od tego, jaki to jest gaz (p=nRT/V).

W fizyce bardzo często mamy do czynienia z modelami - idealizacjami pewnych zjawisk. Dzięki nim możemy chociaż w przybliżeniu opisywać pewne procesy, które zachodzą w rzeczywistości. W tym rozdziale będziemy częto posługiwać się modelem gazu doskonałego:

Gaz doskonały - definicja
Jedynym rodzajem oddziaływań cząsteczek w gazie doskonałym są zderzenia sprężyste pomiędzy cząsteczkami oraz ze ściankami naczynia.
Objętość cząsteczek gazu doskonałego jest zaniedbywalnie mała w porównaniu z objętością naczynia.

Gazy rzeczywiste zachowują się jak gaz doskonały tylko w odpowiednich warunkach: w wysokiej temperaturze (energia kinetyczna cząsteczek jest na tyle duża, że można zaniedbać energię oddziaływań elektromagnetycznych) i niskim ciśnieniu (gaz jest rozrzedzony, a dzięki temu rozmiary cząsteczek są małe w porównaniu do odległości między nimi).

Model ten ma zastosowanie do wszystkich gazów rzeczywistych, ale istnieją granice jego zastosowania, z którymi wiąże się kolejne pojęcie:

Temperatura zera bezwzględnego - definicja
Jest to najniższa temperatura, do której możemy się zbliżać, ale jej osiągnięcie jest niemożliwe (ciśnienie i objętość musiałyby być równe zeru). W temperaturze tej zanika całkowicie ruch cząsteczek. Temperatura ta jest równa -273,15 ^oC lub 0 K (kelwinów).

Skala Kelvina nazywana jest również bezwzględną skalą temperatur. Jednostkowy przyrost temperatury w obydwu skalach jest taki sam:

Δt = 1^oC = 1K
T = t(^oC) + 273,15

T - temp. w kalwinach

Równanie Clapeyrona pokazuje zależność pomiędzy trzema jego właściwościami, które pozwalaja opisać go oraz wpływają na jego zachowanie: ciśnieniem, temperaturą i objętością.
Z teorii kinetyczno-molekularnej wiemy, że:

p = (2N)/(3V) ^.E_śr

W fizyce jest wiele różnorakich stałych, niektóre z nich nie mają nawet nazwy. Podczas wyprowadzania równania Clapeyrona pojawi się ich kilka. Jedną z nich jest stała oznaczana symbolem C. Wyraża ona stosunek energii średniej cząsteczek gazu do jego temperatury:

C=E_śr / T

Zatem:

p = (2N)/(3V) ^.E_śr i E_śr = T ^. C =>p = (2NTC)/(3V)

Wprowadzamy kolejną stałą - k - zwaną stałą Boltzmana:

k = 2/3 ^. C

I po podstawieniu otrzymujemy:

p = (kNT) / V

Po obustronnym pomnożeniu przez V i podzieleniu przez T otrzymujemy:

(pV)/T = kN

Widać już, że iloraz iloczyny ciśnienia i objętości przez temperaturę (pV)/T jest zawsze stały, ponieważ k jest stałą, a i N=const (liczba cząsteczek nie ulega zmianie).
Rozpatrzmy teraz 1 mol gazu (mol to nie taki denerwujący owad, ale jednostka liczności materii, to powinno być na chemii :) Dla 1 mola gazu N = N_A (N_A - stałą Avogadro) - w jednym molu substancji jest zawsze tyle samo cząsteczek - 6,022 ^. 10²³ - i to jest właśnie N_A. Zatem można zapisać:

(pV)/T = kN_A

Pojawia się już ostatnia stała w tym wyprowadzeniu, ale stała bardzo ważna - R - stała gazowa (R = 8,31 J / (mol ^. K)) :

R = kN_A

Zatem po podstawieniu:

(pV)/T = R

Dla n moli gazu:

(pV)/T = nR

Po przekształceniu otrzymujemy równanie Clapeyrona:

pV = nRT

n = m/M jak wiadomo z chemii :) gdzie m to masa substacji, a M to masa molowe tej substancji. Zatem można zapisać jeszcze jedną postać tego równania:

50. Energia wewnetrzna a temperatura:

Energia wewnętrzna - definicja
Energią wewnętrzną nazywamy wielkość charakteryzującą stan danego ciała lub układu ciał, która jest równa sumie wszystkich rodzajów energii cząsteczek i atomów, które tworzą ten układ.

