Politechnika Częstochowska

KATEDRA FIZYKI

Ćw. nr 5

Temat:

Badanie statystycznej czystości pomiarów.

Wykonali:

CEL ĆWICZENIA

Celem ćwiczenia jest zbadanie ,,statystycznej czystości'' serii pomiarów liczby impulsów rejestrowanych w urządzeniu pomiarowym z licznikiem Geigera-Millera poddanym ekspozycji promieniowaniem γ.

ROZKŁAD GAUSSA

Rozważmy dwumian rozkładowy podany we wzorze

P(n) =(N! /n!(N-n)!)pⁿq^N-n

gdzie q = 1-p.Gdy N jest duże ,obliczenie prawdopodobieństwa P(n) staje się trudne , ponieważ wymaga to obliczenia silni dużych liczb. Jednocześnie można zastosować aproksymację ,dzięki której wyrażenie to przyjmuje prostą postać. Własność ta polega na tym ,że prawdopodobieństwo P(n) lubi wykazywać maksimum, które staje się dość wyraźne ,gdy N jest duże w ten sposób prawdop.P(n) jest bardo małe jeśli tylko n różni się znacznie od tej szczególnej wartości n = n' dla której P ma max.Liczba n w interesujących nas obszarach bliskich n' jest również duża i jeżeli n jest duże , P(n) zmienia się stosunkowo mało, gdy n zmienia się o jednostkę tj. |P(n=1)P(n)|<<P(n),tak że P(n) jest wolno zmieniająca się funkcja n.dla n=n' przy której P ma max. jest dana wyrażeniem n'= Np .

y = n-n' stąd wyrażenie P (n) przyjmuje wartość P(n)= P' exp (-y ²/ 2 Npq ...) = P' exp [-(n-n')² /2Npq ...] , gdzie P=P(n').Wykorzystując wartość n' =Np wyrażenie określające prawdopodobieństwo P(n) przyjmuje postać

P(n)= 1/*e ^{-(n-Np) 2 / 2Npq} .Zauważmy ,że wyrażenie to jest znacznie łatwiejsze ponieważ rachunek nie wymaga w ogóle obliczenia silni.Funkcja prawdopodobieństwa znana jest jako rozkład Gaussa .

Odchylenie standardowe n wynosi Δn = twierdzenie to jest prawdziwe tylko wtedy ,gdy ( Npq)^1/2 >>1.

Rozkład Gaussa może być jedynie przedstawione za pomocą dwóch parametrów n' i Δn .

P(n) = 1/(Δn)* exp [-0.5(n-n''/Δn)²] gdzie n'' = n' =Np. Wprowadzimy zmienną z = (n-n'')/Δn tak że n = n''+( Δn)z. Wtedy równanie P(n) przyjmuje wartość P(n)Δn = 1/*^e-(0.5)z2 .Zauważamy ,że rozkład Gaussa jest symetryczny względem swojej wartości średniej tj. ze P(n) przyjmuje te same wartości dla z i -z.

ROZKŁAD POISSONA

Rozważmy dwumian

P(n)= (N!/n!(N-n)!)pⁿ(1-p)^N-n

Zbadajmy z koleji przybliżenie gdy prawdopodob. p jest dostatecznie małe p<<1 n<<N .

Zbadajmy gdy N!/(N-n)! = N(N-1)(N-2)...(N-n+1). ponieważ n<<N otrzymujemy wynik przybliżony

N!/(N-n)!=Nⁿ . Zbadajmy następnie czynnik y = (1-p)^(N-n) co jest równoważne ln y =(N-n) ln(1-p).

ponieważ n<<N przyjmujemy ln y= -Np albo y = (1-p)^N-n = e ^-Np.

Otrzymujemy P(n) = Nⁿ/n! pⁿ e ^-Np. Gdy λ= Np otrzymamy P(n) = λⁿ/n! e ^-λ.

Powyrzszy wynik określany jest rozkładem Poissona.

