POLITECHNIKA CZĘSTOCHOWSKA

KATEDRA FIZYKI

ĆWICZENIE NR 5.

TEMAT : Badanie statystycznej czystości pomiarów.

Rok II Grupa 3

Wydz. Elektryczny

1. Wstęp teoretyczny.

Rozkład Poissona.

Podczas badania procesów przypadkowych wyniki wielokrotnie powtarzanych pomiarów wykazują odchylenia tzw. fluktuacje statystyczne. Można wykazać teoretycznie, że rozkład wyników doświadczalnych takich zjawisk daje się opisać funkcją analityczną, nazwaną rozkładem Poissona.

Wyrażenie dla rozkładu Poissona można wyprowadzić bezpośrednio rozważając prawdopodobieństwa występowania określonych wartości lub jako przypadek graniczny rozkładu dwumianowego:

Niech doświadczenie polega na tym, że rejestrujemy za pomocą licznika liczbę zliczeń pochodzących od promieniowania kosmicznego w równych odstępach czasu Δt. Stawiamy pytanie, jakie jest prawdopodobieństwo P(m) występowania liczby zliczeń m w odstępie czasu Δt ? W tym celu musimy ustalić, co rozumiemy przez n i p w przypadku zjawisk przypadkowych takich jak np. promieniowanie kosmiczne czy rozpad promieniotwórczy. Oznaczamy średnią liczbę zliczeń dochodzących w 1 s do licznika przez I. Dla otrzymania wartości I wykonujemy pomiar liczby zliczeń n w bardzo długim okresie czasu t (t>>Δt). Zatem:

(1)

Jeżeli w okresie czasu t do licznika dochodzi 1 cząstka, to prawdopodobieństwo zarejestrowania tej cząstki w odstępie czasu Δt równa się :

(2)

Jeżeli t→∞, to także n→∞, ponieważ stosunek I = n/t zgodnie z jego fizycznym sensem jest stały. Przy n→∞ i m<< n:

(3)

Podstawiamy do równania (1) wyrażenie (2) i (3):

(4)

ale n = It oraz

Stąd po podstawieniu do (4) otrzymujemy:

(5)

Z definicji I, jako średniej liczby zliczeń w 1 s, wynika, że średnia liczba zliczeń w odstępie czasu Δt równa się:

Po uwzględnieniu powyższego i przyjęciu oznaczeń używanych zwykle dla zdarzeń statystycznych m = N i m = N rozkład Poissona przyjmuje postać:

Rozkład Poissona daje prawdopodobieństwo P(N), że w danym odstępie czasu będzie miało miejsce N zdarzeń, gdy średnia z wszystkich zdarzeń równa się N.

Wartość średnia N jest jedynym parametrem charakteryzującym rozkład Poissona, czyli jednoznacznie określa rozrzut liczby zdarzeń.

Rozkład Gaussa.

Przy dokonywaniu wielokrotnie pomiaru tej samej wielkości X, otrzymane wartości przy tej samej liczbie pomiarów mają rozkład symetryczny względem wartości średniej X i odchylenie standardowe δ. W przypadku pomiaru np. długości czy masy odchylenie standardowe przy tej samej wartości średniej X będzie zależało od dokładności przyrządów. Rozkład Gaussa opisuje również dobrze zjawiska przypadkowe, jeżeli N>>10 i duża jest liczba pomiarów n. Wtedy krzywa doświadczalna zbliża się do krzywej ciągłej, którą opisuje rozkład Gaussa.

Rozkład normalny Gaussa jest teoretycznym rozkładem opartym na postulacie minimalizacji sumy kwadratów błędów poszczególnych pomiarów:

Pierwsza pochodna tego wyrażenia musi się zerować, więc:

skąd:

W ten sposób wykazaliśmy, że wartość średniej arytmetycznej serii n pomiarów spełnia postulat Gaussa. Odchylenia poszczególnych pomiarów od wartości średniej stanowią miarę wartości błędów przypadkowych. Rozkład Gaussa opisany jest funkcją:

Parametr δ jest tzw. odchyleniem standardowym lub błędem średnim kwadratowym pojedynczego pomiaru:

W przypadku skończonej, niezbyt dużej liczby pomiarów dobre oszacowanie odchylenia standardowego daje następujący wzór:

Podstawowe miary statystycznego rozrzutu pomiarów.

Średni rozrzut wartości doświadczalnych x względem wartości rzeczywistej xo scharakteryzowany wielkością zwaną wariacja lub dyspersją

V(x) = 1/ n [ (x₁-x_o)² + (x₂-x₀)²+...+(x_n-x_o)²]

Odchylenie standardowe (średni błąd kwadratowy) σ ,które jest równe pierwiastkowi kwadratowemu z wariacji

σ =(V(x))^0.5

Standardowe odchylenie statyczne równe jest pierwiastkowi kwadratowemu z wartości średniej

σ_st = (m)^0.5

Odchylenie średnie(przeciętne) a definiowane jako średnia arytmetyczna z wartości bezwzględnych poszczególnych odchyleń

a = (|x₁|+|x₂|+...+|x_n|)/n

Odchylenie prawdopodobne r zdefiniowane jako że prawdopodobieństwo wystąpienia odchylenia pojedynczego pomiaru w granicach ⁺_-r wynosi P(⁺_-r)=50%

„Statystyczna czystość” pomiarów. Idea metody oceny „statystycznej czystości”

Oprócz odchylenia statystycznego pomiar może zawierać jeszcze błędy systematyczne uwarunkowane wadami i zakłóceniami w aparaturze pomiarowej oraz niewłaściwym doborem parametrów pracy tej aparatury (np. napięcia pracy detektora, napięcia progu dyskryminatora, zbyt dużym czasem martwym lub stałą czasową układu detekcji, itp.)

