ANALIZA DYNAMIKI - INDEKSY PROSTE

Do miar dynamiki szeregu czasowego zalicza się indeksy dynamiki (jednopodstawowe i łańcuchowe).

Indeksy dynamiki określa się następująco:

lub

gdzie :
- poziom zjawiska w pewnym okresie,

- poziom zjawiska w okresie odniesienia.

Indeks dynamiki ma następujące właściwości:

♦ jest liczbą niemianowaną (tzn. nie posiada jednostki),

♦ jest liczbą nieujemną
,

♦ równy jest jedności, gdy poziom zjawiska w obu okresach jest jednakowy
,

♦ wartość indeksu w postaci procentowej pomniejszona o 100%, tj.

,

mówi o ile procent poziom zjawiska w okresie n-tym jest wyższy lub niższy niż w okresie 0-owym.

Rozróżniamy dwa rodzaje indeksów dynamiki: indywidualne (proste) i agregatowe.

Indeksy indywidualne

Indeksy indywidualne służą do analizy jednego szeregu czasowego
. Przy badaniu zmian wartości cechy w czasie można posłużyć się ciągami indeksów jednopodstawowych lub indeksów łańcuchowych.

Indeksy jednopodstawowe informują, jakie zmiany nastąpiły w poziomie zjawiska w kolejnych okresach w stosunku do okresu przyjętego jako podstawa (bazowego).

Indeksy łańcuchowe (o podstawie zmiennej) informują, jakie zmiany nastąpiły w poziomie zjawiska w kolejnym okresie w stosunku do okresu go poprzedzającego.

Przykład (zad. 1 z listy nr 5):

Dane dotyczące importu ropy naftowej w tys. ton w Polsce w latach 1995 - 1999 zebrano w tabeli:

Lata	Okres	Import ropy naftowej (tys. ton)
1995 1996 1997 1998 1999	1 2 3 4 5	12 957 13 351 14 713 15 367 15 273

Na podstawie tych danych obliczyć i zinterpretować:

1. indeksy dynamiki jednopodstawowe i łańcuchowe,

2. średniookresowy indeks łańcuchowy,

3. średniookresowe tempo zmian w czasie.

Ad. (a) indeksy jednopodstawowe: indeksy łańcuchowe:

Podstawa - rok 1995:

Otrzymane indeksy wstawiamy do tabeli (w postaci procentowej):

Lata	Okres	Import ropy naftowej (tys. ton)	Indeksy jednopodstawowe (1995=100)	Indeksy łańcuchowe (rok poprzedni = 100)
1995 1996 1997 1998 1999	1 2 3 4 5	12 957 13 351 14 713 15 367 15 273	100,0 103,0 113,6 118,6 117,9	- 103,0 110,2 104,4 99,4

Interpretacja indeksów dynamiki dla roku 1999:

• jednopodstawowe: 117,9% - 100% = 17,9%, czyli import ropy naftowej w roku 1999 wzrósł o 17,9% w porównaniu z rokiem 1995.

• łańcuchowe: 99,4% - 100% = -0,6%, czyli import ropy naftowej w roku 1999 zmalał o 0,6% w porównaniu z 1998 rokiem.

Średniookresowe tempo zmian w czasie określa średniookresowy wzrost lub spadek badanego zjawiska, przypadający na analizowaną jednostkę czasu:

gdzie:

- średniookresowe tempo zmian w czasie,

- średniookresowy indeks łańcuchowy.

Oceny średniego poziomu badanego zjawiska w przeliczeniu na jednostkę czasu w danym szeregu czasowym dokonuje się za pomocą średniookresowego indeksu łańcuchowego. Wartość tego miernika w zależności od posiadanych informacji można obliczyć:

► na podstawie wartości analizowanego zjawiska dla pierwszego i ostatniego okresu:

w naszym przypadku mamy :

► na podstawie indeksów łańcuchowych:

Uwzględniając indeksy łańcuchowe z ostatniej kolumny (po zamianie procentów na liczby) otrzymujemy:

► korzystając z indeksów o podstawie stałej dla pierwszego i ostatniego okresu mamy:

Uwzględniając pierwszy i ostatni indeks o podstawie stałej (po zamianie procentów na liczby) otrzymujemy:

Średniookresowe indeksy łańcuchowe obliczone według powyższych sposobów są jednakowe.

Interpretacja średniookresowego indeksu łańcuchowego:

W latach 1995 - 1999 import ropy naftowej w każdym następnym roku stanowił przeciętnie 104,2% importu z roku poprzedniego.

Podstawiamy wartość
do wzoru na
:

Interpretacja : w latach 1995-1999 import ropy naftowej wzrastał rocznie przeciętnie o 4,2%.

