Wydział : FiTJ	Imię i nazwisko : Krzysztof Janc, Krzysztof Jankowski Marcin Kieca				rok II	Grupa 3			Zespół 10
Pracownia fizyczna I	Temat ćwiczenia : Moduł Sztywności							Ćwiczenie nr: 12
Data wykonania:		Data oddania:	Zwrot do poprawy:	Data oddania:			Data zaliczenia:			Ocena:

Cel ćwiczenia:

Wyznaczanie modułu sztywności kilku metali metodą dynamiczną za pomocą pomiaru okresu drgań skrętnych.

Wprowadzenie:

Modułem sztywności G nazywamy stosunek naprężenia stycznego τ do wywołanego przez nie odkształcenia postaci γ.

G=τ/γ

W celu wyznaczenia G wykorzystamy zjawisko skręcenia pręta, gdyż podatność materiału pręta na skręcanie zależy wyłącznie od modułu sztywności G i rozmiarów geometrycznych. Weźmy pręt o promieniu r i długości l. Skręcenie jest odkształceniem wywołanym działaniem pary sił przyłożonej do płaszczyzny przekroju poprzecznego pręta. Należy zauważyć, że podczas skręcania przekroje poprzeczne obracają się dookoła osi pręta, który nie zmienia przy tym swojej długości ani średnicy.

Schemat geometryczny odkształcenia rozpatrywanego pręta przedstawiono na rysunku 1a. Promień OB obróci się o kąt ϕ od położenia OB'. Dwie tworzące AB i DC na powierzchni tej warstwy pochylą się o kąt γ tak, że utworzony element kwadratowy ABCD przekształci się w rąb AB'C'D. Oznacza to, że powstaną odkształcenia postaci, których miarą jest kąt γ. Jest on proporcjonalny do odległości od osi.

Całkowity moment siły można obliczyć przez całkowanie przyczynków pochodzących od niewielkich pierścieni o promieniu x i grubości dx (rys. 1b). Odkształcenie postaci materiału pierścienia wynosi:

γ=(ϕ*x)/l

Zgodnie z prawem Hooke'a wartości naprężeń wynoszą:

Całkowity moment działający na pręt wynosi:

Wielkość nazywamy stałą skręcenia.

Narzuca się możliwość bezpośredniego wyznaczenia modułu sztywności G przez pomiar wszystkich innych wielkości występujących we wzorze (6). Byłaby to metoda statyczna. Znacznie wygodniejsza jest jednak metoda dynamiczna, która polega na pomiarze okresu drgań skrętnych wibratora, w postaci naszego pręta obciążonego ciałem o momencie bezwładności I₀

Przewaga metody dynamicznej polega na zastąpieniu pomiaru siły i kata skręcenia przez łatwiejszy do przeprowadzenia pomiar okresu drgań.

Aby uniknąć trudnego wyznaczania momentu bezwładności I_x wahadła, wykonujemy dwie serie pomiarów okresu drgań. Pierwszą dla wahadła nie obciążonego, drugą dla wahadła obciążonego ciałem geometrycznie prostym, o łatwym do obliczenia momencie bezwładności I_0.

Odpowiednie okresy będą wynosić:

Wartość modułu sztywności wynosi:

Opracowanie wyników

Obręcz:

∅_wew= 252 ±1 mm

∅_zew = 284 ±1 mm

m_obr = 1322 ±1 g

I_obr =
0,02382 ±0,0003 kg⋅m²

Ciężarki

m_obc = 556 ± 1 g (sumaryczna)

d = 80 ± 5 mm (odległość jednego ciężarka od osi obrotu)

I_obc =
0,00356 ± 0,0004 kg⋅m²

Moduł sztywności liczony był ze wzoru

,

a błąd liczony był z prawa przenoszenia błędów

Okresy T₁, T₂, T₂' liczone były jako średnia okresów bez obciązenia, z obciążeniem ciężarkami i obręczą.

