Sygnał - przebieg dowolnej wielkości fizycznej, mogącej być nośnikiem informacji

Sygnał czasu ciągłego - taki sygnał, którego wartość jest określona w każdej chwili czasu w przedziale obserwacji sygnału

Sygnał analogowy - sygnał czasu ciągłego o ciągłej amplitudzie

Sygnał dyskretny - sygnał o wartościach określonych w dyskretnych chwilach czasu

Opis sygnału - opisem sygnału jest zbiór cech sygnału

Cecha sygnału - to uporządkowana para

<Nazwa Cechy; Wartość Cechy> (1)

lub

<Atrybut; Wartość Atrybutu> (2)

Analiza sygnału - działanie, którego celem jest określenie wartości cech tego sygnału

Cechy sygnałów:

• cechy ilościowe (wartość jest liczba¸ ) <wartość średnia,22.5>

+ cechy liczbowe (punktowe) (wartość jest liczba¸ )

+ cechy funkcyjne (wartość jest funkcja¸ np. czasu lub częstotliwości)

• cechy jakościowe (wartość jest nazwą/symbolem) <kolor, zielony>

Metody analizy sygnałów:

1. Nieparametryczne - cechy sygnału są funkcjami czasu lub częstotliwości

2. Parametryczne

• identyfikuje sie¸ model sygnału w postaci zależności matematycznej

• celem jest zastosowanie możliwie prostego modelu (proste zależności matematyczne, niewielka liczba parametrów)

Dziedziny opisu sygnałów

- dziedzina amplitudy

- dziedzina czasu

- dziedzina częstotliwości

Nazwa dziedziny pochodzi od parametru opisującego oś odciętych.

Sygnał zdeterminowany i losowy:

• Sygnał zdeterminowany można jednoznacznie opisać za pomocą¸ modelu matematycznego, niezawierającego wielkości losowych

1. okresowe

harmoniczne

poliharmoniczne

nieharmoniczne

2. nieokresowe

prawie okresowe

przejściowe

• Sygnał losowy wymaga opisu za pomocą¸ procesu stochastycznego (dowolna cecha sygnału losowego wyznaczona dla tego samego sygnału na różnych odcinkach czasu zwykle przyjmuje różne wartości i nie jest reprezentatywna dla całej realizacji sygnału).

1. stacjonarne

w szerszym sensie

w węższym sensie

ergodyczne

2. okresowo stacjonarne

3. niestacjonarne

przejściowe

z trendem

Model matematyczny sygnału analogowego:

Funkcja ciągłej zmiennej niezależnej t (zwykle czasu), o wartościach ze zbioru ciągłego

Oznaczenia: x(t); y(t)

Dziedzina określoności sygnału zależna od przeprowadzanego eksperymentu:

- czas obserwacji jest zawsze przedziałem ograniczonym

- tworząc modele matematyczne wygodnie jest założyć, że t
(-
;+
)

Przeciwdziedzina każdego realnego sygnału jest podzbiorem liczb rzeczywistych R

Cechy liczbowe sygnałów analogowych

Wartość średnia sygnału Xsr

Energia sygnału Ex

Moduł jest istotny w przypadku sygnałów zespolonych. Sygnał jest sygnałem o ograniczonej energii, jeżeli: 0 < Ex <

Moc sygnału Px

Sygnał jest sygnałem o ograniczonej mocy, jeżeli: 0 < Px <

Klasy sygnałów o ograniczonej energii i o ograniczonej mocy

są rozłączne

Model matematyczny sygnału dyskretnego

• Modelem sygnału dyskretnego jest funkcja dyskretnej zmiennej niezależnej (czasu dyskretnego) t_n, o wartościach należących do zbioru liczb rzeczywistych

• Sygnały dyskretne oznacza się x(t_n); y(t_n); n 2 N

• Dziedzina określoności sygnału N jest zależna od przeprowadzanego eksperymentu. Zwykle przyjmuje się

C = {0, 1, 2,…} lub N = {0, 1, 2…}

• Chwile czasu t_n nie muszą być rozłożone równomiernie, ale najczęściej sygnały dyskretne są określone dla równomiernie rozłożonych chwil czasu o stałych odstępach Ts, tj. t_n = n
  Ts, n
  N

Sygnał o skończonym czasie trwania - sygnał analogowy przybiera wartości niezerowe w przedziale czasu o skończonej szerokości:

Zwany także: sygnałem przejściowym lub sygnałem impulsowym

Każdy sygnał ograniczony o skończonym czasie trwania jest sygnałem o ograniczonej energii (ma zerową moc).