Zad. 2 lista nr 5:

Dynamikę cen pewnego artykułu w latach podano w tabeli (w tabeli podano indeksy jednopodstawowe):

Lata	1999	2000	2001	2002	2003
Rok 1990 = 100%	100	104	98	103	102

Porównać cenę artykułu w roku 2003 z ceną w roku 2000.

Musimy obliczyć następujący indeks (podstawa jest stała - jest nią rok 1990):

Cena artykułu spadła o 2%.

Komentarz: jeżeli obliczymy indeks w postaci dziesiętnej i zamienimy go na postać procentową, to jeszcze nie możemy go zinterpretować. Dopiero od postaci procentowej należy zawsze odjąć 100% i dopiero tę wartość interpretujemy.

Zad. 3 lista nr 5:

Dynamika nakładów inwestycyjnych w latach 1999-2003 była następująca:

Lata	1999	2000	2001	2002	2003
Indeksy łańcuchowe	80	100	90	115	110

1. Obliczyć indeks
   i zinterpretować.

2. Jeśli nakłady w roku 2003 wynosiły 600 mln zł, to jakie były nakłady w roku 1999?

(a) Ponieważ są to indeksy łańcuchowe (o podstawie zmiennej), więc każda wartość w tabeli dotyczy związku roku bieżącego z rokiem poprzednim, dlatego można - dla ułatwienia - rozpisać lata następująco:

Lata	1999/98	2000/99	2001/00	2002/01	2003/02
Indeksy łańcuchowe	80	100	90	115	110

Aby obliczyć indeks
, należy rozpisać go następująco:

Jak widać, nie bierzemy pod uwagę wszystkich indeksów z tabeli, dlatego ważne jest powyższe rozpisanie.

Podstawiamy do wzoru indeksy w postaci dziesiętnej (dzielimy wartości przez 100):

Obliczony indeks wynosi 1,14. Aby go zinterpretować, musimy wyrazić go w procentach i odjąć 100%:

Interpretacja: nakłady inwestycyjne w roku 2003 wzrosły o 14% w stosunku do roku 1999.

(b) Jeśli nakłady w roku 2003 wynosiły 600 mln zł, to jakie były nakłady w roku 1999?

Możemy skorzystać z wyniku z poprzedniego podpunktu (1,14) oraz ułożyć proporcję:

2003 - 600 mln zł

1999 - x

Wiemy, że indeks
, wobec tego:

Interpretacja: jeśli nakłady w roku 2003 wynosiły 600 mln zł, to w roku 1999 były równe 526,3 mln zł.

Zad. 4 lista nr 5:

Dynamikę cen pewnego artykułu podaje tabelka:

Lata	1997	1998	1999	2000	2001
Rok poprzedni = 100 %	90	110	105	107	95

1. Obliczyć cenę artykułu w roku 2000 wiedząc, że cena artykułu w roku 1997 wynosiła 200 zł.

2. Obliczyć średniookresowe tempo zmian ceny w latach 1998-2001.

Ponieważ są to indeksy łańcuchowe, należy najpierw obliczyć indeks
- jak w poprzednim zadaniu, a dopiero potem ułożyć odpowiednią proporcję.

Lata	1997/96	1998/97	1999/98	2000/99	2001/00
Rok poprzedni = 100 %	90	110	105	107	95

Podstawiamy do wzoru indeksy w postaci dziesiętnej (dzielimy wartości przez 100):

2000 - x

1997 - 200 zł

Interpretacja: jeśli cena artykułu w roku 1997 wynosiła 200 zł, to w roku 2000 była równa 248 zł.

- Obliczyć średniookresowe tempo zmian ceny w latach 1998-2001.

Korzystamy ze wzoru na średniookresowe tempo zmian:

Ponieważ są to indeksy łańcuchowe, więc korzystamy ze sposobu II (patrz zad. 1 z listy):

Pierwiastek jest tutaj stopnia 5-1, gdyż wartość w roku 1998 odnosi się przecież do roku 1997, więc musimy brać pod uwagę też rok wcześniejszy.

Teraz podstawiamy do wzoru na T:

Interpretacja: w latach 1998-2001 cena pewnego artykułu wzrastała rocznie średnio o 4%.

STATYSTYKA - ĆWICZENIA

LISTA ZADAŃ NR 5 - INDEKSY PROSTE

Zadanie 1. Dane dotyczące importu ropy naftowej w tys. ton w Polsce w latach 1995 - 1999 zebrano w tabeli:

Lata	Okres	Import ropy naftowej (tys. ton)
1995 1996 1997 1998 1999	1 2 3 4 5	12 957 13 351 14 713 15 367 15 273

Na podstawie tych danych obliczyć i zinterpretować:

1. indeksy dynamiki jednopodstawowe i łańcuchowe,

2. średniookresowy indeks łańcuchowy,

3. średniookresowe tempo zmian w czasie.