Bardzo mądra definicja, prawda? Jednak to nie jest wcale takie trudne jakby się mogło wydawać. Każdy atom, czy cząsteczka porusza się, zatem posiada energię kinetyczną, jest pod wpływem różnych sił chociażby siły elektromagnetyczne wiązań chemicznych, zatem posiada energię potencjalną. Suma tych wszystkich energii jakie posiadają wszystkie cząsteczki wchodzące w skadad danego ciała to właśnie energia wewnętrzna.

Wartość energii wewnętrznej nie jest istotna, ale zazwyczaj fizyków obchodzi jej zmiana, która zachodzi podczas różnorakich procesów termodynamicznych. Zmiana ta może odbywać się na dwa sposoby: zmienia się temperatura układu ( zmianie ulega energia kinetyczna cząsteczek) lub też stan skupienia ciała (wtedy temperatura pozostaje stała, ale zmieniają się odległości pomiędzy cząsteczkami, a co za tym idzie zmianiają się wartości oddziaływań między nimi).
Zmiana zawsze jest równa:

ΔU = nC_vΔt

gdzie:
n - liczba moli
C_v - ciepło wł. przy stałej objętości (dokłaniej omówione poniżej)
Δt - zmiana temperatury

43.

Załóżmy, że mamy dwa ciała, jedno cieplejsze i jedno chłodniejsze w izolowanym termicznie układzie. Po pewnym czasie obydwa ciała będą miały tą samą temperaturę. Jak to wytułmaczyć? Jeśli dwa ciała zetkną się ze sobą, to ich cząsteczki będą się ze sobą zderzały i przekazywały sobie nawzajem energię. Z czasem następuje wyrównanie średnich prędkości między cząsteczkami ciał, a co za tym idzie ich temperatur. Ten sposób przekazywania energii nazwano cieplnym przekazem energii lub przepływem ciepła

Ciepło - definicja
Ciepło jest to wielkość fizyczna, która charakteryzuje proces cieplnego przekazu energii, równa jest wielkości przekazywanej energii.

Ponieważ ciepło jest to ilość przekazanej energii, jego jednostką jest oczywiście dżul [J].

Ciepło właściwe - definicja
Ciepło właściwe jest to stosunek energii, dostarczonej w wyniku cieplnego przekazu energii do masy ciała i przyrostu temperatury:

Po zapoznaniu się z powyższymi pojęciami można przejść do właściwego bilansu cieplnego.
Załóżmy, że m₁ oznacza masę cieplejszego ciała, a m₂ masę ciała chłodniejszego. c₁ , c₂ ciepła właściwe tych ciał, a t₁, t₂ temperatury początkowe.
Ciepło, które ciało cieplejsze oddało ciału zimniejszemu oznaczamy jako Q₁, a ciepło, które pobrało ciało zimniejsze jako Q₂.
Obydwa te ciepła są równe zmianie energii wewnętrznej poszczególnych ciał:

Q₁ = ΔU₁ = c₁m₁(t₁ - t_k)
Q₂ = ΔU₂ = c₂m₂(t_k - t₂)

t_k - temperatura końcowa.

Nie trzeba chyba tłumaczyć, że ciepło oddane przez ciało cieplejsze jest równe ciepłu pobranemu przez ciało zimniejsze.

Q₁ = Q₂

Porównując te dwa ciepła można obliczyć np. temperaturę końcową. obydwu ciał.

