Wprowadzenie do systemów telekomunikacyjnych

Seminarium

Michał Chrystianowicz

Nr 88009

Wtorek 13¹⁵

Lista zadań nr 1

Zadanie 2.

Rozwinąć w trygonometryczny i wykładniczy szereg Fouriera funkcje jak F(t) jak na rysunkach:

Wykazać, że przy τ→0 funkcje a) i b) i ich rozwinięcia stają się identyczne.

Wstęp teoretyczny

Wiadomo, że każdą funkcję regularną (także okresową) możemy rozłożyć w trygonometryczny szereg Fouriera postaci:

Można użyć także postaci wykładniczej tego szeregu i taką będę się posługiwał gdyż jest ona dla mnie przyjemniejsza w operowaniu.

ad a)

Ponieważ nasza funkcja jest okresowa, o okresie T₀ więc wystarczy że znajdziemy jej rozwinięcie w szereg Fouriera w przedziale będącym jej okresem. Rozwinięcie w szereg na tym przedziale będzie identyczne jak rozwinięcie dla całej dziedziny czasu t.

ad b)

Podobnie jak w podpunkcie a) tak i tu mamy do czynienia z funkcją okresową o okresie T₀, jednak dodatkowo dla t∈(τ/2 , T₀-τ/2) funkcja przyjmuje wartość równą zero więc spokojnie możemy rozpatrywać ją ograniczając się tylko do przedziału t∈(-τ/2 , τ/2).

A zatem mając już argument c_n możemy przejść do wyznaczenia szeregu

Miałem wykazać, że przy τ→0 funkcje a) i b) i ich rozwinięcia stają się identyczne. Jeśli chodzi o funkcje to wydaje się to być oczywiste, skoro szerokość impulsu dąży do zera to impuls taki powinien przypominać deltę czyli przebieg funkcji z podpunktu a). Poza tym funkcje mają ten sam okres T₀ więc i ich rozwinięcia stają się identyczne. Niestety moje wyniki nie spełniają tego warunku więc prawdopodobnie jeden z nich jest nieprawidłowy

ad c)

Funkcja z tego podpunktu nie jest już okresowa, jej przebieg jest ograniczony do przedziału (0,1) gdzie funkcja określona jest wzorem:

f(t)=At t∈(0 , 1)

teraz podstawiamy

Wnioski

Rozwinięcie w szereg Fouriera funkcji w zadaniu nastręczyło mi pewnych trudności ze względu na brak widomości z TO 2 na którą nie miałem jeszcze przyjemności uczęszczać, dlatego posiłkowałem się notatkami koligi z tego przedmiotu i książką Martina Rodena „Systemy telekomunikacyjne analogowe i cyfrowe”.

---