MIARY ROZRZUTÓW

Średni rozrzut wartości doświadczalnych x względem wartości rzeczywistej xo scharakteryzowany wielkością zwaną wariacja lub dyspersją V(x) = 1/ n [ (x₁-x_o)² + (x₂-x₀)²+...+(x_n-x_o)²]

Odchylenie standardowe (średni błąd kwadratowy) σ ,które jest równe pierwiastkowi kwadratowemu z wariacji

σ =(V(x))^0.5

Standardowe odchylenie statyczne równe jest pierwiastkowi kwadratowemu z wartości średniej σ_st = (m)^0.5

Odchylenie średnie(przeciętne) a definiowane jako średnia arytmetyczna z wartości bezwzględnych poszczególnych odchyleń

a = (|x₁|+|x₂|+...+|x_n|)/n

Odchylenie prawdopodobne r zdefiniowane jako że prawdopodobieństwo wystąpienia odchylenia pojedynczego pomiaru w granicach ⁺_-r wynosi P(⁺_-r)=50%

„Statystyczna czystość” pomiarów. Idea metody oceny „statystycznej czystości”

Oprócz odchylenia statystycznego pomiar może zawierać jeszcze błędy systematyczne uwarunkowane wadami i zakłóceniami w aparaturze pomiarowej oraz niewłaściwym doborem parametrów pracy tej aparatury (np. napięcia pracy detektora, napięcia progu dyskryminatora, zbyt dużym czasem martwym lub stałą czasową układu detekcji, itp.)

Jeżeli wpływ błędów systematycznych jest mały w porównaniu z rozrzutem statystycznym pomiarów, to pomiary uważane są za „statystycznie czyste”. Jeżeli błędy systematyczne są na tyle duże, że wynik uzyskany na podstawie przeprowadzonej serii pomiarów różni się zauważalnie od rozkładu normalnego Gaussa, to pomiary nie są „statystycznie czyste”.

Błędy systematyczne na ogół trudno jest odróżnić od odchyleń statystycznych. To rozróżnienie można jednak względnie łatwo przeprowadzić na papierze Beckela.

Papier Beckela

Można tak dobrać skalę osi pionowej układu współrzędnych, że krzywa D(z) staje się linią prostą. W ten sposób otrzymuje się układ współrzędnych oraz siatkę zaproponowaną po raz pierwszy przez Beckela. Arkusz z naniesioną (wydrukowaną) siatką Beckela nazywamy krótko papierem Beckela.

Tabela I

Lp.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90

Opracowanie wyników pomiarów:

=10228,94

C₁=
C₁=2 [%]

ΣC_p=C₁+C₂+....+C_p

Tabela II

Numer Klasy p	Granica dolna zakresu md[imp.]	granica górna zakresu mg[imp.]	Ilość wyników w klasie np[imp.]	Częstość występowania klasy Cp[%]	Suma częstości występowania klas [%]
1	10001	10040	2	2	2
2	10040	10080	3	3	5
3	10080	10119	5	5	10
4	10119	10159	14	14	24
5	10159	10198	17	17	41
6	10198	10237	18	18	59
7	10237	10277	16	16	75
8	10277	10316	14	14	89
9	10316	10355	6	6	95
10	10355	10395	5	5	100

Po naniesieniu odpowiednich wartości z tabeli II na siatkę Beckela zostały odczytane następujące wartości :

d₁=26 [imp]

d₂=44 [imp]

Wniosek:

Po odczytaniu wartości d₁ i d₂ oraz po obliczeniu δ₁ i δ₂ i porównaniu ich z wartością δ możemy stwierdzić iż pomiary zostały wykonane ze „statystyczną czystością”, i co za tym idzie, błędy aparaturowe można uznać za pomijalnie małe. Świadczy to niezbicie o dobrej jakości aparatury pomiarowej. Natomiast niespełnienie warunku δ>δ₁ i δ>δ₂ świadczyłoby o występowaniu poważnych błędów aparaturowych.

---