Wykład 6

6. Indukcja elektromagnetyczna, energia pola magnetycznego

1. Indukcyjność

1. Transformator

Gdy dwie cewki są nawinięte na tym samym rdzeniu (często jedna na drugiej) to prąd zmienny w jednej wywołuje SEM indukcji w drugiej.

N₁ - liczba zwojów w cewce pierwotnej, N₂ - liczba zwojów w cewce wtórnej

oraz

Stosunek napięć

(6.1)

Widać, że regulując ilość zwojów w cewkach możemy zamieniać małe napięcia na duże i odwrotnie.

Przykład 1

Obliczmy straty mocy w linii przesyłowej o oporze 10 Ω przesyłanej z generatora 10 MW gdy napięcie wynosi 1.5·10⁴ oraz 10⁵ V.

P = IU

P_strat = I² R = (P/U)² R

P_strat1 = 4.4 MW (44%)

P_strat2 = 0.1 MW (1%)

2. Indukcyjność własna

Gdy natężenie prądu przepływającego przez cewkę zmienia się to zmienia się też strumień przez każdy zwój tej cewki więc zgodnie z prawem indukcji Faradaya indukuje się SEM. Tę siłę elektromotoryczną nazywamy siłą elektromotoryczną samoindukcji.

(6.2)

Wielkość Nφ jest całkowitym strumieniem zawartym w obwodzie i nosi nazwę strumienia skojarzonego. Strumień skojarzony jest proporcjonalny do prądu płynącego przez cewkę

Nφ = LI (6.3)

Stała proporcjonalności

L = Nφ/I (6.4)

nazywana jest indukcyjnością.

Zróżniczkowanie(po czasie) równania (6.3) daje

Stąd

(6.5)

Jednostką L jest henr. 1 H = 1 Vs/A

Jako przykład obliczmy indukcyjność cewki o długości l₀ i N zwojach.

Strumień przez każdy zwój wynosi

φ = BS

gdzie B dla cewki wynosi

B = μ₀nI = μ₀I(N/l₀)

Zatem

Indukcyjność L otrzymujemy mnożąc strumień przez N/I

(6.6)

Zauważmy, że L zależy tylko od geometrii.

3. Indukcyjność wzajemna

Omawiając transformator pokazywaliśmy, że dwie cewki mogą oddziaływać na siebie. Prąd zmienny w jednej wywoływał SEM w drugiej. Tym razem strumień przechodzący przez cewkę 2 jest proporcjonalny do prądu płynącego przez cewkę 1.

N₂φ₂₁ = M₂₁I₁

Stałą proporcjonalności M₂₁ nazywamy indukcyjnością wzajemną.

Różniczkując to równanie otrzymujemy

Stąd

Jeżeli zmieniamy prąd I₂ to analogicznie

Można pokazać (ale w skomplikowany sposób), że

M₁₂ = M₂₁ = M

Podobnie jak L tak samo M zależy tylko od geometrii układu.

1. Obwody RC i RL, stałe czasowe

Zaczniemy teraz zajmować się prądami zmieniającymi się w czasie.

1. Obwód RC

Rozpatrzmy jaki prąd popłynie w obwodzie po zamknięciu wyłącznika do pozycji (a).

Korzystamy z prawa Kirchoffa.

(6.7)

W równaniu tym są dwie niewiadome I oraz q. Ale możemy skorzystać ze związku I = dq/dt. Otrzymujemy równanie różniczkowe

Szukamy rozwiązania q(t). Ma ono postać

(6.8)

Możemy sprawdzić czy funkcja ta jest rozwiązaniem równania różniczkowego poprzez jej podstawienie.

Prąd obliczamy różniczkując dq/dt

Rysunki przedstawiają zależność q(t) oraz I(t).

Jeżeli teraz przełączymy wyłącznik do pozycji (b) to będziemy rozładowywać kondensator. Teraz w obwodzie nie ma ε i prawo Kirchoffa przyjmuje postać

czyli

Rozwiązanie ma postać

(6.9)

gdzie q₀ jest ładunkiem początkowym na kondensatorze.

Natężenie prądu przy rozładowaniu wynosi

W równaniach opisujących ładowanie i rozładowanie kondensatora wielkość RC ma wymiar czasu i jest nazywana stałą czasową obwodu. Opisuje ona fakt, że ładunek na kondensatorze nie osiąga od razu wartości końcowej lecz zbliża się do niej wykładniczo. Podobnie przy rozładowaniu.

2. Obwód RL

Analogicznie opóźnienie w narastaniu i zanikaniu prądu pojawia się w obwodzie RL przy włączaniu lub wyłączaniu źródła SEM.

Gdyby nie było cewki prąd osiągnąłby natychmiast wartość ε/R. Dzięki cewce w obwodzie pojawia się dodatkowo SEM samoindukcji ε_L, która zgodnie z regułą Lenza przeciwdziała wzrostowi prądu (po włączeniu) co oznacza, że jej zwrot jest przeciwny do ε.

Z prawa Kirchoffa otrzymujemy

(6.10)

Poszukujemy rozwiązania tego równania różniczkowego w postaci I(t).

Ma ono postać

(6.11)

Sprawdzamy poprzez podstawienie do równania. Napięcie na oporniku i cewce pokazane jest na rysunkach poniżej.

Narastanie prądu w obwodzie jest opisane stałą czasową τ_L = L/R.

Jeżeli przełącznik ustawimy w pozycji (b) to wyłączmy źródło SEM i otrzymamy

(6.12)

z rozwiązaniem

(6.13)

2. Energia, a pole magnetyczne

Pozostańmy przy obwodzie RL. Z prawa Kirchoffa otrzymaliśmy

Mnożąc to równanie przez I dostajemy

Interpretacja tego równania z punktu widzenia pracy i energii jest następująca:

• lewa strona równania przedstawia szybkość (moc = εI tj εdq/dt) z jaką źródło przekazuje do obwodu energię εq.

• pierwszy wyraz po prawej stronie to szybkość (moc) wydzielania ciepła na oporze R.

• drugi wyraz po prawej stronie to szybkość z jaką energia gromadzi się w polu magnetycznym.

To ostatnie możemy zapisać jako

czyli

Po scałkowaniu otrzymujemy

(6.14)

Równanie określa całkowitą energię magnetyczną zawartą w cewce o indukcyjności L przez, którą płynie prąd I.

Porównajmy to z energią naładowanego kondensatora

(6.15)

1. Gęstość energii a pole magnetyczne

Rozpatrzmy solenoid o długości l i powierzchni przekroju S czyli o objętości lS.

Tak więc gęstość energii

Ponieważ

więc

Przypomnijmy, że

oraz

co w połączeniu daje wyrażenie

(6.16)

opisujące gęstość energii zawartej w każdym punkcie przestrzeni w której jest indukcja magnetyczna B.

Przykład 2

Długi koncentryczny kabel składa się z cylindrycznych przewodników o promieniach a i b. Obliczmy energię zawartą w polu magnetycznym kabla na odcinku o długości l₀ oraz jego indukcyjność.

Stosując prawo Ampera dla przestrzeni pomiędzy cylindrami otrzymamy

czyli

Gęstość energii w punktach pomiędzy przewodami

Rozpatrzmy teraz cienką (dr) warstewkę pomiędzy cylindrami. Objętość tej warstewki wynosi:

dV = 2πrdrl₀

dla odcinka kabla o długości l₀.

Energia w tej objętości wynosi więc

Sumując (całkując) po całej objętości obliczamy całkowitą energię W

Indukcyjność znajdziemy z zależności

czyli

L zależy tylko od czynników geometrycznych.

6

---