Sygnały obserwowalne fizycznie

• Sygnały występujące w rzeczywistym świecie zawsze pochodzą ze źródeł o ograniczonej energii - ich moc jest wi˛ec równa zeru

• Sygnały o ograniczonej mocy nie występują w rzeczywistości, są jednak modelami teoretycznymi, przydatnymi do opisu np. sygnałów okresowych

Sygnał okresowy - sygnał analogowy x(t) będziemy nazywali okresowym o okresie T0, jeżeli:

*

Okres podstawowy

Jeżeli T0 jest okresem, to również l*T0, l = 2, 3, … jest okresem sygnału. Najmniejszą liczbę T0 spełniającą (*) nazywamy okresem podstawowym

Moc okresowego sygnału analogowego

Dla sygnału okresowego moc średnia w przedziale (-
;+
) równa jest mocy średniej za okres T0

Ponieważ realizowalne fizycznie sygnały mają skończoną moc średnią za okres, na podstawie powyższych rozważań można stwierdzić´, że mają one skończoną moc w przedziale o nieskończonej długości

Wartość´ skuteczną określa się jako:

Pojecie wartości skutecznej odgrywa ważną rolę w analizie sygnałów realizowalnych fizycznie.

Parametry sygnału harmonicznego: amplituda, pulsacja, faza początkowa, częstotliwość, okres sygnału.

Impuls prostokątny - Jest przykładem sygnału analogowego o skończonej energii i o skończonym czasie trwania, jest nie ciągły w punktach +/- ½

Impuls trójkątny - Sygnał o skończonym czasie trwania i skończonej energii

Symetryczny sygnał malejący wykładniczo - Sygnał o nieskończonym czasie trwania i ograniczonej energii

Asymetryczny sygnał malejący wykładniczo - Sygnał o nieskończonym czasie trwania i ograniczonej energii

Sygnał Sa(t) - Sygnał o nieskończonym czasie trwania i ograniczonej energii (podobnie Sa²(t) )

Sygnał stały - Sygnał o nieskończonym czasie trwania i ograniczonej mocy

Skok jednostkowy 1(t) - Sygnał o nieskończonym czasie trwania i ograniczonej mocy

Sygnał Sign (t), Si(t)

Sygnały dyskretne

Do określenia wartości sygnału pomiędzy chwilami próbkowania stosuje się aproksymację. Można wykazać, że wartość´ średnia i moc średnia sygnału aproksymującego y(t) są równe odpowiednio wartości średniej Xsr i mocy średniej Px sygnału

dyskretnego x[n]

Dyskretny sygnał stały

Sygnał dyskretny o ograniczonej mocy i nieograniczonym czasie

Trwania; Xsr = A, Px = A²

Przekształcenia sygnałów:

• Przesuniecie w czasie, Zmiana skali czasu, Inwersja czasu, Mnożenie sygnałów

Sygnał o symetrii parzystej - sygnał ma symetrie parzystą, jeżeli dla każdej chwili czasu t (lub czasu dyskretnego n) zachodzi:

x(t) = x(-t); sygnał prostokątny

Sygnał o symetrii nieparzystej - sygnał ma symetrię nieparzystą, jeżeli dla każdej chwili czasu t (lub czasu dyskretnego n) zachodzi: x(t) = -x(-t); sygnał harmoniczny

Własności splotu dyskretnego Przemienność, Łączność´, Rozdzielność względem dodawania, Przesunięcie w dziedzinie czasu, Splot z impulsem jednostkowym

Własnos´ci splotu ciągłego Przemienność, Łączność´, Rozdzielność względem dodawania, Przesunięcie w dziedzinie czasu, Splot z impulsem jednostkowym, Pochodna, całka splotu:

System jako model relacji

Nauka i technika próbują wyjaśniać oraz wykorzystywać skomplikowane zjawiska fizyczne i badać występujące w nich relacje przyczynowo-skutkowe. Wymaga to konstrukcji modeli zjawisk. Modele takie nazywane są systemami. W modelach przyczyna reprezentowana jest przez sygnał wejściowy (wejście), a skutek przez sygnał wyjściowy (wyjście). Konstruowane modele są zazwyczaj uproszczone:

