POLITECHNIKA CZĘSTOCHOWSKA

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY

Ćwiczenie nr 4

Temat ćwiczenia: Badanie statystycznej czystości pomiarów.

Skład grupy:

Cel ćwiczenia: Zbadanie stopnia „statystycznej czystości” serii pomiarów liczby impulsów rejestrowanych w urządzeniu pomiarowym z licznikiem Geigera-Millera poddanym ekspozycji promieniowaniem γ.

Część teoretyczna:

Rozkład Poissona w opisie detekcji promieniowania radioaktywnego.

Emisja cząstek z preparatu radioaktywnego nie występuje w równych odstępach czasu, lecz podlega fluktuacjom statystycznym. Przeciętnie odchylenie względne pojedynczego pomiaru od wartości średniej, czyli fluktuacja statystyczna, jest tym większe, im mniejsza jest aktywność preparatu radioaktywnego. Z drugiej strony, przy danej aktywności preparatu, duże odchylenia od wartości średniej występują rzadziej niż odchylenia małe; a „rzeczywista” wartość średnia , obarczona bardzo małą niepewnością statystyczną może być ustalona dopiero na podstawie dużej liczby zliczeń, co dla preparatów o małej aktywności wymaga długiego czasu pomiarów.

można pokazać teoretycznie, że wyniki pomiarów w ustalonym przedziale czasu t, tzn. liczby zliczeń zarejestrowane przez układ liczący w tym przedziale t, podlegają rozkładowi Poissona opisanemu funkcją analityczną w postaci:

P(m)=(m⋅e^-m)/m!

gdzie P(m) oznacza prawdopodobieństwo, że w czasie t układ zarejestruje liczbę m impulsów, natomiast m - średnią liczbę impulsów obliczoną na podstawie bardzo dużej ilości rejestracji w takim samym czasie t (albo tzw. wartość oczekiwaną).

Wartość średnia m jest jedynym parametrem charakteryzującym rozkład Poissona, a zatem jednoznacznie określa rozrzut uzyskiwanych wyników m.

Ponieważ wartości zliczeń m Są liczbami całkowitymi, to rozkład Poissona P(m) jest rozkładem nieciągłym.

Podstawowe miary statystycznego rozrzutu pomiarów. Odchylenie standardowe statystyczne i doświadczalne.

Średni rozrzut wartości doświadczalnych x względem wartości rzeczywistej x_o scharakteryzowany jest przez wielkość zwaną wariancją lub dyspersją, zdefiniowaną wzorem:

V(x)=(1/n)⋅[(x₁-x₀)²+(x₂-x₀)²+...+(x_n-x₀)²]≡(1/n)Σ (x_i-x₀)²

gdzie n jest liczbą pomiarów.

Powszechnie przyjętą marą dokładności pomiarów jest tzw. odchylenie standardowe (inaczej: średni błąd kwadratowy) σ, które jest równe pierwiastkowi kwadratowemu z wariancji (dyspersji):

σ=√V(x)= √(1/n)∑ (x_i-x₀)²

Odchylenie standardowe σ pojedynczego wyniku w serii pomiarowej spełniającej prawo rozkładu Poissona, zwane również niekiedy standardowym odchyleniem statystycznym i jest równe pierwiastkowi kwadratowemu z wartości średniej:

σ=√m

Względne odchylenie standardowe pojedynczego wyniku jest w tym przypadku równy:

σ_st/m≅σ_st/m =√m/m=1/√m

Zatem ze wzrostem wartości średniej m względne statystyczne odchylenie standardowe pojedynczego wyniku pomiaru maleje.

Rozkład normalny Gaussa.

Dla preparatu o dużej aktywności dominują duże liczby zliczeń m i duża jest również wartość średnia m; a rozkład Poissona można z dobrym przybliżeniem zastąpić, znanym z teorii niepewności pomiarowych przypadkowych (błędów przypadkowych) rozkładem normalnym Gaussa.

Rozkład Gaussa jest rozkładem ciągłym i symetrycznym opisywanym funkcją:

ϕ(x)=[e^{(-x /2σ )}]/[σ√2π]

W tym przypadku:

x=m-m jest odchyleniem wartości wyniku pomiaru od wartości średniej, a σ wspomnianym już wyżej odchyleniem standardowym.

