Przykłady ciągów

1. W dzienniku lekcyjnym nazwiska uczniów w danej klasie zapisano w porządku alfabetycznym. W ten sposób każdej liczbie naturalnej 1, 2, 3, ... przyporządkowano odpowiednie nazwisko.

2. We wrześniu 1997 r. odbyły się wybory do Sejmu i Senatu RP. W wyborach do Sejmu kolejne miejsca zajęły następujące partie: 1. Akcja Wyborcza Solidarność, 2. Sojusz Lewicy Demokratycznej, 3. Unia Wolności, 4. Polskie Stronnictwo Ludowe, 5. Ruch Odbudowy Polski.

3. Poniższa tabela podaje kolejne liczby pierwsze:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	...
2	3	5	7	11	13	17	19	23	29	...

W pierwszym wierszu tabeli wypisano kolejne liczby naturalne, w drugim - kolejne liczby pierwsze. A więc liczba 2 jest najmniejszą liczbą pierwszą, następna jest 3, trzecią z kolei - liczba 5, a dziesiątą - liczba 29, itd.

W każdym z powyższych przykładów liczbom naturalnym przyporządkowano odpowiednie obiekty, dzięki czemu wiadomo który element jest pierwszy, drugi, itd. Utworzono zatem ciąg, a kolejno występujące elementy są jego wyrazami. Możemy więc powiedzieć, że ciąg to funkcja określona na zbiorze liczb naturalnych dodatnich lub na jego skończonym podzbiorze {1, 2, 3, ..., k}. Wyrazy ciągu to wartości tej funkcji, które oznaczamy małymi literami z indeksem (indeks jest dodatnią liczbą naturalną),

np. a₁, a₂, a₃, a_n







pierwszy wyraz ciągu trzeci wyraz ciągu

drugi wyraz ciągu n-ty wyraz ciągu

Zapis (a_n) oznacza ciąg a₁, a₂, a₃, ... .

W pierwszych dwóch przykładach mieliśmy do czynienia z ciągami określonymi tylko dla skończonego zbioru argumentów. Takie ciągi nazywamy ciągami skończonymi.

Ciąg liczb pierwszych nie jest skończony. Ciąg określony dla wszystkich liczb naturalnych dodatnich nazywamy ciągiem nieskończonym. Prostymi przykładami ciągów nieskończonych są:

• Ciąg liczb naturalnych 1, 2, 3, 4, ...

• Ciąg liczb naturalnych parzystych 2, 4, 6, 8, ...

Najczęściej spotkane ciągi to te, których wszystkie wyrazy są liczbami. Takie ciągi nazywamy liczbowymi.

Aby określić ciąg należy podać sposób, w jaki kolejnym liczbom naturalnym przyporządkowane są odpowiednie wartości. Przyporządkowanie to zapisujemy za pomocą ogólnego wzoru przedstawiającego zależność wyrazu a_n od liczby n.

• Ciąg liczb naturalnych dodatnich (1, 2, 3, ...) opisujemy wzorem a_n = n

• Ciąg określony wzorem a_n =
  ma kolejne wyrazy
  

• Kolejnymi wyrazami ciągu a_n = (-1)ⁿ są liczby -1, 1, -1, 1, ...

• 1, 4, 9, 16, 25, ... to ciąg określony wzorem a_n = n²

W powyższych przykładach określono ciągi podając wzór na n - ty wyraz ciągu. Aby obliczyć kolejne wyrazy ciągu wystarczy w takim wzorze podstawić odpowiednia wartość za n.

Przykład

Podaj pierwsze trzy wyrazy ciągu określonego wzorem a_n = -n³ + 2n + 5.

Rozwiązanie

Do podanego wzoru wszędzie za n podstawiamy odpowiednio najpierw 1, potem 2 i 3

a_n = -n³ + 2n + 5

n =1 a₁ = - (1)³ + 2 ⋅ 1 + 5

a₁ = - 1 + 2 + 5

a₁ = - 1 + 7

a₁ = 6

n =2 a₂ = - (2)³ + 2 ⋅ 2 + 5

a₂ = - 8 + 4 + 5

a₂ = - 4 + 5

a₂ = 1

n =3 a₃ = - (3)³ + 2 ⋅ 3 + 5

a₃ = - 27 + 6 + 5

a₃ = - 27 + 11

a₃ = - 16

Spotykamy też inne sposoby określania ciągów.

