Z1 06, SPRAWOZDANIA czyjeś


Tomasz Madejski

WPROWADZENIE DO SYSTEMÓW TELEKOMONIKACYJNYCH -SEMINARIUM.

Semestr zimowy 2000/2001.

Prowadzący: dr inż. Wojciech J. Krzysztofik.

Zadanie Z1/6.

Wyznaczyć metodą pochodnych współczynniki Fn rozkładu w wykładniczy szereg Fouriera następujących funkcji:

1.Wstęp teoretyczny.

Podstawowym aparatem matematycznym analizy widmowej są szereg i przekształcenie (transformata) Fouriera. Z jego istoty wynika, że każdą funkcję okresową (w tym przypadku sygnał) spełniającą określone warunki (tzw. warunki Dirichleta :

1.posiadający skończoną liczbę punktów nieciągłości w okresie,

2.posiadający skończoną liczbę ekstremów (przedziałami monotoniczny),

3.bezwzględnie całkowalny w okresie) można przedstawić w postaci równoważnego jej szeregu Fouriera w postaci trygonometrycznej lub wykładniczej (zespolonej):

0x01 graphic
, 0x01 graphic
- pulsacja podstawowa

gdzie:

0x01 graphic
, 0x01 graphic

Tak więc istotą przekształcenia Fouriera jest przedstawienie sygnału okresowego w postaci sumy elementarnych drgań harmonicznych.

Własności wykładniczego szeregu Fouriera:

Jeżeli f(t) ↔ Fn oraz g(t) ↔ Gn, wówczas:

  1. Liniowość: a f(t) + b g(t) ↔ a Fn + bGn (jeżeli f(t) i g(t) mają ten sam okres).

  2. Przesunięcie w dziedzinie czasu: f(t - to) ↔ Fn e- j n ωoto (liniowa zmiana widma fazowego: ϕn = arg Fn - nωoto),

  3. Różniczkowanie funkcji czasu: df k(t)/dt k ↔ (jnωo)kFn n ≠ 0.

  4. Zmiana skali czasu: f(at) ↔ Fn, (okres f(at) równy T/a, pulsacja podstawowa równa 2πa/T= aωo), kształt widma identyczny jak f(t).

    1. Całkowanie funkcji czasu:

    0x01 graphic

    Bardzo użyteczną funkcją periodyczną jest periodyczny ciąg impulsów delta Diraca:

    0x01 graphic

    Korzystając z własności próbkujących funkcji delta Diraca znajdujemy:

    δp(t, T) ↔ Fn =0x01 graphic

    2.Rozwiązanie zadania.

    a)

    Korzystając z metody pochodnych i wzorów przytoczonych w części teoretycznej obliczamy odpowiednie współczynniki rozwinięcia Fouriera (dla T = p,czyli 0x01 graphic
    =2) :

    Jak widać z powyższych rysunków po dwukrotnym zróżniczkowaniu funkcji f(t) otrzymaliśmy ciąg funkcji impulsowych oraz funkcję okresową -f(t).

    Możemy teraz ułożyć następujące równanie:

    0x01 graphic

    Ostatecznie:

    0x01 graphic

    b)

    Korzystając z metody pochodnych i wzorów przytoczonych w części teoretycznej obliczamy odpowiednie współczynniki rozwinięcia Fouriera (dla T = 2p,czyli 0x01 graphic
    =1) :

    0x01 graphic

    c)

    Korzystając z metody pochodnych i wzorów przytoczonych w części teoretycznej obliczamy odpowiednie współczynniki rozwinięcia Fouriera (dla T = 2p,czyli 0x01 graphic
    =1) :

    0x01 graphic

    Współczynnik pierwszej harmonicznej musi być policzony z definicji :

    0x01 graphic

    0x01 graphic

    Ostatecznie:

    0x01 graphic

    Wnioski:

    Analiza widmowa sygnałów należy do podstawowych narzędzi matematycznych we współczesnej elektronice i telekomunikacji, a zwłaszcza w teorii sygnałów. Umożliwia ona przedstawienie każdego sygnału okresowego za pomocą analitycznej funkcji zespolonej w postaci szeregu zwanego szeregiem Fouriera. Dzięki zastosowaniu metody pochodnych można stosunkowo szybko i łatwo wyznaczyć współczynniki Fn skomplikowanych funkcji okresowych.



    Wyszukiwarka

    Podobne podstrony:
    z3 06, SPRAWOZDANIA czyjeś
    z4 06, SPRAWOZDANIA czyjeś
    z1 02, SPRAWOZDANIA czyjeś
    z1 15, SPRAWOZDANIA czyjeś
    z1 07, SPRAWOZDANIA czyjeś
    z1 10, SPRAWOZDANIA czyjeś
    z1 07a, SPRAWOZDANIA czyjeś
    Z1 13, SPRAWOZDANIA czyjeś
    Z1 01, SPRAWOZDANIA czyjeś
    Z1 04, SPRAWOZDANIA czyjeś
    z1 05, SPRAWOZDANIA czyjeś
    z3 06, SPRAWOZDANIA czyjeś
    dietetyk 321[11] z1 06 n
    pomoc2cd(1), SPRAWOZDANIA czyjeś
    Budowa kontenera C, SPRAWOZDANIA czyjeś
    Zalety systemów SDH, SPRAWOZDANIA czyjeś
    Hartowanie i odpuszczanie, SPRAWOZDANIA czyjeś
    z 1 7 a, SPRAWOZDANIA czyjeś

    więcej podobnych podstron