CEL ĆWICZENIA

Celem ćwiczenia jest zbadanie ,, statystycznej czystości'' serii pomiarów liczby impulsów rejestrowanych w urzadzeniu pomiarowym z licznikiem Geigera-Millera poddanum ekspozycji promieniowaniem γ.

ROZKŁAD GAUSSA

Rozważmy dwumian rozkładowy podany we wzorze

P(n) =(N! /n!(N-n)!)pⁿq^N-n

gdzie q = 1-p.Gdy N jest duże ,obliczenie prawdopodobieństwa P(n) staje się trudne , ponieważ wymaga to obliczenia silni dużych liczb.Jednoczesnie można zastosować aproksymację ,dzieki której wyrażenie to przyjmuje prostą postać.Własnośc ta polega na tym ,że prawdopodobieństwo P(n) lubi wykazywać maksimum,które staje się dość wyrażne ,gdy N jest duże.w ten sposób prawdop.P(n) jest bardo małe jesli tylko n różni się znacznie od tej szczególnej wartości n = n' dla której P ma max.Liczba n w intersujacych nas obszarach bliskich n' jest również duza i jeżeli n jest duże , P(n) zmienia się stosunkowo mało, gdy n zmienia się o jednostkę tj. |P(n=1)P(n)|<<P(n),tak że P(n) jest wolno zmieniajaca się funkcja n.dla n=n' przy której P ma max. jest dana wyrażeniem n'= Np .

y = n-n' stąd wyrażenie P (n) przyjmuje wartość P(n)= P' exp (-y ²/ 2 Npq ...) = P' exp [-(n-n')² /2Npq ...] , gdzie P=P(n').Wykorzystujac wartość n' =Np wyrażenie określajace prawdopodobieństwo P(n) przyjmuje postać

P(n)= 1/*e ^{-(n-Np) 2 / 2Npq} .Zauważmy ,że wyrażenie to jest znacznie łatwiejsze ponieważ rachunek nie wymaga w ogóle obliczenia silni.Funkcja prawdopodobieństwa znana jest jako rozkład Gaussa .

Odchylenie standardowe n wynosi Δn = twierdzenie to jest prawdziwe tylko wtedy ,gdy ( Npq)^1/2 >>1.

Rozkład Gaussa może być jedynie przedstawione za pomoca dwuch parametrów n' i Δn .

P(n) = 1/(Δn)* exp [-0.5(n-n''/Δn)²] gdzie n'' = n' =Np. Wprowadzimy zmienną z = (n-n'')/Δn tak że n = n''+( Δn)z. Wtedy równanie P(n) przyjmuje wartość P(n)Δn = 1/*^e-(0.5)z2 .Zauważamy ,że rozkład Gaussa jest symetryczny wzgledem swojej wartości sredniej tj. ze P(n) przyjmuje te same wartości dla z i -z.

ROZKŁAD POISSONA

Rozważmy dwumian

P(n)= (N!/n!(N-n)!)pⁿ(1-p)^N-n

Zbadajmy z koleji przybliżenie gdy prawdopodob. p jest dostatecznie małe p<<1 n<<N .

Zbadajmy gdy N!/(N-n)! = N(N-1)(N-2)...(N-n+1). ponieważ n<<N otrzymujemy wynik przybliżony

N!/(N-n)!=Nⁿ . Zbadajmy następnie czynnik y = (1-p)^(N-n) co jest równoważne ln y =(N-n) ln(1-p).

ponieważ n<<N przyjmujemy ln y= -Np albo y = (1-p)^N-n = e ^-Np.

Otrzymujemy P(n) = Nⁿ/n! pⁿ e ^-Np. Gdy λ= Np otrzymamy P(n) = λⁿ/n! e ^-λ.

Powyrzszy wynik określany jest rozkładem Poissona.

MIARY ROZRZUTÓW

Średni rozrzut wartości doświadczalnych x względem wartości rzeczywistej xo scharakteryzowany wielkością zwaną wariacja lub dyspersją V(x) = 1/ n [ (x₁-x_o)² + (x₂-x₀)²+...+(x_n-x_o)²]

Odchylenie standardowe (średni bład kwadratowy) σ ,które jest równe pierwiastkowi kwadratowemu z wariacji

σ =(V(x))^0.5

Standardowe odchylenie statyczne równe jest pierwiastkowi kwadratowemu z wartości średniej σ_st = (m)^0.5

Odchylenie srednie(przecietne) a definiowane jako srednia arytmetyczna z wartości bezwzględnych poszczególnych odchyleń

a = (|x₁|+|x₂|+...+|x_n|)/n

Odchylenie prawdopodobne r zdefiniowane jako że prawdopodobienstwo wystapienia odchylenia pojedynczego pomiaru w granicach ⁺_-r wynosi P(⁺_-r)=50%

---