• Ciąg (a_n) spełnia następujące warunki: a₁ = 1, każdy następny wyraz jest o 2 większy od poprzedniego. Warunki te pozwalają obliczyć kolejne wyrazy: a₂ = a₁+2 = 3,

a₃ = a₂ + 2 = 5, itd. Możemy w ten sposób obliczyć każdy wyraz ciągu, choć jest to kłopotliwe, bo aby obliczyć wyraz n - ty musimy obliczyć wszystkie poprzednie.

• Ciąg (b_n) spełnia następujące warunki: b₁ = 1, b₂ = 2, każdy następny wyraz jest suma dwóch bezpośrednio go poprzedzających: b_n+2 = b_n + b_n+1. Zatem otrzymujemy ciąg 1, 1, 2, 3, 5, ...

Ciąg określony w ten sposób, że podano pierwszy wyraz (lub kilka pierwszych wyrazów) oraz regułę pozwalającą obliczyć dalsze wyrazy za pomocą wyrazów wcześniejszych nazywamy ciągiem rekurencyjnym.

Ponieważ ciąg jest funkcją, więc posiada pewne własności funkcji. Możemy zatem mówić o monotoniczności ciągu liczbowego, tzn. określić czy jest to ciąg rosnący czy malejący.

Jeśli wyrazy ciągu są liczbami, z których każda następna jest większa od poprzedniej, to ciąg nazywamy rosnącym. W takim ciągu dla dowolnych dwóch kolejnych wyrazów a_n i a_n+1 zachodzi nierówność a_n < a_n+1.

Gdy wyrazy ciągu są liczbami takimi, że każda następna jest mniejsza od poprzedniej, to ciąg nazywamy malejącym. W takim ciągu dla dowolnych dwóch kolejnych wyrazów a_n i a_n+1 zachodzi nierówność a_n > a_n+1.

Gdy wszystkie wyrazy ciągu są jednakowe, to ciąg nazywamy ciągiem stałym. W ciągu stałym dla dwóch kolejnych wyrazów a_n i a_n+1 zachodzi równość a_n = a_n+1.

Aby sprawdzić monotoniczność ciągu określonego wzorem, wystarczy ustalić znak różnicy a_n+1- a_n. Jeśli różnica ta jest dodatnia (niezależnie od wartości n), to ciąg jest rosnący, gdy jest ujemna - malejący, a gdy równa zero - stały.

Przykład

Zbadaj monotoniczność ciągu:

1. a_n = -2n + 20

2. a_n =
   

3. a_n = n² -8n +7

Rozwiązanie

1. a_n = -2n + 20

Najpierw wyznaczamy wyraz a_n+1

a_n+1 = -2(n+1) +20

a_n+1 = -2n -2 +20

a_n+1 = -2n +18

Badamy różnicę

a_n+1- a_n = -2n +18 - (-2n + 20) = -2n + 18 + 2n - 20 = -2 <0

Zatem ciąg (a_n) jest ciągiem malejącym.

2. a_n =
   

a_n+1 =


a_n+1 =


a_n+1- a_n =
-
=
=
= =
>0 (ponieważ dla dowolnej liczby naturalnej n liczby n+1 i n+2 są dodatnie)

Zatem ciąg jest rosnący.

3. a_n = n² - 8n + 7

a_n+1 = (n+1)² - 8(n +1) + 7

a_n+1 = n² +2n +1 - 8n - 8 + 7

a_n+1 = n² - 6n

a_n+1 - a_n = n² - 6n - (n² - 8n + 7) = n² - 6n - n² + 8n - 7 = 2n -7

Wartość wyrażenia 2n-7 może być liczbą dodatnią lub ujemną.

Zatem ciąg a_n = n² - 8n + 7 nie jest ani rosnący, ani malejący.


Ćwiczenie 1

Rozwiąż zadania:1-22 str. 166-169 z podręcznika.

---