ϕ(x) oznacza tzw. gęstość prawdopodobieństwa wystąpienia określonej wartości x. Wielkość te rozumie się w ten sposób, że prawdopodobieństwo tego, iż wartość odchylenia znajduje się w przedziale miedzy x i x+dx wynosi:

dP(x,x+dx)=ϕ(x)dx

Prawdopodobieństwo, że pojedynczy wynik m nie różni się od wartości średniej m nie więcej niż pewna graniczna wartość c, tzn. że wartość odchylenia x tego wyniku znajduje się w przedziale między x=-c i x=+c, określone jest całka:

P(x=-c; x=+c)= ∫ϕ(x)dx=∫[e^{(-x /2σ )}]/[σ√2π]dx=2/[σ√2π]∫[e^{(-x /2σ )}]dx=2/[√2π]∫[e^{(-z /2 )}]dz

gdzie: z=x/σ; t=c/σ

Całka ta bardzo często występuje w fizyce matematycznej i jest nazywana całką błędu. Jej wartości graniczne dla różnych wartości granicy t zostały stabelaryzowane.

Przedział (-c;+c) wyrażony przez wartość σ (c=kσ), nazywany jest przedziałem ufności. Prawdopodobieństwo P wystąpienia wyniku czy „błędu: w przedziale ufności wyrażone w postaci ułamka dziesiętnego nosi nazwę przedziału ufności i jest oznaczone symbolem α.

Ilustracja podstawowych cech znormalizowanej funkcji Gaussa:

a) Wykres gęstości prawdopodobieństwa ϕ(z):

b)Wykres dystrubuanty rozkładu:

c) Wykres funkcji D(z) w skali Beckela staje się linią prosta:

Inne miary rozrzutu i dokładności pomiarów.

1. Odchylenie średnie (przeciętne) definiowane jako średnia arytmetyczne z wartości bezwzględnych poszczególnych odchyleń:

a=[x₁+x₂+...+x_n]/n≡(1/n) ∑x_i=(1/n) ∑m_i-m

W przypadku rozkładu Gaussa:

a=√(2/π)=0,7979σ

2. Odchylenie prawdopodobne r - zdefiniowane w ten sposób, że prawdopodobieństwo wystąpienia odchylenia pojedynczego pomiaru w granicach ± r wynosi P(± r)=50%.

W przypadku rozkładu Gaussa

r=0,6745σ

3. Często za podstawową miarę dokładności pomiarów przyjmuje się wskaźnik h, którego definicja sprowadza się do odpowiedniego - najprostszego - zapisu funkcji rozkładu błędów Gaussa.

Statystyczna czystość pomiarów. Idea metody oceny „statystycznej czystości”.

Oprócz odchylenia statystycznego pomiar może zawierać błędy systematyczne uwarunkowane wadami i zakłóceniami w aparaturze pomiarowej, oraz niewłaściwym doborem para

metrów pracy tej aparatury (np. napięcia pracy detektora, napięcia progu dyskryminatora, zbyt dużym czasem martwym lub stałą czasową układu detekcji, itp.).

Jeżeli wpływ błędów systematycznych jest mały w porównaniu z rozrzutem statystycznym pomiarów, to pomiary uważane są za „statystycznie czyste”, jeżeli błędy systematyczne są na tyle duże, że uzyskany na podstawie przeprowadzonej serii pomiarów różni się zauważalnie od rozkładu normalnego Gaussa, to pomiary nie są „statystycznie czyste”

Błędy systematyczne na ogół trudno jest odróżnić od odchyleń statystycznych. To rozróżnienie można jednak względnie łatwo przeprowadzić na wyżej wymienionym papierze Backela; oś pionowa siatki którego jest tak podzielona na odcinki według Gaussowskiej „całki błędu”, że krzywa ∫φ(x)dx jest linią prostą. Można więc uważać, że każde odchylenie od prostej jest spowodowane błędami systematycznymi.

Możemy więc w szczególności podjąć próbę przeprowadzenia względnie łatwego graficznego („wizualnego”) testu, czy rozkład wartości zliczeń m rejestrowanych w danej serii pomiarowej podlega rozkładowi normalnemu Gaussa; lub inaczej, czy zliczenia te są wykonywane ze „statystyczną czystością”.

W tym celu wartość m₀ można przyjąć jako w przybliżeniu równą średniej arytmetycznej m wszystkich wyników m:

m_o ≈ m = (m₁ + m₂ +...+ m_n )/n

gdzie n- ilość pomiarów; natomiast odchylenie standardowe można oszacować jako σ = √m .