Jeżeli wpływ błędów systematycznych jest mały w porównaniu z rozrzutem statystycznym pomiarów, to pomiary uważane są za „statystycznie czyste”. Jeżeli błędy systematyczne są na tyle duże, że wynik uzyskany na podstawie przeprowadzonej serii pomiarów różni się zauważalnie od rozkładu normalnego Gaussa, to pomiary nie są „statystycznie czyste”.

Błędy systematyczne na ogół trudno jest odróżnić od odchyleń statystycznych. To rozróżnienie można jednak względnie łatwo przeprowadzić na papierze Beckela.

Papier Beckela.

Można tak dobrać skalę osi pionowej układu współrzędnych, że krzywa D(z) staje się linią prostą. W ten sposób otrzymuje się układ współrzędnych oraz siatkę zaproponowaną po raz pierwszy przez Beckela. Arkusz z naniesioną (wydrukowaną) siatką Beckela nazywamy krótko papierem Beckela.

2. 
   
   
   Schemat pomiarowy.

P D

HV

SCALER/TIMER PT - 72

Z E

ZWN 2,5

E - źródło promieniowania γ (izotop kobaltu ⁶⁰Co);

D - detektor (licznik Geigera - Millera);

Z - zasilacz wysokiego napięcia 2,5 kV typ ZWN - 2,5;

P - przelicznik typ PT - 72.

3. Tabela pomiarowa

Numer pomiaru i	Ilość zliczeń M [imp]	Numer pomiaru i	Ilość zliczeń m [imp]	Numer pomiaru i	Ilość zliczeń m [imp]	Numer pomiaru i	Ilość zliczeń m [imp]
1	8738	26	8751	51	8866	76	8800
2	8800	27	8752	52	8748	77	8781
3	8676	28	8720	53	8571	78	8914
4	8762	29	8744	54	8753	79	8769
5	8618	30	8629	55	8761	80	8776
6	8794	31	8737	56	8746	81	8797
7	8815	32	8784	57	8760	82	8879
8	8762	33	8717	58	8829	83	8965
9	8821	34	8798	59	8754	84	8825
10	8843	35	8755	60	8790	85	8835
11	8838	36	8810	61	8736	86	8790
12	8845	37	8699	62	8650	87	8658
13	8756	38	8808	63	8786	88	8772
14	8756	39	8682	64	8807	89	8704
15	8712	40	8675	65	8747	90	8776
16	8789	41	8789	66	8761	91	8774
17	8762	42	8659	67	8713	92	8720
18	8721	43	8772	68	8833	93	8719
19	8872	44	8699	69	8907	94	8766
20	8775	45	8752	70	8762	95	8748
21	8693	46	8773	71	8837	96	8773
22	8739	47	8881	72	8852	97	8788
23	8625	48	8676	73	8826	98	8873
24	8582	49	8833	74	8761	99	8723
25	8798	50	8707	75	8609	100	8648

Przykładowe obliczenia

Numer klasy p	Zakres klasy		Ilość wyników w klasie np [imp.]	Częstość występowania klasy Cp [%]	Suma częstości występowania klas ΣCp [%]
		Granica dolna md [imp]				Granica górna mg [imp]
1	8571	8610	3	3	3
2	8610	8649	4	4	7
3	8649	8689	7	7	14
4	8689	8728	13	13	27
5	8728	8768	26	26	53
6	8768	8807	24	24	77
7	8807	8846	14	14	91
8	8846	8886	6	6	97
9	8886	8925	2	2	99
10	8925	8965	1	1	100

4. Wykresy.

5. Wnioski:

Dokonując stu pomiarów licznikiem GM pozwoliło nam na dokonanie analizy czystości pomiarów. Powodem istniejących różnic zliczeń jest niejednakowy rozpad pierwiastków. W każdej setnej sekundzie ulega rozpadowi inna liczba jąder atomowych. Każdemu pojedynczemu rozpadowi towarzyszy inna wielkość emitowanej energii.

Fizyka kwantowa opiera się głównie na rachunku prawdopodobieństwa a zachodzące reakcje rozpadu opisujemy równaniami dającymi wartości przybliżone dla tego też możemy uznać, że określenie czystości pomiaru odgrywa tutaj pewne znaczenie.

Aby się przekonać o poprawności zajścia reakcji musimy dokonać dużej ilości pomiarów.

Ponieważ δ₁ i δ₂ okazały się wartościami dużo mniejszymi niż 7% , możemy stwierdzić, że pomiary zostały wykonane z „czystością statystyczną”. Wynik taki, świadczy o tym, że błędy aparatury pomiarowej użytej w ćwiczeniu są pomijalnie małe, można je pominąć.

PROBE

---