oĆwiczenie 3

Wyznaczanie podłużnego modułu Jounga ( E ) podczas wyboczenia

CZĘŚĆ TEORETYCZNA.

Przy ściskaniu prętów długich o małym przekroju może wystąpić zjawisko wyboczenia. Poddając osiowemu ściskaniu np. cienki inał zauważamy, że począwszy od pewnej wartości siły ściskającej oś linału dość gwałtownie się wygina. Mówimy, że lina ulega wyboczeniu.

Uogólniając zagadnienie możemy powiedzieć, że jeżeli obciążenie konstrukcji jest mniejsze od obciążenia krytycznego, pod którego działaniem choćby jeden element może ulec wyboczeniu, to konstrukcja jest w stanie równowagi statecznej. Wzrost obciążenia powyżej krytycznego może doprowadzić do nagłej zmiany kształtu konstrukcji ( do utraty stateczności ) jednego lub nawet wielu jednocześnie elementów konstrukcyjnych, co określa się mianem wyboczenia.

Wyboczenie występuje zawsze w kierunku prostopadłym do płaszczyzny, w której leżą oś pręta oraz oś najmniejszego momentu bezwładności przekroju tego pręta.

Długość zredukowana Lr zależy, od sposobu zamocowania końców pręta. W praktyce najczęściej spotykamy cztery sposoby zamocowań :

• Pręt zamocowany na obu końcach przegubowo. Dla takiego pręta długość zredukowana jest równa długości pręta, czyli Lr = L

• Pręt utwierdzony jednym końcem. Wtedy długość zredukowaną przyjmujemy równą podwójnej długości pręta, czyli Lr = 2L

• Pręt jednym końcem utwierdzony, a drugim zamocowany przegubowo. Za długość zredukowaną przyjmujemy 0,7 długości pręta, a więc Lr = 0,7

• Pręt na obu końcach utwierdzony. Jego długość zredukowana wynosi 0,5 czyli Lr = 0,5

W obliczeniu prętów prostych, ściskanych osiowo działającą siłą P stosujemy następujący wzór :

P σ_kr

σ= —— < ——

F n

σ _kr - naprężenie krytyczne na ściskanie

n - współczynnik bezpieczeństwa

Występująca tu smukłość S pręta jest określona wzorem :

l_w l_w - długość wyboczenia pręta

S = —— i_min - minimalny promień bezwładności przekroju poprzecznego

i_min

J_min

i_min = ——

F

Dla smukłości S większych od pewnej granicznej wartości S_gr- dość dobrym przybliżeniom krzywej doświadczalnej jest hiperbola Eulera:

Л² E

σ = —— dla S > S_gr

S²

Dla smukłości S mniejszych od Sgr stosuje się jedną z dwóch metod:

1. metoda Tetmajera-Jasińskiego, określającą naprężenie krytyczne σ_kr za pomocą prostej:

( R_e - R_r )

σ = R_e - ———— dla S < S_o

S_gr

2. metodę Johnsona - Ostenfelda, określającą naprężenie σ_kr za pomocą paraboli :

R²_e S²

σ_kr = R_e - ———— dla S< S_o

4 E Л²

R_e - oznacza granicę plastyczności,

CZĘŚĆ PRAKTYCZNA

1. Treść zadania

Celem zadania jest określenia na podstawie próby wyboczenia wartości siły krytycznej, wartości naprężeń krytycznych oraz wartość modułu Jounga ( E ) w zależności od sposobu mocowania.

Ćwiczenie należy rozpocząć od wyznaczenia wymiarów próbek, jej średnicy _„ d ^„ i długości _„ L ^„ i zapisać w tabeli wyników w mm. Następnie wyznaczamy długość zredukowaną „ L_r ^„ próbki dla następujących sposobów mocowania:

• pręt na obu końcach zamocowany przegubowo

• pręt jednym końcem utwierdzony, a drugim zamocowany przegubowo

• pręt na obu końcach utwierdzony

Po dokonaniu tych pomiarów umieszczamy daną próbkę w uchwytach prasy, a następnie obciążamy stopniowo znanymi siłami F aż do osiągnięcia wartości F_kr.