Następnie zakres (m_{min ,}m_max), inaczej rozstęp wyników, dzielimy na k (najczęściej 10) klas, to jest równych przedziałów, o szerokości:

Δ_k = (m_min - m_max )/k

Liczymy teraz, ile spośród uzyskanych wyników mieści się w danej klasie, np. w klasie p - liczba n_p. Liczba wyników w danej klasie odniesiona do całkowitej liczby pomiarów n nosi nazwę częstości klasy:

C_p = n_p /n C_p (%)=(n_p /n)*100%

„Słupkowy” wykres zależności C_p od wartości górnej granicy klasy m_gp (albo od wartości środka klasy (m_dp +m_gp)/2) przedstawiony w skali liniowej osi C_p nosi nazwę histogramu doświadczalnego serii pomiarów.

Suma częstości kolejnych klas od p=1 do danej klasy p włącznie, odpowiada prawdopodobieństwu uzyskania wyniku m nie większego niż granica górna tej klasy, to znaczy:

P(m≤m_grp) ≈ C₁ + C₂ +...+C_r ≡ Σ C_p

W związku z tym, jeżeli rozkład wyników zliczeń m w danej serii pomiarów spełnia prawo rozkładu normalnego Gaussa, to wykres zależności sumy częstości klas ΣC_p w zależności od wartości górnej granicy klasy m_gp na papierze Beckela też powinien być linią prostą.

I odwrotnie, jeżeli punkty o współrzędnych (m_gp, ΣC_p) układają się na papierze Beckla wzdłuż linii prostej, to można sądzić, że wyniki uzyskane w danej serii pomiarowej podlegają rozkładowi normalnemu Gaussa, albo inaczej mówiąc: pomiary zostały wykonane ze „statystyczną czystością”.

Istnieje względnie łatwa metoda, która pozwala ocenić, czy krzywa badanego rozkładu doświadczalnego ma charakter „czystej” krzywej Gaussa, i wtedy pomiary mają charakter „statystycznie czystych”, czy też krzywa nie jest „czystą” krzywą rozkładu normalnego, co wskazuje na obecność błędów aparaturowych.

Istota zrozumienia tej metody: zauważmy, że w przypadku, gdy rozkład doświadczalny jest rozkładem normalnym, to wykreślona na papierze Backela prosta przedstawiająca ΣC_p ≈ P(m≤m_gp) = D(m≤m_gp) w funkcji m_gp powinna między innymi przechodzić przez punkty:

A(m;50%); B(m-2σ;50-47,7=2,3%); C(m+2σ;50+47,7=97,7%)

Możemy więc narysować w konkretnym przypadku taką samą prostą, która przechodzi przez te trzy punkty, nazwijmy ją „teoretyczną”, oraz wyżej wymienioną prostą aproksymującą punkty przedstawiające rzeczywistą zależność ΣC_p = f(m_gp), czyli tzw. prostą „doświadczalną”.

Zwykle proste te będą się różnić. Pytanie: ”Na ile proste te mogą się różnić, aby je można było uznać za doświadczalnie te same?”, sprowadza się w istocie do pytania: ”O ile średnia wartość m oraz odchylenie standardowe σ_ex obliczone dla danej serii różnią się od wartości „rzeczywistych m₀ i σ₀ ?”.Można pokazać, że gdybyśmy wykonali bardzo wiele serii obejmujących n pomiarów każda, i dla każdej z tych serii obliczyli „doświadczalne” odchylenie standardowe ze wzoru:

σ_ex =√( ∑(m_i - m)²) / (n-1)

to w przypadku spełnienia warunków rozkładu normalnego Gaussa związek między uśrednioną po tych seriach wartością odchylania σ_ex a wartością σ₀ jest następujący:

σ_ex ≈ σ₀*√1-(3/2n)

Odchylenie standardowe odchylenia obliczonego na podstawie pojedynczej serii σ (σ_ex) jest w przybliżeniu równe:

σ (σ_ex) ≈ σ₀ /√2*(n-1)

Stąd względne odchylenie standardowe odchylenia standardowego wielkości podlegającej rozkładowi normalnemu Gaussa (w tradycyjnym nazewnictwie:” błąd względny średniego błędu kwadratowego”) w przypadku jednej serii pomiarowej wynosi:

δ_σ = σ (σ_ex) / σ_ex ≈ 1 /√2*(n-1)

Jeżeli zatem dla danej wartości ΣC_p proste „teoretyczna” i „doświadczalna” różnią się o wartość Δm większą niż odpowiadająca δ_σ, to możemy je uważać za „doświadczalnie te same”, oraz że pomiary zostały wykonane ze „statystyczną czystością”, i co za tym idzie, błędy aparaturowe są do zaniedbania. W przeciwnym wypadku błędy aparaturowe są stosunkowo duże.

