03.11.1999
Rozwiązanie zadania nr.7 z listy pierwszej
Janusz Garbera
88010
Środa, godz. 1315 - 1500 , sala 142, bud. C-4
Prowadzący: dr inż. Wojciech J. Krzysztofik
Do podstawowych własności transformaty Fouriera należą:
Liniowość
af(t)+bg(t) = aFk+bFk
różniczkowalność
f '(t) = jkωoFk
przesunięcie w dziedzinie czasu
f(t-to) = e-jkωotoFk
Wykorzystując te własności można w prosty sposób wyznaczyć transformaty Fouriera sygnałów zadanych w zadaniu.
Rozwiązanie
Jeżeli sygnały mają skończoną energię (tak jak w zadaniu) to możemy użyć metody różniczkowania oraz wyżej wymienionych własności transformaty Fouriera.
F(jϖ)
a)
Po zróżniczkowaniu otrzymujemy :
jϖF(jϖ)
Po kolejnym zróżniczkowaniu otrzymujemy:
-ϖ2F(jϖ)
Obliczmy transformatę Fouriera:
Mamy więc:
b)
Używając tej samej metody:
F(jϖ)
Po zróżniczkowaniu:
jϖF(jϖ)
Po kolejnym zróżniczkowaniu:
-ϖ2F(jϖ)
Obliczmy transformatę Fouriera:
Stąd:
c)
F(jϖ)
Po zróżniczkowaniu:
jϖF(jϖ)
Po ponownym zróżniczkowaniu:
-ϖ2F(jϖ)
Obliczmy transformatę Fouriera:
Więc:
Wnioski
Jak widać wykorzystując własności transformaty Fouriera możemy w dość prosty sposób przedstawić dowolny przebieg o skończonej energii w dziedzinie częstotliwości . W podpunkcie c) możemy zaobserwować ciekawą własność .Mimo , że przebieg jest częścią funkcji cos(t) , której widmo składa się tylko z jednego prążka ,nasz przebieg ma ich więcej. Te dalsze składowe zerują przebieg poza przedziałem (-π/2, π/2) .