Moment uzyskania wartości siły krytycznej uzyskuje się w taki sposób iż pręt obciążmy, a następnie odciążamy, badając jego powrót do położenia pierwotnego. Ostatnia wartość siły, po której odjęciu pręt powróci jeszcze do położenia pierwotnego, odpowiada wartości F_kr.

Po dokonaniu próby wyboczenia należy obliczyć :

• wartość siły krytycznej

Q ּ x ּ F ּ l

F_kr = —————

a

• napężenie krytyczne

F_kr Л d ²

G_kr = —— S_o = ———

S_o 4

• moduł Jounga

F_kr · l _r² Л d ⁴

E = ————— J_x = ——— ( mm⁴ ) ; ( m⁴ )

Л ² · J_x 64

J_x - moment bezwładności względem osi obojętnej

2. Sprawdzane przedmioty i ich wymiary

próbka stalowa 1

L = 290 mm

próbka stalowa 2

L = 300 mm

próbka mosiężna

L = 290 mm

l = 400mm

a = 50 mm b = 350 mm

x

A Q

F_kr F

Rys. Schemat prasy do przeprowadzania prób wyboczenia

3. Wyniki pomiarów

Próbki			Sposób mocowania
Gatunek materiału	wymiary		Przegubowo Lr = L					Przegubowo+uchwytLr=0.7L					Uchwyt + uchwyt Lr = 0.5L
		D mm	L mm	Lkr mm	F N	Fkr N	Gkr MPa	E MPa	Lkr mm	F N	Fkr N	Gkr MPa	E MPa		Lkr mm	F N	Fkr N	Gkr MPa	E MPa
stalowa 1 stalowa 2 mosiężna	3 2 4	290 300 290	290 300 290	3,9 14,35 16,8	3,12 11,48 13,44	0,44 3,66 1,07	6,7 13,34 9,13	203 210 203	9,7 30,15 38,85	7,76 24,12 31,08	1,1 7,68 2,47	8,17 13,74 10,34		145 150 145	13,8 45,1 46,1	11,04 36,08 36,88	1,56 11,49 36,88	5,9 10,49 6,26