W praktyce test „statystycznej czystości” pomiarów przeprowadza się zwykle dla poziomu ufności α = 95,4%, tzn. dla punktów odpowiadających ΣC_p=2,3% i 97,7% (punktów B i C prostej „teoretycznej”), przy czym proste „teoretyczna” i „doświadczalna” powinny się przeciąć. Jeżeli zatem stwierdzimy, że:

Δm(2,3%) / ( m-2√m )≡d₁ / ( m-2√m ) = δ₁

i Δm(97,7%) / ( m+2√m )≡d₂ / ( m+2√m ) = δ₂

to będzie znaczyć, że pomiary zostały wykonane ze „statystyczną czystością”

Istnieje również inna metoda oceny stopnia „statystycznej czystości” pomiarów, a mianowicie obliczenie tzw. współczynnika „statystycznej czystości” pomiarów, który definiuje się jako:

W_sc = σ_ex / σ_st

gdzie σ_ex jest doświadczalnym odchyleniem standardowym, natomiast σ_st = √m i jest niekiedy, dla lepszego rozróżnienia nazywane odchyleniem „statystycznym”.

Wartość W_sc=1 = 100% świadczy o idealnej „statystycznej czystości” pomiarów. Za pomiary „statystycznie czyste” uważamy takie, dla których:

W_sc ≥1-(1 /√2(n-1)) = (1-(1 /√2(n-1)))*100%

Schemat aparatury pomiarowej:

E - źródło promieniowania γ (izotop kobaltu ⁶⁰Co)

D - detektor (licznik Geigera - Millera)

Z - zasilacz wysokiego napięcia 2,5 kV typ ZWN-2,5

P - przelicznik typ PT-72

Obliczenia:

Średnia arytmetyczna:

m=[m₁+ m₁+...+ m_n]/n=[∑ m_n]/n=10204,58

m-2√m=10002,54

m-2√m=10406,62

Szerokość zakresu pojedynczej klasy:

Δ_k=(m_max- m_max)/10=54,8

Zakresy klas:

p=1 m_mg1= m_min+ Δ_k=9986,8

p=2 m_mg2= m_mg1+ Δ_k=10041,6

p=3 m_mg3= m_mg2+ Δ_k=10096,4

p=4 m_mg4= m_mg3+ Δ_k=10151,2

p=5 m_mg5= m_mg4+ Δ_k=10206,0

p=6 m_mg6= m_mg5+ Δ_k=10260,8

p=7 m_mg7= m_mg6+ Δ_k=10315,6

p=8 m_mg8= m_mg7+ Δ_k=10370,4

p=9 m_mg9= m_mg8+ Δ_k=10425,2

p=10 m_mg10= m_mg9+ Δ_k=10480,0

Częstotliwość występowania klas:

C₁=n₁/n=0,02 C₁(%)=C₁*100%=2%

C₂=n₂/n=0,03 C₂(%)=C₂*100%=3%

C₃=n₃/n=0,08 C₃(%)=C₃*100%=8%

C₄=n₄/n=0,18 C₄(%)=C₄*100%=18%

C₅=n₅/n=0,19 C₅(%)=C₅*100%=19%

C₆=n₆/n=0,18 C₆(%)=C₆*100%=18%

C₇=n₇/n=0,22 C₇(%)=C₇*100%=22%

C₈=n₈/n=0,06 C₈(%)=C₈*100%=6%

C₉=n₉/n=0,01 C₉(%)=C₉*100%=1%

C₁₀=n₁₀/n=0,03 C₁₀(%)=C₁₀*100%=3%

Suma częstości klas:

∑C₁=C₁=0,02=2%

∑C₂=C₁+C₂=0,05=5%

∑C₃=C₁+C₂+C₃=0,13=13%

∑C₄=C₁+C₂+C₃+C₄=0,31=31%

∑C₅=C₁+C₂+C₃+C₄+C₅=0,50=50%

∑C₆=C₁+C₂+C₃+C₄+C₅+C₆=0,68=68%

∑C₇=C₁+C₂+C₃+C₄+C₅+C₆+C₇=0,90=90%

∑C₈=C₁+C₂+C₃+C₄+C₅+C₆+C₇+C₈=0,96=96%

∑C₉=C₁+C₂+C₃+C₄+C₅+C₆+C₇+C₈+C₉=0,97=97%

∑C₁₀=C₁+C₂+C₃+C₄+C₅+C₆+C₇+C₈+C₉+C₁₀=1=100%

Dyskussja wyników:

1

11

Δ_k

C_p= n_p / n

m

ϕ(z)

z

D(z)

z

D(z) [%]

z

n=300

k=10

Δ_k=28

D

E

P

Z

---