Paweł Czuczwara Semestr zimowy 2000/2001
Nr.94351
WPROWADZENIE DO SYSTEMÓW TELEKOMUNIKACYJNYCH
SEMINARIUM
I. Zadanie Z-1 / 1
Rozwinąć w trygonometryczny szereg Fouriera funkcję f(t) przedstawioną na rysunkach
a) , b) , c), w przedziale (0,1).
f(t) f(t) f(t)
A A A
a) b) c)
0 1 t 0 1 t 0 1 t
Wprowadzenie
Z analizy matematycznej wynika, że każdą okresową funkcję czasu o okresie T , która w dowolnym przedziale czasu T jest funkcją regularną oraz funkcją o ograniczonej zmienności ,można rozłożyć w trygonometryczny szereg Fouriera o postaci:
f(t) = a0/2 + ( ak cos(kω0t)+ bksin(kω0t)),
gdzie: a0=
,
ak =
,
bk=
,
oraz ω0=2π/T, zaś t0 może być wybrane dowolnie.
Można wprowadzić zespolony współczynnik Fk określony dla dowolnego całkowitego k .
wówczas szereg Fouriera można zapisać w postaci wykładniczego szeregu Fouriera
f(t)=
gdzie Fk =
,.
Rozwiązanie zadania.
a) Korzystam z definicji obliczając a0, ak, bk :
Funkcję zapisuję jako f(t) = a⋅t ,oczywiście dla t∈ < 0,1 >.
a0=
uogólniając wzór dla wszystkich k otrzymujemy .
ak =
bk =
Stąd też otrzymujemy :
I tak dla przykładu dla a=6 i rozwinięciu w szereg k=1..7 o trzymujemy :
wykres :
b) Funkcję zapisuję jako f(t) = a ,oczywiście dla t∈ < 0,1 >.
a0=
uogólniając wzór dla wszystkich k otrzymujemy .
ak =
bk =
Stąd też otrzymujemy :
c) Funkcję zapisuję jako f(t) = -a⋅t + a ,oczywiście dla t∈ < 0,1 >.
a0=
uogólniając wzór dla wszystkich k otrzymujemy .
ak =
bk =
Stąd też otrzymujemy :
I tak dla przykładu dla a=6 i rozwinięciu w szereg k=1..7 o trzymujemy :
wykres :
Wnioski .
Jak widać istnieje łatwa metoda wyznaczania współczynników szeregu Fouriera- szczególnie gdy badana funkcja jest matematycznie łatwa do zapisu. Przy pomocy narzędzi obliczeniowych, takich jak kalkulator czy komputer istnieje szybka możliwość wyliczeniowa. W powyższej metodzie korzystałem bezpośrednio z definicji, są oczywiście inne metody opierające się na właściwościach szeregów Fouriera. Większość tych twierdzeń ustala relacje między operacjami wykonywanymi na widmach tych sygnałów w dziedzinie częstotliwości . Operacje w dziedzinie częstotliwości polegają na odpowiednim przekształceniu widma lub widm sygnałów w inne widmo - widmo sygnału otrzymanego jako wynik operacji w dziedzinie czasu.
1
3