• zaniedbuje się efekty drugorzędne, koncentrując się na efektach istotnych dla danego zjawiska

• prowadzi to do znacznego uproszczenia modeli przy ich zadowalającej dokładności

System czasu ciągłego - system jest systemem czasu ciągłego, jeżeli

• akceptuje na wejściu sygnały czasu ciągłego

• jego odpowiedz również jest sygnałem czasu ciągłego

System czasu dyskretnego - system jest systemem czasu dyskretnego, jeżeli

• akceptuje na wejściu sygnały czasu dyskretnego

• jego odpowiedź również jest sygnałem czasu dyskretnego

System bez pamięci - system jest systemem bez pamięci, jeżeli dla dowolnej chwili t0 wartość sygnału wyjściowego y(t0) zależy wyłącznie od wartości sygnału wejściowego x(t0) w tej samej chwili.

System taki nazywa się także systemem statycznym

System z pamięcią - system jest systemem z pamięcią, jeżeli chwili t0 wartość sygnału wyjściowego y(t0) zależy od wartości sygnału wejściowego x(t) w chwilach poprzedzających t0 lub następujących po t0.

System taki nazywa się także systemem dynamicznym

Stanem systemu nazywamy zbiór liniowo niezależnych wielkości v₁, v₂, …,v_n określających w pełni skutki przeszłych oddziaływań na system, który to zbiór jest wystarczający do wyznaczenia odpowiedzi systemu w przyszłości.

Wielkości v₁, v₂, …,v_n nazywa się zmiennymi (współrzędnymi) stanu, a wektor v = [v₁, v₂, …,v_n] - wektorem stanu

Stan jest “zamrożoną fotografią” systemu w chwili t₀ W uproszczeniu, zmienne stanu są związane z elementami systemu magazynującymi energię W przypadku obwodów elektrycznych zmiennymi stanu są zwykle napięcia na pojemnościach i prądy w indukcyjnościach

Pojecie stabilności systemu

System stabilny - system jest stabilny, jeżeli małe sygnały wejściowe prowadzą do ograniczonych sygnałów wyjściowych

Uwagi: bardzo ważna własność systemu; jest co najmniej kilka definicji stabilności

Przykład układu stabilnego: wahadło proste, Przykład układu niestabilnego: wahadło odwrócone

System stabilny ze względu na wymuszenie - system jest stabilny ze względu na wymuszenie, jeżeli dowolny ograniczony sygnał wejściowy powoduje powstanie ograniczonego sygnału wyjściowego Stabilność układów fizycznych związana jest z mechanizmem rozpraszania energii przez układ.

Dzielnik napięcia jest układem stabilnym, w którym energia sygnału wejściowego u1(t) jest rozpraszana przez rezystancje R1, R2. Aby wykazać, że system jest niestabilny, wystarczy znaleźć ograniczony sygnał wejściowy, powodujący wygenerowanie przez system nieograniczonego sygnału wyjściowego

System bez pamięci liniowy - system bez pamięci jest liniowy, jeżeli jest addytywny i jednorodny

Zasada superpozycji - jednoczesne spełnienie warunku addytywności i jednorodności

Liniowość´ systemów z pamięcią: uwagi ogólne

• Pojęcie bardziej złożone od liniowości systemów bez pamięci

• Odpowiedź systemu z pamięcią zależy od sygnału wejściowego i od stanu początkowego

• Liniowość´ systemu z pamięcią oznacza liniowość´ względem sygnału wejściowego oraz warunków początkowych

System analogowy bez pamięci jest stacjonarny, gdy spełniony jest warunek, że jeżeli odpowiedzią systemu na sygnał x(t) jest y(t), to dla każdej wartości t
R odpowiedzią systemu na sygnał x(t - T) będzie y(t - T)

System czasu dyskretnego bez pamięci jest stacjonarny, gdy spełniony jest warunek, że jeżeli odpowiedzią systemu na sygnał x[n] jest y[n], to dla każdej wartości n₀
C odpowiedzią systemu na sygnał x[n - n₀] będzie y[n - n₀]

Stacjonarność´ systemu czasu dyskretnego z pamięcią

System analogowy z pamięci jest stacjonarny, jeżeli dla każdego T
R warunek początkowy oraz wymuszenie powodują powstanie sygnału wyjściowego

