Dla materiału izotropowego
εx=1/E[σx-v(σy+σz)]; yxy=τxy/G
εy=1/E[σy-v(σz+σx)]; yyz=τyz/G
εz=1/E[σz-v(σx+σy)]; yzx=τzx/G
Układ równań można rozwiązać, wyznaczając
naprężenia i otrzymuje się wówczas
σx=E/(1+ν)[εx+ν/(1-2ν)(εx+εy+εz)] τxy=Gyxy
σy=E/(1+ν)[εy+ν/(1-2ν)(εx+εy+εz)] τyz=Gyyz
σz=E/(1+ν)[εz+ν/(1-2ν)(εx+εy+εz)] τzx=Gyzx
W zapisie skróconym wzory (10.3) i (10.4) przyjmują
następującą postać. eij=(1+v)/E σij-v/Eσααδij
σij=2Geij+λeααδijgdzie λ=2vG/(1-2v)-stałaLamego.
Wzory (10.3) i (10.4) lub (10.3a) i (10.4a) wyrażają
uogólnione prawo Hooke'a dla trójosiowego stanu
naprężenia w materiale izotropowym.
Składowe stanu odkształcenia (lub naprężenia)
są jednorodnymi liniowymi funkcjami składowych
stanu naprężenia (lub odkształcenia).
Zauważmy, że w przypadku gdy osie x, y, z są
głównymi osiami odkształcenia, to yxy=0, yyz=0,
yzx=0;pociąga to jednak za sobąτxy=0,τyz=0,τzx=O
i dowodzi, że kierunki główne stanu odkształcenia
i stanu naprężenia w ciele izotropowym pokrywają
się. Dla płaskiego stanu naprężenia gdy σz=O,
τyz=O,τxz=O, zależności między składowymi stanu
naprężenia i odkształcenia wyrażają się następująco
εx=1/E(σx-vσy); εy=1/E(σy-vσx); yxy=τxy/G
σx=E/(1-ν2)(εx+νεy); σy=E/(1-ν2)(εy+νεx); τxy=Gyxy