46 i 48. Przemiany gazowe i I zasada termodynamiki.

Zanim przejdę do rzeczy przypomnę, że energia wewnętrzna jest funkcją stanu układu, zależną od jego parametrów, natomiast ciepło i praca są formami przekazywania energii. I zasada termodynamiki wiąże te trzy pojęcia:

I zasada termodynamiki
Zmiana energii wewnętrznej ciała lub układu ciał jest równa przekazanej energii w wyniku wykonanej pracy (nad ciałem lub przez ciało) i przepływu ciepła

ΔU = Q + W

Praca i ciepło mogą być większe bądź mniejsze od zera:
Q > 0 - ciepło jest dostarczane do układu
Q < 0 - układ oddaje ciepło
W > 0 - do układu dostarczona jest energia w wyniku pracy W < 0 - układ wykonuje pracę kosztem energii wewnętrznej

Rozpatrzmy teraz przemiany gazowe z punktu widzenia I zasady termodynamiki:

Przemiana izochoryczna
Zakładam, że w naczyniu znajduje się n moli gazu doskonałego. Gaz ten ogrzewam, a ponieważ naczynie nie zwiększa swojej objętości, to również gaz się nie rozszerza. Jego temperatura zwiększa się od t₁ do t₂. Wzrasta również ciśnienie gazu z p₁ do p₂.
Ponieważ zmianie nie uległa objętość gazu, nie można mówić tu o pracy, zatem, zgodnie z I zasadą termodynamiki, dostarczone ciepło jest równe zmianie energii wewnętrznej:

ΔU = Q = nC_vΔt
W = 0

gdzie C_v to molowe ciepło właściwe gazu przy stałej objętości (równe energii, jaką należy dostarczyć jednemu molowi danego gazu, aby zwiększyć jego temperaturę o 1 stopień w przemianie izochorycznej).

Przemiana izobaryczna
Zakładam, że w naczyniu zamkniętym nieruchomym tłokiem znajdujesię n moli gazu doskonałego. Ogrzewam gaz przez dostarczenie ciepła Q, w wyniku czego temperatura zwiększa się o Δt, natomiast objętość rośnie o ΔV. I zasada termodynamiki dla tej przemiany wygląda następująco:

ΔU = W - Q
Q = nC_pΔt
W = pΔV

przyczym C_p to molowe ciepło właściwe gazu przy stałym ciśnieniu (równe energii, jaką należy dostarczyć jednemu molowi danego gazu, aby zwiększyć jego temperaturę o 1 stopień w przemianie izobarycznej).
Zastanówmy się, jaka jest zależność między C_p a C_v. Zapiszmy jeszcze raz I zasadę termodynamiki, ale podstawiając już odpowiednie wyrażenia:

nC_vΔt = pΔV - nC_pΔt

Zapiszmy teraz dwa równania Clapeyrona dla gazu przed przemianą i po przemianie:

pV₁ = nRt₁
pV₂ = nRt₂

Dodając je stronami otrzymujemy:

pΔV = nRΔt

Podstawiamy do I zas. termodynamiki i otrzymujemy:

nC_vΔt = nRΔt - nC_pΔt
nΔt C_v = nΔt ( R - C_p)
R = C_p - C_v

Przemiana izotermiczna
W naczyniu z ruchomym tłokiem znajduje się n moli gazu doskonałego. Ponieważ jak sama nazwa przemiany wskazuje temperatura nie zmienia się, więc zmiana energii wewnętrznej jest równa 0:

ΔU = nC_vΔt = 0

Siła działająca na tłok powoduje, że w naczyniu zmniejsza się objętość gazu i jednocześnie rośnie ciśnienie. Siła ata wykonuje pracę równą liczbowo oddawanemu przez gaz ciepłu:

W = - Q

Przemiana adiabatyczna
W przemianie adiabatycznej nie ma wymiany ciepła z otoczeniem. Zatem energia wewnętrzna jest równa pracy:

ΔU = W

---