Zadanie 2. Dynamikę cen pewnego artykułu w latach podano w tabeli (w tabeli podano indeksy jednopodstawowe):

Lata	1999	2000	2001	2002	2003
Rok 1999 = 100%	100	104	98	103	102

Porównać cenę artykułu w roku 2003 z ceną w roku 2000.

Zadanie 3. Dynamika nakładów inwestycyjnych w latach 1999-2003 była następująca:

Lata	1999	2000	2001	2002	2003
Indeksy łańcuchowe	80	100	90	115	110

1. Obliczyć indeks
   i zinterpretować.

2. Jeśli nakłady w roku 2003 wynosiły 600 mln zł, to jakie były nakłady w roku 1999?

Zadanie 4. Dynamikę cen pewnego artykułu podaje tabelka:

Lata	1997	1998	1999	2000	2001
Rok poprzedni = 100 %	90	110	105	107	95

1. Obliczyć cenę artykułu w roku 2000 wiedząc, że cena artykułu w roku 1997 wynosiła 200 zł.

2. Obliczyć średniookresowe tempo zmian ceny w latach 1998-2001.

Zadania do samodzielnego rozwiązania:

Zad. 1 Dynamikę cen pewnego artykułu podaje tabela:

Lata	1999	2000	2001	2002	2003
Rok poprzedni =100%	107	104	103	100	102

1. Oblicz i zinterpretuj indeks i_02/99.

2. Jeżeli cena tego artykułu w roku 2003 wynosiła 67 zł, jaka była cena w roku 2000?

3. Obliczyć i zinterpretować średnioroczne tempo zmian.

Zad. 2 Dynamikę cen benzyny U95 podaje tabela:

Lata	1999	2000	2001	2002	2003
Rok 1998 =100%	109	111	116	108	122

4. Oblicz i zinterpretuj indeks i_01/99.

5. Jeżeli cena benzyny w roku 2003 wynosiła 67 zł, jaka była cena w roku 2000?

6. Obliczyć i zinterpretować średnioroczne tempo zmian.

Zad. 3 Dynamikę zatrudnienia w firmie X podaje tabela:

Lata	1999	2000	2001	2002	2003
Rok poprzedni =100%	97	104	102	95	96

7. Oblicz i zinterpretuj indeks i_03/99.

8. W którym roku było więcej zatrudnionych, w 2003 czy w 2000?

9. Obliczyć i zinterpretować średnioroczne tempo zmian.

Zad. 4 Dynamikę cen pewnego artykułu podaje tabela:

Lata	1999	2000	2001	2002	2003	2004
Rok 2002 =100%	107	104	103	100	100	102

10. Oblicz i zinterpretuj indeks i_02/99.

11. Jeżeli cena tego artykułu w roku 2004 wynosiła 60 zł, jaka była cena w roku 2000?

12. Obliczyć i zinterpretować średnioroczne tempo zmian.

Zad. 5 Dynamika dochodu w firmie w latach 1997, 1998, 1999 kształtowała się następująco: 108, 115, 120 (przyjmując, że rok poprzedni=100%).

1. O ile procent wzrósł dochód w 1999 w porównaniu do roku 1996?

2. Jeżeli dochód firmy w roku 1999 wynosił 20 000zł, to jaki był w roku 1998?

3. Oblicz średnioroczne tempo dla dochodów w tej firmie.

Zad. 6 Cenę pszenicy w lipcu obniżono o 15%, w październiku podniesiono o 5%, w grudniu o 7% i w marcu o 3%.

Obliczyć średniookresowe tempo zmian.

Zad. 7 Dynamika produkcji w stosunku do roku poprzedniego w firmie DFB POLSKA w ciągu kolejnych lat była następująca:

Rok	1997	1998	1999	2000	2001	2002
Dynamika [%]	140	135	131	120	111	103

1. Oblicz średnioroczne tempo zmian i zinterpretuj wynik.

2. Wyznacz prostą trendu.

3. Oszacuj produkcję w roku 2005 na podstawie prostej trendu.

Zad. 8 Dynamika produkcji w fabryce łożysk tocznych „Iskra” w latach 1998-2002 kształtowała się następująco: 102%, 111%, 99%, 109%, 108% w stosunku do roku 1997.

1. Oblicz średniookresowe tempo zmian i zinterpretuj wynik.

2. Jeżeli w roku 2000 produkcja wynosiła 33 tys. ton, to ile wynosiła produkcja w roku 1998 i 2001?

Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa im. Witelona w Legnicy

Specjalność: Sterowanie Systemami Przemysłowymi

mgr Iwona Czerska

e-mail: [e-mail]

1

---