4. Obliczenia

próbka stalowa 1

przegubowo

0 + 3,9 ּ 400

F_kr = —————— = 3,12 N

50

3,12 3,14ּ 9

naprężenie krytyczne G_kr = —— = 0,44 MPa S_o = ——— = 7,065

7,065 4

3,12ּ84100 3 ,14ּ81

moduł Jounga E = —————— = 6,7 MPa J_x = ——— = 0,397

9,86ּ0,397 64

przegubowo + uchwyt

0 + 9,7 ּ 400

F_kr = —————— = 7,76 N

50

7,76 3,14ּ 9

naprężenie krytyczne G_kr = —— = 1,1 MPa S_o = ——— = 7,065

7,065 4

7,76ּ41209 3 ,14ּ81

moduł Jounga E = —————— = 8,17 MPa J_x = ——— = 0,397

9,86ּ0,397 64

uchwyt + uchwyt

0 + 13,8 ּ 400

F_kr = —————— = 11,04 N

50

11,04 3,14ּ 9

naprężenie krytyczne G_kr = —— = 1,56 MPa S_o = ——— = 7,065

7,065 4

11,04ּ21025 3 ,14ּ81

moduł Jounga E = —————— = 5,9 MPa J_x = ——— = 0,397

9,86ּ0,397 64

próbka stalowa 2

przegubowo

0 + 14,35 ּ 400

F_kr = —————— = 11,48 N

50

11,48 3,14ּ 4

naprężenie krytyczne G_kr = —— = 3,66 MPa S_o = ——— = 3,14

3,14 4

11,48ּ90000 3 ,14ּ16

moduł Jounga E = —————— = 13,34MPa J_x = ——— = 0,785

9,86ּ0,785 64

przegubowo + uchwyt

0 + 30,15 ּ 400

F_kr = —————— = 24,12 N

50

24,12 3,14ּ 4

naprężenie krytyczne G_kr = —— = 7,68 MPa S_o = ——— = 3,14

3,14 4

24,12ּ44100 3 ,14ּ16

moduł Jounga E = —————— = 13,74MPa J_x = ——— = 0,785

9,86ּ0,785 64

uchwyt + uchwyt

0 + 45,10 ּ 400

F_kr = —————— = 36,08 N

50

36,08 3,14ּ 4

naprężenie krytyczne G_kr = —— = 11,49 MPa S_o = ——— = 3,14

3,14 4

36,08ּ22500 3 ,14ּ16

moduł Jounga E = —————— = 10,49MPa J_x = ——— = 0,785

9,86ּ0,785 64

próbka mosiężna

przegubowo

0 + 16,8 ּ 400

F_kr = —————— = 13,44 N

50

13,44 3,14ּ 16

naprężenie krytyczne G_kr = —— = 1,07 MPa S_o = ——— = 12,56

12,56 4

13,44ּ84100 3 ,14ּ256

moduł Jounga E = —————— = 9,12 MPa J_x = ——— = 12,56

9,86ּ12,56 64

przegubowo + uchwyt

0 + 38,85 ּ 400

F_kr = —————— = 31,08 N

50

31,08 3,14ּ 16

naprężenie krytyczne G_kr = —— = 2,47 MPa S_o = ——— = 12,56

12,56 4

31,08ּ41209 3 ,14ּ256

moduł Jounga E = —————— = 10,34 MPa J_x = ——— = 12,56

9,86ּ12,56 64

uchwyt + uchwyt

0 + 46,10 ּ 400

F_kr = —————— = 36,88 N

50

36,88 3,14ּ 16

naprężenie krytyczne G_kr = —— = 2,93 MPa S_o = ——— = 12,56

12,56 4

36.88ּ21025 3 ,14ּ256

moduł Jounga E = —————— = 6,26 MPa J_x = ——— = 12,56

9,86ּ12,56 64

5. Wnioski i uwagi końcowe

Po przeprowadzonej próbie wyboczenia na poszczególnych rodzajach próbek można zauważyć istotne różnice między nimi. Mianowicie na wyniki badanych wartości jak ( F, F_kr, G_kr, i E ), duże znaczenie ma długość, grubość, a także rodzaj materiału z jakiego próbka została wykonana. Porównując min. próbkę stalową 1 z mosiężną ( która jest grubsza tylko o 1 mm )zauważamy bardzo dużą różnice w sile ściskającej co mówi nam, że pręt mosiężny jest bardziej wytrzymały na ściskanie niż stalowy. Ale nie tylko te czynniki decydują o osiąganych wynikach, także sposób mocowania odgrywa dużą rolę. Pręt mocowany z obu stron przegubowo gdzie jest najdłuższy wykazuje najmniejsza wytrzymałość na ściskanie u wszystkich badanych prętów. Największa wytrzymałość pręty uzyskują przy mocowaniu z obu stron uchwytem gdzie są najkrótsze. Zmianie ulegają także pozostałe liczone wartości.

Reasumując powyższe wnioski stwierdzamy jednoznacznie, iż w doborze prętów, które będą wykorzystywane w późniejszym czasie w różny sposób i będą poddawane wyboczeniu istotne są takie czynniki jak : długość, grubość, materiał z jakiego zostały wykonane i oczywiście sposób mocowania. Dobór tych czynników uzależniony jest od przeznaczenia.

1

D = 3 mm

D = 2 mm

D = 4 mm

---