System o stałych skupionych (skończonego rzędu) - jeżeli liczba składowych wektora stanu jest skończona, system jest systemem o stałych skupionych lub systemem skończonego rzędu

System SLS to system o stałych Skupionych, Liniowy i Stacjonarny

System jest blokiem z wyróżnionymi wejściami i wyjściami oraz działaniem określonym w postaci relacji pomiędzy wejściami i wyjściami

Odpowiedzią impulsową systemu czasu ciągłego nazywamy sygnał na wyjściu systemu y(t) = h(t), gdy wejście jest pobudzane impulsem Diraca x(t) = δ(t)

Odpowiedzią skokową systemu czasu ciągłego nazywamy sygnał na wyjściu systemu y(t) = k(t), gdy wejście jest pobudzane skokiem jednostkowym x(t) = 1(t)

Odpowiedzią impulsową systemu czasu dyskretnego nazywamy sygnał na wyjściu systemu y[n] = h[n], gdy wejście jest pobudzane impulsem Kroneckera x[n] = _[n], a warunki początkowe są zerowe

System ma skończona odpowiedź impulsową (SOI lub FIR=Finite Impulse Response), jeśli istnieje stała

0 < N0 <
taka, że h[n] = 0 dla n > N0

System ma nieskończoną odpowiedź impulsową (NOI lub IIR=Infinite Impulse Response), jeśli dla każdego n > 0 jest h[n]
0

Odpowiedzią skokową systemu czasu dyskretnego nazywamy sygnał na wyjściu systemu y[n] = k[n], gdy wejście jest pobudzane skokiem jednostkowym x[n] = 1[n], a warunki początkowe są zerowe

Odpowiedzią systemu SLS na wymuszenie postaci sygnału dyskretnego jest sygnał w postaci dyskretnego splotu dwustronnego

Własności transformacji Laplace'a: liniowość, Mnożenie przez czynnik wykładniczy, Twierdzenie o przesunięciu w dziedzinie czasu, Twierdzenie o różniczkowaniu w dziedzinie s, Twierdzenie o L-transformacie pochodnej, Twierdzenie o całkowaniu w dziedzinie czasu, Twierdzenie o zmianie skali czasu, Twierdzenie o transformacie Laplace'a splotu,

Własności transformacji Z: liniowość, Różniczkowanie w dziedzinie z, Mnożenie przez czynnik, Opóźnienie czasowe sygnału, Wyprzedzenie czasowe sygnału, Przesuniecie czasowe sygnału, Transformata Z splotu

Zastosowanie transformaty Z do analizy systemów SLS

Jednym z zastosowań jest analiza stanów nieustalonych w systemach SLS czasu dyskretnego

Systemy te są opisywane za pomocą równań´ różnicowych liniowych o stałych współczynnikach

Przekształcenie Z równania różnicowego dziedziny czasu prowadzi do równania algebraicznego zmiennej zespolonej z

Zespolonym widmem sygnału x(t) nazywamy zbiór współczynników rozkładu na szereg Fouriera

Widmo sygnału okresowego jest widmem dyskretnym, mającym postać ciągu dystrybucji Diraca mnożonych przez wartości zespolonych współczynników ck rozkładu tego sygnału na szereg Fouriera i określonych w punktach, będących całkowitymi wielokrotnościami pulsacji fundamentalnej ω₀

Filtracją sygnału nazywa się proces przetwarzania sygnału, którego celem jest uzyskanie sygnału wyjściowego o określonych parametrach, definiowanych najczęściej w dziedzinie częstotliwości

Filtrem nazywa si ˛e system (zwykle liniowy), który realizuje proces filtracji sygnału

Dyskretnym widmem sygnału dyskretnego x[n] o skończonym czasie trwania N nazywamy zbiór próbek {X[k] k = 0, 1, …N - 1}

Jak dobierać okna?

Okno Hanninga : analiza sygnałów stacjonarnych o czasie trwania dłuższym niż szerokość´ okna (likwiduje nieciągłości na sklejanych końcach analizowanej realizacji)

Okno prostokątne : analiza sygnałów przejściowych o czasie trwania krótszym niż szerokość okna (nie wprowadza zmiennych wag dla wartości chwilowych)

Okno Kaisera : pozwala na skuteczne odseparowanie od siebie składowych

harmonicznych o znacznie różniących się amplitudach

Okno “Flat-top” : stosowane do kalibracji i dokładnego pomiaru wartości skutecznych

---