okres bez obciążenia

okres z obręczą

okres z obręczą i ciężarkami

Błąd pomiaru okresu był liczony jako odchylenie standardowe średniej

Średnice prętów

Średnica pręta
Lp.	miedzianego [mm]	stalowego [mm]	mosiężnego [mm]
1	2,44	2,47	2,45
2	2,47	2,47	2,46
3	2,46	2,47	2,45
4	2,46	2,46	2,50
5	2,45	2,48	2,46
6	2,47	2,47	2,47
7	2,47	2,47	2,46
8	2,45	2,46	2,46
9	2,46	2,47	2,46
10	2,46	2,45	2,45
wartość	2,459	2,467	2,462
średnia

promień

1,223

1,234

1,231

Stal

r_śr = 1,230 ± 0,003mm

miedź

r_śr = 1,234 ± 0,003mm

mosiądz

r_śr = 1,231 ± 0,005mm

STAL

l = 706 ± 1 mm

	nieobciążony [s]		obręcz  [s]		obręcz i odważniki   [s]
i	i-okresów	okres	i-okresów	okres	i-okresów		okres
10	22,75	2,275	33,59	3,359	34,83		3,483
12	27,35	2,279	40,25	3,354	41,74		3,478
14	31,75	2,268	47,09	3,364	48,77		3,484
16	36,25	2,266	53,87	3,367	55,77		3,486
18	40,94	2,274	60,47	3,359	62,70		3,483
20	45,45	2,273	67,27	3,364	69,71		3,486
T1		2,272	T2	3,361	T2'	3,483

r_śr = 1,230 ± 0,003mm

T₁ = 2,272 ± 0,002 s

T₂ = 3,361 ± 0,002 s

T₂' = 3,483 ± 0,001 s.

Dla pomiaru z obręczą

G = 29,8 ± 0,8 GPa

Dla pomiaru z obręczą i obciążnikami

G = 30 ± 1 GPa

Wartość tablicowa

G = 78 - 81 GPa

MIEDŹ

l = 705 ± 1 mm

	nieobciążony [s]		obręcz  [s]		obręcz i odważniki  [s]
i	i-okresów	okres	i-okresów	okres	i-okresów		okres
10	34,52	3,452	50,63	5,063	52,81		5,281
12	41,39	3,449	60,72	5,060	63,15		5,263
14	48,30	3,450	71,15	5,082	73,71		5,265
16	55,11	3,444	81,21	5,076	84,21		5,263
18	62,05	3,447	91,40	5,078	94,74		5,263
20	68,89	3,445	101,59	5,080	105,24		5,262
T1		3,448	T2	5,073	T2'	5,266

r_śr = 1,234 ± 0,003mm

T₁ = 3,448 ± 0,001 s

T₂ = 5,073 ± 0,004 s

T₂' = 5,266 ± 0,003 s.

Dla pomiaru z obręczą

G = 13,3± 0,6 GPa

Dla pomiaru z obręczą i obciążnikami

G = 13,4 ± 0,5 GPa

Wartość tablicowa

G = 38 GPa

MOSIĄDZ

l = 705 ± 1 mm

	nieobciążony [s]		obręcz  [s]		obręcz i odważniki  [s]
i	i-okresów	okres	i-okresów	okres	i-okresów		okres
10	31,43	3,143	46,36	4,636	48,02		4,802
12	37,58	3,132	55,49	4,624	57,55		4,796
14	43,87	3,134	64,80	4,629	67,17		4,798
16	50,08	3,130	73,89	4,618	76,77		4,798
18	56,49	3,138	83,27	4,626	86,42		4,801
20	62,68	3,134	92,52	4,626	95,99		4,800
T1		3,135	T2	4,626	T2'	4,799

r_śr = 1,231 ± 0,005mm

T₁ = 3,135 ± 0,002 s

T₂ = 4,626 ± 0,002 s

T₂' = 4,799 ± 0,001 s.

Dla pomiaru z obręczą

G = 15,9 ± 0,4 GPa

Dla pomiaru z obręczą i obciążnikami

G = 16,0 ± 0,3 GPa

Wartość tablicowa

G = 42 GPa

Wnioski

Otrzymane wartości modułów sztywności są znacznie zaniżone stosunku do wartości tabelowych. Trudno jednoznacznie określić przyczynę ich powstania. Wszystkie wartości były około 2,7 razy mniejsze niż podane w tablicach co może sugerować wadę aparatury pomiarowej bądź błodzy w sposobie obliczania. Trzeba wziąć pod uwagę znaczne dokształcenie pręta (pręt nie był prosty), luzy w mocowaniu (co mogło spowodować znaczne zwiększenie bicia), zmęczenie próbek materiałowych oraz nie uwzględnienie tarci układu.

Rysunek 1

---